魯棒的視覺機械臂聯合建模優化方法

范賢博俊，陳立家*，李珅，王晨露，王敏，王贊，劉名果

（1.河南大學 物理與電子學院，河南 開封 475004；2.開封平煤新型炭材料科技有限公司，河南 開封 475002）

0 引言

智能機器人作為一種極具前景的技術，對工業和制造業的發展具有重要意義，受到國內外學者的廣泛關注［1］。目前，機械臂在工業場合的應用離不開人工示教，整個過程低效且不能自動執行。一旦工作環境或硬件精度發生改變，機械臂的重新部署需要一系列的測量、分析和驗證，增加了制造成本。一個有效的解決方法是在機械臂上集成一個視覺傳感器［2］，但視覺機械臂系統的整體精度不高。

影響視覺機械臂系統性能的因素有三點。1）視覺傳感器易受外部環境因素影響，造成工作區域內目標物體的定位信息不準確。文獻［3］中提出使用雙軸傾角儀和激光測距儀，結合蒙特卡洛方法，分析了雙目相機在視場內的任意位置和姿態的誤差水平，整體定位精度小于2 mm。文獻［4］中使用改進的Canny 邊緣檢測算法對目標定位，并通過三角測量法確定目標物體的坐標，實驗結果表明，這種方法的平均定位誤差為2.4%。2）機械臂運動學模型誤差。文獻［5］中通過用測量數據擬合空間圓以構建坐標系，提出一種基于D-H（Denavit-Hartenberg）框架的定軸不變原則，通過空間幾何約束關系提高機械臂的絕對定位精度。文獻［6］中提出一種基于雙神經網絡近似結構的動態編程算法以實現動態連續時間非線性系統的自適應優化控制。文獻［7］中將遺傳算法用于工業機械手的參數識別，避免了傳統運動學雅可比矩陣的逆運算，使機械手末端的精度提高了39.29%。3）手眼標定誤差。傳統方法通過三維空間的幾何約束配合校準算法求解手眼變換矩陣，以提高外參矩陣精度［8-9］。鑒于傳統手眼變換矩陣求解的局限性和不穩定性，文獻［10］中采用神經網絡訓練的方法對手眼標定模型進行了補償。還有一種基于混合視覺檢測的機器人手眼關系標定方法，使用三個激光傳感器配合單目相機進行標定［11］。

通常視覺機械臂需要分開標定以上三個模型，再集成到整個系統。文獻［12］的研究表明，視覺機械臂的相機和機械臂是兩個完全獨立的系統，將單個模塊校準并集成到系統中會引入新的誤差，造成誤差傳播，因此提出一種用于手眼串聯機器人系統的全自動校準方法，同時校準了機器人本體、手眼矩陣。該方法只需要一面鏡子和一些由機械臂末端的相機拍攝的棋盤圖案實現自動校準，而不需要借助任何額外的昂貴的測量儀器。文獻［13］中提出了一個手眼標定框架，使用標準的棋盤校準網格，可對由機器人和可變數量的三維攝像機組成的系統進行自動手眼標定。文獻［14］中提出了一種基于視覺的機器人自我校準方法，利用安裝在機器人末端執行器上的視覺傳感器評估機器人的運動參數誤差。該方法在線結構激光傳感器的結構模型中定義了一個機器人工具中心點（Tool Center Point，TCP），與機器人工作空間中固定的參考點對齊?；诠潭c的約束，使用迭代算法確定運動學參數誤差和TCP 位置誤差。文獻［15］中將系統誤差因素融入Baxter 機械臂識別算法，采用動態規劃算法使運動學參數在有限時間內收斂到真實值，提高了計算效率；此外，將其擴展到視覺機械臂系統，模擬具有一定強度高斯噪聲的相機定位誤差，驗證了辨識算法對各種誤差的適應性。

通?，F有的研究需要一個或多個設備（如標定板、激光跟蹤儀或高精度陀螺儀）進行模型測量和校準。然而，系統越復雜，引入的誤差就越大。本文提出了一種魯棒的視覺機械臂聯合建模優化方法，可以在不使用額外測量設備的情況下減少誤差。通過一種具有分層優化機制的自適應多精英引導復合差分進化算法（Adaptive Multiple-Elites-guided Composite Differential Evolution algorithm with shift mechanism and Layered Optimization mechanism，AMECoDEs-LO）對系統進行整體建模，避免了單獨標定子系統在集成到整個系統時引入額外的誤差，校準系統自動且高效；同時，系統的收斂速度極快，可以完成視覺機械臂的快速部署。實驗結果表明，本文方法可避免系統中其他測量設備造成的誤差，降低部署成本；與六種主流算法相比，本文算法提高了整個系統的收斂速度和精度。本文方法不僅可以完成正常機械臂的自動標定，還可以對有缺陷部件的機械臂進行有效建模，并將缺陷部件的擾動限制在合理范圍內；同時，在高斯白噪聲擾動實驗中驗證了方法的魯棒性。

