教學要教出教師的“思想”*

潘龍生 (江蘇省鹽城市第一中學 224005)

1 背景與問題

2021屆高三江蘇省鹽城市第三次模擬考試考查了下面這個問題：

這道題對于教師來講不是難題，筆者與同事交流發現，教師普遍能想到兩種主要方法：一是取對數轉化為等比數列，先求出數列的通項公式再證明；二是用數學歸納法證明，既可以用數學歸納法直接證明結論，也可以借助數學歸納法得出通項公式后再證明結論.當然，還有很多教師想到其他方法.

對一道常規的高中數學題，為什么學生與教師的解題水平反差如此之大？值得思考.

2 分析與對策

現在想來，這道題對學生來講，也確實不易!新課標對數學歸納法不作要求，教師也基本沒講(筆者也是)，學生當然不能運用這種方法；對數運算的基本公式，學生雖然熟悉，但取對數這種方法平時運用較少，加之學生對“對數”的認知不足，以致特定情況下想不到取對數.

至此，也就不難理解“學生與教師為什么有如此之大的反差”了.教師是按照“課標、高考”的要求教“課本”，并沒有教出教師自身的“思想”.對數運算教學，也就是分析得出基本公式，然后運算訓練，沒有讓學生明白學習對數的意義，也沒有讓學生理解對數有簡化運算(降次)的作用；數學歸納法不作要求，也就不講，把精力都放在重點內容的講解上.

本文研究的這道考題，其超低正確率的原因可能是之前沒有教出教師的“思想”.就筆者而言，要反思今后的教學，要結合教材、課標、高考向學生充分展示自己的“思想”.如此反思，筆者就這道考題的教學提出自己的教學思想.

2.1 教理解

問題1同學們，本次?？嫉臄盗薪獯痤}正確率很低，其重要原因是沒有想到“取對數”這一方法.想不到“取對數”，說明大家對“對數”的認識還不夠深刻.因此，先請同學們思考：學習“對數”的意義是什么？

告訴學生“取對數”，他們當然能順利完成這道數列題，但下次再碰到類似的問題，他們還能想到“取對數”嗎？這就難說了.倘若能讓學生深刻認識“對數”、理解“取對數”的內涵，下次再遇到類似的問題時想到“取對數”的人數肯定能多出不少！

學生都知道，學習了“對數”之后可以將指數式轉化為對數式.那就要讓學生思考：為什么要將指數式轉化為對數式？僅僅告知學生“對數能夠簡化運算”肯定不行，他們將信將疑，印象不會深刻，必須要讓他們體驗感悟.比如，“同學們都知道250比較大，那它到底有多大？是多少位數的整數呢？”令t=250，取對數lgt=50lg 2，指數運算就轉化為乘法運算，只要知道lg 2≈0.301 0，便得lgt≈15.05，即t≈1015.05=100.05×1015，顯然1<100.05<10，所以250肯定是一個16位數.這個實例說明，對數能夠估算較大的指數值，取對數能夠降次，能夠極大地簡化指數運算.如果是新授課，還要給學生介紹對數產生的背景，必須要讓學生明白學習對數的意義.

2.2 教方法

數學歸納法等經典數學方法，已從必修數學教材中刪除，若教師不補充，學生將來在大學階段又不學，是不是有點遺憾？教師已具備的思想方法，考慮學生的接受能力，有選擇地傳授給學生，有何不可？

問題2數列問題是一類正整數問題，其證明題有時能運用一種重要的方法——“數學歸納法”證明.什么是“數學歸納法”呢？小時候，你們都數過正整數吧？后來，你們說：“我已經會數數了.”請同學們思考：你怎么確定你已經會數數的呢？

學生不難說出認為自己會數數的原因：雖然數不完，但總能順次數下去.教師追問：怎么理解“能順次數下去”？不難得出，當數出某個數時，一定能數出下一個數.最后師生總結出會數數的原理：首先能數第一個數，其次由前一個數總能數出下一個數.

由此，教師提出：能不能借用此思路證明“正整數命題M(n)成立”呢？學生能輕松說出第一步先證n=1時成立，需與學生說明，有些命題成立的初始值不一定是n=1，要根據實際情況完成第一步；對于第二步，要讓學生反復想數數的核心原理“由前一個數總能數出下一個數”，即由n=k總能推出n=k+1，也即假設n=k時命題成立，并由此推理出n=k+1時命題也成立，從而得到正整數命題M(n)成立.這就是數學歸納法，也稱第一數學歸納法.對于第二數學歸納法，可講可不講，若講，則要等學生對第一數學歸納法較熟練的情況下再介紹.

由于學生初次接觸數學歸納法，教師需要給學生示范證明.同時教師巡視指導，并選一些完美(或有一點瑕疵)的證明過程，通過投影展示點評.此后，再多用數學歸納法，學生定能接受！不一定非要讓學生找出舊課本，給他們補充這一數學知識，教師根據自己的思想，合理設計教法，就可教給學生！

2.3 教變通

問題3說明，高中數學還要重視運算教學.要重視運算公式的推導教學、要重視算理分析教學、要重視運算演練.除此之外，還要重視運算“變通”教學.有些運算問題，學生死算得到答案，但耗費時間較長，就需要教師“變通”教學，要指引學生分析代數式的結構特征、要指引學生尋求合理的運算公式、要示范合理省時的“變通”運算.

3 反思與提升

教師教學，不能僅僅是翻譯課本知識，更要教出教師自己的“思想”.只有貫穿思想方法，揭示本質的教學，才是有價值、高效的教學[1].要教出教材知識的理解，要通過教師合理的理解解讀，讓學生更容易接受新知識；要教出教材例題方法的合理性，不能生硬評講教材上的方法，應該要通過教師自己的合理引導得出方法；要教出教材知識的寬度和深度，要能拓寬知識面，揭示其文化背景等，要能將知識引向深入，揭示其深刻的本質.如此等等，才能體現教師教的作用，學生接受的不僅僅是課本知識，更有教師的“思想”，這能體現課程標準提出的培養學生核心素養的要求，也能提高學生應對高考的能力.