基于模擬退火算法的機械臂剛度辨識構型優化與實驗

姜雪潔 房立金

(1.東北大學機械工程與自動化學院， 沈陽 110819; 2.東北大學機器人科學與工程學院， 沈陽 110819)

0 引言

實際加工中，由于驅動關節剛度、連桿剛度以及其他傳動系統的柔順，在負載作用下機械臂末端執行器會產生形變，從而影響其定位精度[1-3]。形變的大小和方向與機械臂的構型和載荷矢量相關。普遍認為[4-7]連桿剛度遠大于驅動關節剛度，即關節剛度是產生形變的主要原因[8-12]。文獻[13]提出了關節剛度的簡化線性彈簧模型。文獻[14]在關節空間內通過大量測量完成了剛度辨識，提高了機械臂末端定位精度。文獻[15]表明在剛度參數辨識過程中，不同的測量構型對于辨識精度會造成不同影響。NAWRATIL[16]針對串聯轉動關節機械臂的位姿提出了多個性能評價指標。KHAN等[17]通過對比基于Frobenius范數和二范數的雅可比條件數，證明了Frobenius范數更適合條件數指標的優化計算，并引入了基于Frobenius范數的雅可比條件數指標來評估機械臂的設計參數和位姿性能。CARBONE等[18]對剛度矩陣范數、可操作度指數等剛度性能指數進行綜合評估，并根據局部剛度指數的最小值、最大值、平均值或統計值定義了全局剛度指數。文獻[19]參考經典回歸分析中的最優化準則，基于A優化準則提出了辨識參數協方差矩陣的加權跡評價指數。文獻[6,7,17,20-22]采用基于Frobenius范數的雅可比矩陣條件數倒數作為評價機械臂可操作性和靈活性的定量指標，在關節空間內得到了高靈活性構型區域，提高了剛度辨識精度。然而，目前剛度指標多面向于機械臂形位優化，鮮有針對加載載荷的研究。

1 機械臂關節剛度辨識與測量構型評價指數

1.1 機械臂關節剛度辨識

機械臂末端執行器受到廣義力作用時會產生形變。其笛卡爾剛度KX與關節剛度Kθ的關系為

KX=(J-1)T(Kθ-KC)J-1

(1)

式中KC——補充剛度矩陣[24]

J——運動學雅可比矩陣

相對于Kθ，KC對于KX影響較小[6]，且影響最大的構型接近奇異點，需要機械臂工作及剛度辨識過程中避免。綜上，式(1)可簡化為

KX=(J-1)TKθJ-1

(2)

利用式(2)完成機械臂關節剛度的辨識，可得

(3)

式中F——施加在機械臂末端執行器的廣義力矢量

X——加載后機械臂末端表達在基坐標系中的位移矢量

通過分離、合并各關節柔度，僅考慮末端執行器位移，得到加載后機械臂末端位移與關節柔度的映射

(4)

其中

式中c——關節剛度的逆，即關節柔度向量

設測量構型數量為N，利用最小二乘方法求解式(4)，可得到關節柔度向量的廣義最小二乘解為

c=(ATA)-1ATX

(5)

其中

1.2 測量構型評價指數

(6)

X+ΔX=(A+ΔA)(c+Δc)

(7)

式中 ΔX——激光跟蹤儀造成的機械臂末端位置測量誤差

ΔA——關節擾動和力傳感器造成的系數矩陣誤差

Δc——辨識方程絕對誤差

設非奇異線性方程組(7)經擾動后仍有唯一解c+Δc[23]，則c的相對誤差估計式為

(8)

式中κ為系數矩陣A的條件數。由式(8)可知，條件數κ(A)反映了剛度辨識方程組解c的相對誤差對于系數矩陣A和常數項X相對誤差的依賴程度。

(9)

