可控網格多渦卷混沌系統族及其硬件電路實現

馬英杰，肖靖，趙 耿，曾 萍，楊亞濤

（北京電子科技學院 電子與通信工程系，北京 100070）

0 引言

混沌作為一門新興學科，覆蓋面已涉及自然科學和社會科學的各個分支［1-2］。在混沌現象被發現以來，研究人員就在探索混沌的應用前景。Pecora等［3］提出混沌自同步方法，Ott等［4］提出了混沌控制的理論和方法，讓混沌理論在電子通信和其他相關工程鄰域的應用成為可能?；煦绫Ｃ芡ㄐ啪褪且环N基于物理層的硬件加密，文獻［5］中提出將混沌光通信作為一種物理安全技術，可作為光纖中高速光信號的物理層安全屏障。文獻［6］中針對大規模并發式保密通信對混沌陣子的需求，提出基于相空間對稱Lorenz 陣子群模型。文獻［7］中針對異步數字保密通信系統通信安全的問題，提出基于壓縮感知的Logistic 多渦卷混沌保密通信技術。文獻［8］中針對第五代移動通信技術（5G）大量用戶傳輸需求的問題，利用Logistic 混沌序列產生的偽隨機序列選擇碼本，系統傳輸的誤碼率較低，在高過載率情況下的性能表現也很好。近半個世紀以來，隨著計算機技術的高速發展，人們對混沌系統的研究更加深入，取得的可喜成果促使混沌系統成為研究熱點。其中多渦卷混沌系統因為具有結構簡單、對初值敏感、動力學行為復雜等特點［9-12］，可應用于無人機通信技術，以加強數據鏈路的抗干擾性和抗截獲性。

1983 年，美國電學專家蔡少棠提出了著名的蔡氏電路，可產生雙渦卷混沌吸引子［13］。文獻［14-16］中使用分段線性函數等方法給出了最多6 渦卷混沌吸引子的硬件實現結果［14-16］。隨后，文獻［17-22］中提出了利用正余弦函數、脈沖控制技術、指數函數、對數函數、雙曲正切函數作為非線性函數來產生多渦卷混沌吸引子。然而，多渦卷混沌吸引子的研究主要集中在單向多渦卷，關于網格多渦卷的研究不多。由于網格多渦卷混沌系統具有更復雜的動力學特性，在保密通信和信息加密中有廣泛應用前景，文獻［23］中引入階梯函數構建了一類立體網格多渦卷混沌系統；但該系統只能產生固定數目的多渦卷混沌吸引子，且它的系統動力學特性不夠豐富。因此，本文基于蔡氏電路和已有的單、雙渦卷混沌系統，引入兩組階梯函數，構造了一類數量可控的網格多渦卷混沌系統。

針對該系統模型，利用Matlab 進行了詳細的動力學分析，得到了李雅普諾夫（Lyapunov）指數、吸引子相圖，驗證了理論可行。在硬件實現過程中，考慮到數字信號處理（Digital Signal Processing，DSP）、現場可編程門陣列（Field Programmable Gate Array，FPGA）等大規模數字器件的發展，數字信號處理的方法更加適用于數據鏈路的保密通信。所以本文利用FPGA 技術，基于ZYNQ7000 開發平臺進行了硬件設計，證實了該系統與理論分析相符合的物理可實現性，并給出最多4×12 網格多渦卷混沌系統的硬件實驗結果。

本文的主要工作為：1）構建了一類能產生網格多渦卷的新混沌系統，并對該系統進行了系統動力學特性分析；2）基于FPGA 硬件實現了網格多渦卷混沌系統的設計。

1 可控網格多渦卷混沌系統族的構造

1.1 典型蔡氏電路及網格多渦卷混沌系統的構造

蔡氏電路是能夠產生雙渦卷混沌吸引子的混沌動力系統，具有豐富的動力學特征，它的電路結構如圖1 所示。

圖1 蔡氏混沌電路結構Fig.1 Structure of Chua’s chaotic circuit

根據電路狀態分析法，可得蔡氏電路的狀態方程：

根據蔡氏二極管的伏安特性曲線的分段特性，可考慮將階梯函數g1(x)代替蔡氏電路中原有的蔡氏二極管，并引入階梯函數g2(y)，在保持混沌吸引子中渦卷與鍵帶的相互間置的同時對典型蔡氏電路中的參數進行修正，得到如式（2）所示的三維自治系統：

其中：x、y、z表示狀態變量；A、B、a、b、c、d表示實數參數。

階梯函數g1(x)和g2(y)的表達式為：

通過調整g1(x)的參數，可實現2(k+1)或2k+1 列多渦卷；調整g2(y)的n值，可實現n+1 行多渦卷，從而構成網格多渦卷混沌吸引子。本文系統的網格多渦卷混沌吸引子數目調整方便，相較于單、雙渦卷系統，有更加復雜的系統性態，在工程應用中可發揮更大的價值。