1 視覺機械臂系統整體優化方案

1.1 視覺機械臂誤差來源

視覺機械臂系統整體優化的目的是提高抓取精度，因此需要從抓取流程中分析誤差來源，抓取流程如圖1 所示。

圖1 視覺機械臂系統抓取流程Fig.1 Grab process of visual manipulator system

由圖1 可知，首先，相機獲取目標物體位置信息，通過手眼轉換矩陣獲得對應的世界坐標，然后通過機械臂運動學獲得關節轉角，最后控制機械臂完成抓取。在抓取過程中，誤差存在于系統的各個部分，誤差來源分為兩類：第一類是由外部環境引起的誤差，包括光照、溫度和濕度；第二類是系統內部誤差，包括手眼標定誤差、零件加工測量誤差、裝配間隙誤差、伺服電機磨損等。

1.2 系統整體優化方案

視覺機械臂聯合建模優化方法的硬件安裝方式采用手眼分離式，系統整體優化方案如圖2 所示，分為數據采集和模型優化。

圖2 系統整體優化策略Fig.2 Overall system optimization strategy

具體步驟如下：首先使用雙目相機輔助定位，完成數據采集；然后建立聯合系統校準模型，模型由伺服電機補償模型、機械臂運動學模型和手眼標定外參模型組成；最后使用AMECoDEs-LO 以參數辨識的手段將影響視覺機械臂抓取的誤差因素補償到模型參數中。具體優化方案如下。

步驟1 在機械臂運動空間內隨機生成1 組伺服電機轉角，通過串口控制機械臂運動。

步驟2 機械臂運動完成后延時2 s，等待雙目相機定位機械臂夾具中心點位置（即機械臂末端位置）。

步驟3 重復執行N次步驟1、2（視精度要求而定），最終保存N組伺服電機轉角和對應的機械臂末端相機坐標作為參數辨識系統的輸入。

步驟4 建立機械臂伺服電機補償、運動學、手眼標定外參模型作為辨識系統的求解目標，配置優化算法參數。

步驟5 使用AMECoDEs-LO 對模型參數進行迭代更新，滿足精度收斂條件或到達給定迭代次數時，終止算法，完成聯合系統模型的求解。

2 聯合系統模型

通過運動學模型可以建立機械臂各連桿之間的關系，D-H 法是一種常用的建模方法。如圖3 所示，相鄰連桿由伺服電機相連，每個伺服電機的位置可以建立一個坐標系。

圖3 關節坐標系Fig.3 Joint coordinate system

相鄰坐標系的轉換通過包含4 種參數的齊次變換矩陣實現，相鄰連桿之間的轉換關系為：

最終關系矩陣的形式為：

其中：第1～3 列表示末端坐標系的姿態；第4 列表示機械臂末端在基座坐標系中的位置；最后一行是為了滿足齊次變換矩陣的需要而構建的。機械臂的正向運動學可以表示為：

根據式（5），當給定一組關節旋轉角度時，能相應地得到機械臂末端的位置。

相機和世界坐標系之間的轉換通常是多次拍攝同一標定板，然后求解AX=XB以確定手眼轉換矩陣X。在本文方法的系統模型中，無需使用標定板，而是通過參數化旋轉和平移矩陣建立空間約束。

兩個坐標系之間的旋轉關系可以表示為：

其中：λ、β、γ分別是世界坐標系中的點Xworld（Px，Py，Pz）圍繞x、y和z軸旋轉的角度。

兩個坐標系之間的平移關系表示為：

其中：dx、dy、dz分別代表世界坐標系原點沿x、y、z軸平移的距離。對于同一個點，世界坐標系中的點Xworld（Px，Py，Pz）和相機坐標系中的點Xcam（Cx，Cy，Cz）之間的對應關系如下：

伺服電機在機械臂高負載運轉的過程中容易造成精度下降，進而導致伺服電機的名義轉角和實際轉角存在差異。一般情況下，可以通過曲線擬合理論進行伺服電機的前饋補償，以降低兩者之間的誤差。因此需要在求解機械臂運動學模型前獲得伺服電機的實際旋轉角度；然而，額外的測量設備（陀螺儀等）容易向系統中引入測量誤差。為此，設計了伺服電機軟補償模型。假設控制第i個伺服電機轉動到實際到達的角度為為了減小兩者的差值，對第i個伺服電機建立一個參數化的補償函數ψi，優化ψi使是一個包含m0、m1、m2的高斯函數，如式（9）所示：

