帶有非強制項的非線性拋物問題的重整化解

李姝靜，許少鵬

（海南大學 理學院，海南 ?？?570228）

在本文中主要研究如下帶有非強制項的非線性拋物型方程

其中，f∈L1(Q)，u0∈L1(Ω)，Ω是RN中的一個有界開集并且具有Lipschitz 條件?Ω，N≥2，Q=Ω×(0，T)（T＞0），Qn=Γn×(0，T)，Qd=Γd×(0，T)，Γn和Γd滿足以下條件：Γn∪Γd=?Ω，Γn∩Γd=?并且σ(Γd)＞0（σ是邊界?Ω上的N-1 維Lebesgue 測度），向量n是邊界?Ω的外法向量.Φ：Q×R→RN是一個Carathéodory 函數并且滿足：對于任意的s，有|Φ(x，t，s)|≤c(x，t)|s|γ，其中c和γ是滿足依賴于p和N的條件（見下面條件（6）～（8））.研究問題（1）的動機是在特定情況下的均勻化，其中Ω是一個穿孔域，在有孔的邊界上有Neumann條件，在其他的邊界上有Dirichlet條件.

重整化解由Diperna and Lions 在20 世紀80 年代后期引入，其目的是解決Boltzmann 方程Cauchy 問題整體解的存在性［1-2］.此方法在流體力學極限中、非線性橢圓方程及拋物方程中都有十分重要的應用.如今，非線性科學、物理學、流體力學、彈性力學和圖像處理等學科大量出現的數學模型以及來自于工業問題的數學模型通常歸結為一些非線性拋物或橢圓等偏微分方程，其重整化解的存在性、唯一性以及解的結構與性質等方面的研究在理論及實際應用中都具有十分重要的意義.筆者主要證明問題（1）重整化解的存在性，此問題區別于其他一般具有可積數據的問題在于-divΦ(x，t，u)沒有強制性.當Φ(x，t，u)=0 時，Boccardo 等證明了Dirichlet 邊界的拋物問題弱解的存在性［3］，在L1數據或者p＞2-的有界測度下也得到類似結果［4］.在上述文獻中，弱解屬于，因此在本文中，1 ＜等價于條件p＞2-眾所周知弱解在一般情況下不一定具有存在唯一性［5-6］.為了消除p上的限制條件以及保證穩定性，在文中使用了重整化解的框架.

重整化解的概念是1989 年由Diperna 等首先針對一階方程引入的［1-2］，在針對具有L1數據［7］的拋物問題和一般具有有界測度數據［8］的橢圓問題中得到了發展，并且發展了適用于L1數據的拋物型方程［9-10］.1995年，Bénilan等［11］提出了熵解的概念，也可用于該類型的拋物方程［12］.2001年，Blanchard等證明了下列具有非強制性低階項div(Φ(u))的非線性拋物問題的重整化解的存在性［10］，其中Φ(u)具有連續性.

2003年，Boccardo G等考慮了下列問題的有界解和無界解［13］，其中u0∈L1(Ω)，E∈(L2(Q))N.

在更一般的情況，如f和u0是有界測度，在c(x，t)=0的情況下［14］，證明了問題的重整化解的存在性.

2006 年，Ben Cheikh Ali 等考慮了下列帶有非強制項的非線性橢圓問題在可積數據下的重整化解的存在唯一性［15］，

其中，f∈L1(Ω)，u0∈L1(Ω)，Γn和Γd滿足以下條件：Γn∪Γd=?Ω，Γn∩Γd=?并且σ(Γd)＞0（σ是邊界?Ω上的N-1維Lebesgue測度），向量n是邊界?Ω的外法向量.

2010年，Di Nardo考慮了下列方程重整化解的存在性［16］，其中f∈L1(Q)，u0∈L1(Ω)，

2011 年，Di Nardo 等在問題（5）的基礎上加了一項具有非強制性低階項b|?u|δ，其中δ=b∈LN+2，1(Q)，證明了重整化解的存在性［17］.

近幾年來，隨著研究的深入重整化解有了新的發展，比如Bourahma 等[18]、Gwiazda 等[19]、Li等[20]在Orlicz空間或Musielak-Orlicz 空間中討論橢圓問題的重整化解和熵解的存在唯一性方面有新的進展；同樣的在Orlicz 空間中對拋物問題重整化解和熵解的研究也有了一定的發展［21-22］；Benboubker 等考慮帶有Neumann 條件邊界的問題，得到了重整化解的存在性［23］；Grossekemper 等得到了具有雙重非線性分數階Laplace 方程的熵解［24］；Teng 等將帶有p-Laplace 算子的方程改為帶有分數階p-Laplace 的演化方程，討論了其重整化解和熵解的性質［25］；Zhang 等不僅得到了熵解和重整化解的存在唯一性，還討論了熵解和重整化解的等價性［26］.

在本文中，邊界并不是純Dirichlet 問題，而是同時具有Dirichlet 條件和Neumann 條件的混合邊界問題.筆者證明了問題（1）的重整化解的存在性.證明步驟如下：首先，引入一個逼近問題，然后根據文獻［26-29］中包含的思想推導出其解的梯度的先驗估計，其中關鍵性技巧是本文中的引理1；其次驗證滿足重整化解的條件（15）；最后運用泛函分析或者實變函數等方法得到逼近解收斂性，從而得到重整化解的存在性.

1 假設和定義

在上述假設下，因為Φ(x，t，u)?(Lp′(Q))N，上述問題（1）一般不存在弱解，故再考慮重整化解.

定義高度為k的截斷函數為

是Tk(r) 的原函數.很顯然上述定義的函數是Lipschitz 連續的，有Tk(u)∈Lp(0，T；?Tk(u)∈(Lp(Q))N，且|Tk| ≤k，|Tk(r)| ≤|r|，Θk(r)≥0，Θk(r)≤k|r|.

要處理可測函數為截斷函數的問題，因此需要回顧非常弱梯度的概念.

定義1對任意的定義在Q上的可測函數u，如果對任意的k＞0，有Tk(u)∈Lp(0，T；W1，pΓd(Ω))，那么存在唯一的可測函數v：Q→RN滿足

其中，χE是可測集合E的特征函數，定義v為一個廣義梯度并記作v=?u.若u∈L1(0，T；(Ω))，那么v與u的弱導數相同.

利用非常弱梯度的概念可以給出問題（1）的重整化解的定義.

定義2u是定義在Ω×(0，T)上的一個可測函數，是問題（1）的重整化解，如果滿足

對任意的φ∈C1()，且φ(x，T)=0，以及對任意的逐點C1且S′具有緊支集的函數S∈W2，∞(R)，u使得下面等式成立

注 特別地，存在M＞0，使得suppS′∈[-M，M]且

引理1［16］設Ω是RN中的一個開集，且具有有限測度，u是一個可測函數，滿足對任意的k＞0，

這里的M是一個正常數，則

其中，C是僅依賴于N和p的常數.

2 主要結論及其證明

定理1若假設式（6）～（10）成立，則問題（1）至少存在一個重整化解.

證明第一步：逼近問題.

首先，處理下面關于問題（1）的逼近方程