1.2 系統動力學特性分析

本節對式（2）的系統進行動力學特性分析，并使用Matlab 驗證本文系統可以產生可控網格多渦卷混沌吸引子。

1.2.1 系統平衡點

令式（2）右側為0，化簡可得：

對于式（5），設系統的平衡點為(xi，yj，-xi)，則xi為x=g1(x)的根，i=1，2，…，n；yj為y=g2(y)的根，j=1，2，…，n。

如圖2（a）所示，x∈(4e，4e+4)，e∈Z，g1(x)是連續的，系統穩定平衡點的xi落在(4e，4e+4)內。如圖2（b）所示，在y∈(2f-1，2f+1)，f∈N，g2(y)是連續的，系統穩定平衡點的yj落在(2f-1，2f+1) 內。所以，構成穩定平衡點關于xi的根有12 個，構成穩定平衡點關于yj的根有4 個，因此可產生個4×12 個多渦卷吸引子。即在穩定平衡點處對應渦卷區，而在不穩定平衡點處對應鍵波區。由此類推，當k和n取一定值時，系統就能構成行數為n+1，列數為2(k+1)的2(n+1)(k+1)個網格多渦卷混沌吸引子。

圖2 4×12渦卷混沌系統平衡點的根Fig.2 Roots of 4×12 scroll chaotic system equilibrium points

同理，若取奇數列網格多渦卷，以4× 11 渦卷吸引子為例，取，有：

根據式（5），系統的平衡點為(xi，yj，-xi)，xi為x=g1(x)的根，yj為y=g2(y)的根。兩者根的分布情況如圖3 所示。

由圖3（a）可知，系統平衡點關于xi的根落在(4e-2，4e+2)內。由圖3（b）可知，系統穩定平衡點關于yj的根落在(2f-1，2f+1) 內。構成穩定平衡點關于xi的根有11個，構成穩定平衡點關于yj的根有4 個，因此可產生4×11 個多渦卷吸引子。由此類推，系統就能構成行數為n+1，列數為2k+1 的(n+1)(2k+1)網格多渦卷混沌吸引子。

圖3 4×11渦卷混沌系統平衡點的根Fig.3 Roots of 4×11 scroll chaotic system equilibrium points

1.2.2 系統Lyapunov指數

分析式（2）系統的混沌特性。以4×12 網格多渦卷混沌吸引子為例，利用Matlab 軟件進行數值仿真，得到Lyapunov指數譜如圖4 所示。

圖4 系統的Lyapunov指數譜Fig.4 Lyapunov exponent spectrum of system

求得系統的 Lyapunov 指數為：LE1=0.235 382，LE2=0.236 098，LE3=-4.328 62。且通過式（2）可知系統的散度為：

可知該系統的散度與LE1+LE2+LE3=-3.857 142 的結果完全符合，所以該系統計算得到的Lyapunov 指數合理。

1.2.3 系統吸引子

對式（2）系統采用龍格-庫塔積分法，部分Matlab 仿真結果如圖5 所示。

圖5 網格多渦卷混沌系統的X-Y相圖Fig.5 X-Y phase diagram of grid multi-scroll chaotic system

由圖5 的相圖結果表明，式（2）系統可以產生可控網格多渦卷混沌吸引子。

2 基于FPGA的網格多渦卷混沌系統實現

2.1 混沌系統方程的離散化

FPGA 等現代數字電路技術快速發展，利用這些技術速度快、方便自由設計等特點，可以更加便捷地實現混沌系統。但FPGA 等器件只適合處理數字系統，所以，必須對連續時間混沌系統進行離散化處理。本文綜合考慮FPGA 器件內部資源及實現難易程度，采取Euler 算法進行離散化處理。

當T的值趨于無窮小時，式（6）可表示為：

從而得到：

將式（8）代入式（2）可得經離散化后的混沌系統方程：

離散化后的階梯函數為：

調試并確定好三維方程的參數A、B、a、b、c、d、T后，只需分別調整階梯函數g1(x(j))、g2(y(j))的長度k和n，即可在FPGA 中設計任意行列數目的網格多渦卷。

2.2 FPGA系統設計

2.2.1 系統架構設計

為實現本文提出的網格多渦卷混沌系統，FPGA 開發板采用Xilinx 公司型號為XC7Z020-2CLG400I 的Zynq7000 系列芯片。同時為方便驗證實驗結果，選用雙通道14 位數模轉換板卡AD9767 對FPGA 輸出的數字信號進行數模轉換，并通過DS2302A 數字示波器顯示實驗結果。

如圖6 所示，本文提出的FPGA 混沌系統主要包括系統配置數據控制、網格多渦卷混沌系統算法模塊、浮點數轉定點數模塊、數模轉換模塊（Digital to Analog Converter，DAC）。