綜合式（5）、（8）、（9），系統的輸入和輸出可以表示為：

3 AMECoDEs-LO

3.1 AMECoDEs-LO與PCA

具有轉移機制的多精英引導復合差分進化算法（Adaptive Multiple-Elites-guided Composite Differential Evolution algorithm with a shift mechanism，AMECoDEs）［16］是在差分進化（Differential Evolution，DE）算法的基礎上采用自適應參數調整方法實現的。在AMECoDEs 中，每個個體在兩個精英個體的引導下，產生兩種候選方案，有效地增加了個體被局部最優解誤導的容錯率。同時，為了平衡算法的收斂性和多樣性，引入了轉移機制（Shift Mechanism，SM），有效地防止算法早期收斂和停滯。

主成分分析（Principal Components Analysis，PCA）技術采用降維的思想，可以將多指標問題轉化為少數綜合指標的優化問題。在高維優化問題中，每一個維度分量都包含著一種數據信息，經PCA 技術處理后，數據信息損失較少的成分稱為主成分。主成分正交、不相關，由原始成分衍生。通常使用貢獻度衡量主成分保留數據集所含信息的程度。主成分的貢獻度降序排列，主成分貢獻度的總和稱為累積貢獻度。當累積貢獻度大于設定的閾值時，這些計算出的貢獻度相對應的主成分可以近似代表整個數據集的信息量。

進化算法本質上是一類隨機搜索的算法，它在探索解空間的過程中具有一定的盲目性［17］。為了保證種群多樣性，提高算法的搜索效率和收斂精度，本文采用PCA 方法挖掘種群中具有代表性的隱藏信息，在分層優化機制的指導下，挖掘出更具代表性的維度分量進行動態優化。本文定義支配度概念，表示每個原始分量所蘊含數據信息的重要程度。種群在解空間中的分布顯示了當前最優解的搜索情況。種群的歷史數據包含解空間的特征信息。支配度較大的維度分量代表了更優的搜索方向和更快的收斂趨勢。

AMECoDEs-LO 中分層優化策略的設計旨在動態地優化支配度較大的維度分量。支配度較大的維度分量構成的集合稱為支配集，其他維度分量構成非支配集。

3.2 支配集和非支配集

假設種群中的每個個體都包含D個分量，用向量N表示，樣本數據集由100 代個體組成。對所有個體的D維分量使用PCA 方法，得到主成分Yi和特征值Ei。主成分的貢獻度Ci和相應的特征向量ui可分別表示為式（11）、（12）：

其中：uji表示第j個維度分量在第i個主成分中的權重。主成分與各維度分量之間的關系可以表示為：

貢獻度Ci表示Yi承載的數據信息量，將貢獻度降序排列，并計算出累積貢獻度：

根據式（14）選擇m個主成分，篩選條件為Zi＞Tc，0＜Tc＜1。這些主成分可以代表當前樣本數據集Tc倍以上的信息。為了方便地篩選出最重要的維度分量，將主成分的特征向量和貢獻度重新組合成一個矩陣V：

其中：Ci＞Ci+1(i=1，2，…，m)，每個維度分量對主成分的貢獻不同。維度分量的支配度gi計算如下：

其中：支配度gi代表第i個維度分量對整個數據集的貢獻，支配度大于Td，0 ＜Td＜1 的所有維度分量構成支配集P，其他維度分量構成非支配集Q。

3.3 分層優化機制

分層優化機制采用降維處理的思想，在全局收斂的過程中，將所有的維度分量動態地劃分為P和Q兩個集合。P和Q中的所有維度分量分布在個體編碼中。個體以實數編碼，在本文的聯合系統模型中包含伺服電機補償參數、D-H 參數和手眼標定外參三個部分。P和Q各分量在個體中分布的示意圖如圖4 所示。