其中

2 基于模擬退火算法的測量構型優化

2.1 串聯六自由度機械臂運動學模型

本文研究對象為六自由度ROKAE串聯機械臂，其運動學模型如圖1所示，D-H參數[25]如表1所示。為避免機械臂在工作空間的邊界出現奇異構型，采用名義關節角范圍的95%作為安全工作范圍。

圖1 ROKAE機械臂連桿坐標系示意圖Fig.1 Link coordinate systems for ROKAE serial manipulator

表1 ROKAE機械臂D-H參數Tab.1 D-H parameters and joint ranges of ROKAE serial manipulator

由于本文僅考慮末端執行器位移，故機械臂每個測量構型可提供三維辨識方程組。同時，由于第6關節對末端執行器位移無影響，即機械臂第6列雅可比矩陣恒為0，故只有前5個關節剛度可辨識。綜上，當3N≥5時關節柔度向量有廣義最小二乘解，即至少需要2個測量構型才能辨識關節剛度。綜合考慮辨識可信度及測量效率，最終測量構型數量N選定為10。

2.2 基于模擬退火算法的機械臂測量構型優化

圖2 模擬退火算法優化流程圖Fig.2 Optimization flow chart of simulated annealing algorithm

優化算法基本步驟為：

(1) 確定ΩJ。在工作空間內隨機選取N組測量構型作為備選構型集合ΩJ，記錄相應的運動雅可比矩陣。

(2) 確定ΩF。由于系數矩陣A同時取決于雅可比矩陣J和末端載荷F，因此在許用載荷范圍內隨機生成N組測量載荷作為備選載荷集合ΩF。ΩJ和ΩF共同組成備選結構集合Ω。

(3) 隨機生成γM。取初始溫度T0，從Ω中隨機選出M組作為初始搜索結構γM。以κF(A)為代價函數，計算并記錄C(γM)=κF(γM)。

(4) 生成γNEW，并計算C(γNEW)。通過隨機交換γM和γNEW中k個元素生成新解。初始階段k相對較大，確保交換較為活躍，以搜索更多潛在的可行測量結構。后續隨著迭代次數增加，當前最優結構組越來越接近全局最優，此時逐漸減小k，使程序在當前最優結構附近搜索最優結構組。

(6)溫度T線性減小，返回步驟(3)繼續優化。當迭代完成，記錄對應的M組測量結構γbest作為最優辨識結構。

3 剛度辨識實驗

表2 基于和的優化辨識結構Tab.2 Optimization identification configurations based on

實驗系統和測量過程如圖3所示。為實現沿3個正交軸方向對末端執行器施加外力，采用設計的夾具連接于機械臂末端執行器。通過基坐標系與末端執行器坐標系之間的變換矩陣，將優化得到的外力載荷轉換為基于末端執行器坐標系的相應載荷。每個正交軸方向的載荷由相應的彈簧測力計施加，并可通過OnRobot HEX-E型力傳感器進行測量。同時，將反射靶球(SMR)安裝在末端執行器上，機械臂末端執行器位置由Leica LTD 500型激光跟蹤儀精確測量。

圖3 實驗系統和測量過程Fig.3 Experimental system and measurement process1.反射靶球 2.彈簧測力計 3.ROKAE機械臂 4.激光跟蹤儀

對于每一個被選測量構型，首先采用激光跟蹤儀測量其無載荷狀態下末端執行器的位置。而后，根據已確定的相應外力矢量對末端執行器進行加載，并通過激光跟蹤儀再次測量其加載后的位置。最后，計算并記錄當前構型加載與無負載工況下機械臂的末端位移。

表3 和組關節剛度辨識結果Tab.3 Stiffness identification results of and N·mm/rad

圖4 和辨識組末端位置補償結果對比Fig.4 Comparison of end position compensation results of set

4 結論

(3)提出了一種多向加載實驗方法，實現了各方向定量載荷的加載，解決了剛度辨識實驗中單方向加載的問題，可應用于實際環境中的串聯機械臂剛度標定。