圖6 系統整體架構Fig.6 Overall system architecture

通過初值的設定，系統配置數據控制網格多渦卷混沌系統算法進行初始化迭代，以控制整個FPGA 系統的運行。網格多渦卷混沌系統是整個FPGA 系統的核心，基于式（9）～（11）的離散化混沌方程，反復迭代產生混沌數字序列。浮點數轉定點數模塊對網格多渦卷混沌系統算法模塊輸出的浮點數據進行數據轉換以匹配DAC 轉換芯片的數據格式，并接入示波器以得到該系統混沌序列的模擬波形，實現網格多渦卷混沌系統的硬件驗證。

2.2.2 集成環境仿真設計

本文系統的整體寄存器傳輸級（Register Transfer Level，RTL）視圖如圖7 所示。

圖7 系統RTL視圖Fig.7 System RTL view

本文使用Xilinx 公司的集成設計環境Vivado 進行混沌系統的開發，利用Verilog 語言進行各模塊的設計，并通過內嵌仿真反復驗證系統各模塊及整體功能的實現。使用Vivado 對工程進行編譯綜合，表1 為本文混沌系統對FPGA內部資源的占用情況，各內部資源包括：顯示查找表（Look-Up-Table，LUT）、觸發器（Flip Flop，FF）、數字信號處理單元（Digital Signal Processing，DSP）與輸入/輸出（Input/Output，IO）接口。

表1 混沌系統資源占用情況Tab.1 Chaotic system resource occupancy

由表1 可見，本文混沌系統占用的FPGA 系統資源的比例不高，說明了使用Euler 算法對連續混沌系統離散化處理的簡單實用性。圖7 中的adder 模塊將網格多渦卷混沌系統算法模塊Chaos 的輸出數據全部抬高到正值，以方便后續浮點數轉定點數float_fixed 模塊的處理。

2.3 系統板級驗證

在Vivado 集成設計環境下，連接好FPGA 開發板的聯合測試工作組（Joint Test Action Group，JTAG）接口，將工程生成好的Bit 流文件下載至開發板中，得到如圖8 所示多渦卷X-Y相圖。由圖5 和圖8 可見該系統軟硬件實現結果一致，驗證了本文提出的一類網格多渦卷混沌系統的物理可實現性。

圖8 混沌系統硬件實驗結果Fig.8 Experiment results of chaotic system hardware

2.4 系統性能對比分析

混沌系統的統計學特性由軌道拉伸折疊變換決定。Lyapunov 指數和相圖可以體現系統的混沌化程度，若系統存在多個正Lyapunov 指數，則表明該系統具有多個方向的拉伸折疊變換。若混沌系統的Lyapunov 指數、相圖的混沌吸引子數越大，則系統的運動越復雜。

文獻［23］中提出的立體網格多渦卷混沌系統以及模擬電路實現可產生8 渦卷混沌吸引子，利用Matlab 軟件對該系統進行數值仿真，得到如圖9 所示的系統動力學特性分析圖?？梢?，立體網格多渦卷混沌系統的Lyapunov 指數為0.063 872、0.061 735 和-0.925 608。由圖4、5 的結果可知，本文系統的正Lyapunov 指數及相圖的混沌吸引子數均大于立體網格多渦卷混沌系統。所以，可控網格多渦卷混沌系統具有更復雜的動力學特性和更高的混沌化程度，有利于提高混沌加密技術的安全性，且利用FPGA 實現混沌系統較傳統模擬電路更為便捷，具有更廣泛的應用前景。

圖9 系統動力學特性分析圖Fig.9 Analysis diagram of system dynamics characteristics

3 結語

本文引入兩組階梯函數，構造了一類數量可控的新型網格多渦卷混沌系統。它與正余弦函數、指數函數、對數函數等產生多渦卷的辦法不同，使渦卷與鍵帶之間保持相互間置，更易產生多渦卷；且該網格多渦卷混沌系統控制簡單，只需調整系統方程的幾個參數即可生成任意維數的網格多渦卷。最后，為進一步驗證該系統工程實際應用的可行性，使用FPGA 技術進行了硬件實現，并給出了X-Y相圖的示波器顯示結果。

雖成功實現了該混沌系統的軟硬件設計，但結合設計過程來看，仍存在一些值得挑戰的地方：1）連續混沌方程的離散化處理過程，可嘗試其他算法如Runge-Kutta 算法，或對Euler 算法進行改進；2）進一步優化FPGA 混沌系統的設計，減少內部資源的消耗，提高硬件運行的效率；3）該網格多渦卷混沌系統較單、雙等傳統多渦卷混沌系統，具有系統性態復雜度高、控制方便等優勢，由此可嘗試在工程應用中投入使用，如增強通信鏈路的抗干擾性和抗截獲性等，來進一步提高本次混沌系統設計的工程應用價值。