圖4 AMECoDEs-LO個體編碼結構Fig.4 Individual coding structure of AMECoDEs-LO

前100 代種群中的個體組成數據集，AMECoDEs-LO 優先優化支配集中的成分。定義三個狀態Ss、So、Sn分別對應支配集篩選、優化和回歸到正常的AMECoDEs 優化。Ss狀態下采用PCA 進行P集合中成分的篩選；So狀態下對P集合中的成分進行動態優化，優化過程中Q集合中的成分固定不變；Sn狀態下，開放Q中所有成分，進行整體優化。算法的優化過程就是這三種狀態之間的切換過程。Ss和So在合適的條件下不斷切換，同時，數據集不斷被更新，支配集和非支配集隨著優化過程不斷變化。當達到穩定狀態時，優化狀態將被更新為Sn，釋放Q中的所有成分，回到正常的AMECoDEs 優化過程。定義趨平率Δf和切換率Δs控制三種狀態的切換時機，其中：Δf代表當前和上一代種群中最優個體的適應度函數值的比值；Δs指20 代內Ss和So狀態之間的切換頻率。

圖5 顯示了三種優化狀態之間切換的觸發條件。在So狀態下，如果Δf≤ε，則意味著支配集中的成分有被優化的空間，狀態保持不變。Δf≥ε，當Δs＞η時，這意味著Ss和So兩種狀態頻繁切換，當前的優化過程已經得到了最終結果，狀態更新為Sn；當Δs≤η時，意味著優化的潛力仍然存在，狀態更新為Ss。一般來說，當有優化潛力時，狀態Ss和So有序地切換。當優化過程陷入瓶頸時，狀態被更新為Sn，開放所有參數，回到AMECoDEs 的算法優化機制。

圖5 三種優化狀態的切換Fig.5 Switching between three optimization states

分層優化機制對算法收斂的加速作用體現在P中的成分很大程度上代表了當前數據集中的信息。換句話說，它可以盡可能地迎合解空間中適應度函數值的下降趨勢。

3.4 適應度函數

適應度函數（Fitness Function，FF）用于評價種群中個體的優劣程度。在本文參數辨識系統中，AMECoDEs-LO 種群設置為100，每個種群包含100 個個體，每個個體代表一種候選模型方案。適應度函數的設計如下：

其中：適應度函數表示兩點之間的歐氏距離；(Cx，Cy，Cz)是采集的機械臂末端相機坐標；(X，Y，Z)是采集的機械臂伺服電機轉角在當前模型下通過式（10）計算的坐標。Fitness越小，則機械臂末端實際坐標與模型預測坐標的誤差越小，系統精度越高。算法的更新迭代使Fitness不斷降低。

3.5 算法步驟

AMECoDEs-LO 的流程見圖6，具體步驟如下。

圖6 AMECoDEs-LO流程Fig.6 Flowchart of AMECoDEs-LO

步驟1 初始化種群大小NP、包含所有維度成分的非支配集Q，令支配集P為空集，設置趨平率閾值ε和切換率閾值η，分層優化機制狀態Ss。

步驟2當Fitness滿足收斂條件或達到給定的迭代次數時，輸出全局最優解，算法終止；否則，立即執行AMECoDEs的多精英引導的突變策略和SM 機制。

步驟3 判斷三種優化狀態Ss，So和Sn，對應跳轉步驟4、步驟5 和步驟6。

步驟4 使用PCA 方法計算整個數據集中每個維度參數的支配度。如果P中的參數數量少于總參數數量，則將Q中支配度高于閾值的參數從Q中轉移到P中，同時狀態更新為So并啟動SM 機制；在其他情況下，直接啟動SM 機制。跳轉步驟2。

步驟5 固定Q中所有參數的值，進入SM 機制，優化P中的成分，跳轉步驟2。

步驟6 釋放P和Q中的所有參數，進入SM 機制。跳轉步驟2。

AMECoDEs-LO 種群數量為NP，參數空間維度為D。在優化的過程中對種群中排名靠前的個體排序，該過程時間復雜度為O((NP) · log(NP))；判斷優化狀態，這一過程時間復雜度遠小于原算法轉移機制時間復雜度O(NP·D)；對種群中所有維度進行主成分分析并排序，時間復雜度為O(D2)；當分層優化機制陷入瓶頸時，開放所有參數進行整體優化操作的時 間復雜 度小于O(NP·D)。綜上所 述，當log(NP) ?D時，算法每一代計算的時間復雜度為O(NP·D)。

4 實驗與結果分析

機械臂的主體由連桿和伺服電機組成，工業機械臂不宜拆裝。為探究本文方法，在3D 打印機械臂上進行實驗，視覺機械臂系統由intel D435 雙目相機、相機支架和機械臂組成。

數據采集階段，在機械臂伺服電機轉動有效范圍內隨機生成100 組角度。依次控制機械臂運動，運動完成后系統休眠1 s，等待雙目相機采集機械臂末端位置。采集過程中相機分辨率設置為420 像素×240 像素，機械臂運動空間內無障礙物，得到100 組（角度，位置）樣本數據，用于校準系統模型。由于雙目相機產生的深度信息直接影響目標物體的相機坐標，本文使用Intel 官方標定方法對雙目相機進行內參標定，2 m 內定位誤差在2%以內［18］。數據采集階段使用的深度范圍是400～600 mm，定位精度約為2.5 mm。

4.1 不同個體配置下的系統精度校準

聯合建模優化方法通過同時調整系統的模型參數以提高系統整體精度。AMECoDEs-LO 為優化不同構型的機器人系統參數提供了可能性，可變的個體編碼結構可以方便地表示各種系統參數。本文在正常機械臂和受損機械臂兩種硬件配置下探究不同個體配置對系統精度的影響。5 種個體配置如表1 所示。其中：ψ表示伺服電機補償模型的參數矩陣；T表示手眼標定外參矩陣；Φ表示D-H 模型參數矩陣。對于T的前饋測量，通過連續拍攝機械臂手持標定板的照片，使用張正友標定法［19］確定。ψ的前饋測量通過高精度陀螺儀采集伺服電機轉動角度，使用擬合曲線的方法實現。算法在運行過程中對不同個體配置的參數進行迭代優化，產生的Fitness值即為整個視覺機械臂系統的精度。

表1 5種個體配置Tab.1 Five individual configurations

為了有效地評估不同個體配置對系統精度的影響，優化算法的參數設置為：趨平率0.90、切換率0.5、種群規模100，收斂停滯的條件為達到給定的迭代次數或Fitness在1 000 代保持不變。評價算法收斂性能的三個指標為：1）算法收斂時的迭代次數；2）算法收斂所用時間；3）系統Fitness。為公平起見，同種硬件配置的輸入保持一致。

4.1.1 正常機械臂

一般情況下，傳統校準方法不需要對伺服電機系統進行補償。因此，為了驗證本文方法，選用Type 0、Type 3、Type 4這3 種個體配置。

傳統方法的個體編碼結構是Type 0。首先，需要前饋測量手眼外參矩陣T，將其預先加入校準算法，通過校準參數矩陣Φ提高整個視覺機械臂系統的精度。Type 3、Type 4 沒有額外的測量儀器及人工參與，不單獨處理各子系統，不同的是Type 4 配置額外增添了參數矩陣ψ的校準。

圖7 顯示了3 種個體配置下系統的收斂情況。從算法收斂結果可以看出，相較于Type 0，Type 3 和Type 4的Fitness分別減小了0.37 mm、0.36 mm，兩者都有效地降低了前饋校準手段產生的誤差影響。

圖7 正常機械臂環境下的3種個體配置的收斂情況Fig.7 Convergence of three individual configurations under normal manipulator environment

相較于Type 3，Type 4 增加了伺服電機補償模型，對算法收斂時間造成的影響如表2 所示。結果表明，隨著待定參數的增加，系統的收斂時間變長，然而對于視覺機械臂系統校準而言，系統平均精度這一評價指標的重要性遠大于收斂速度，兩種配置下的系統整體精度僅相差約0.01 mm。

表2 正常機械臂環境下的個體配置情況Tab.2 Individual configuration under normal manipulator environment

4.1.2 受損機械臂

為全面驗證本文方法的有效性，在機械臂存在連桿受損和伺服電機受損的情況下進行實驗。

Type 1 是傳統標定方法，即分別標定各子系統再整合至整個系統，系統中有兩種測量手段的參與。首先對ψ和T進行前饋測量；其次，將以上兩種前饋子系統參數預先加入整個標定算法，通過校準參數矩陣Φ提高系統精度。與Type 1不同，Type 2 只有參數矩陣ψ的前饋測量，沒有標定板的參與。將參數矩陣ψ預先加入標定算法，算法對Φ和T同時進行校準。Type 3、Type 4 兩種個體配置同正常機械臂校準實驗相同，不作額外的處理。

圖8 顯示了4 種不同個體配置的收斂情況。Type 1、Type 2、Type 4 這3 種配置的最終收斂情況表明人工干預的程度越低，Fitness越小。對于存在伺服電機受損情況的機械臂，增添伺服電機補償模塊的Type 4 系統相較于Type 3，Fitness明顯降低，由1.459 mm 降低至0.755 mm；相較于傳統方法（Type 0），Fitness降低了60%。

圖8 受損機械臂環境下的4種個體配置的收斂情況Fig.8 Convergence of four individual configurations under broken manipulator environment

在大多數情況下，算法在停止收斂之前均可達到一個穩定的狀態（收斂），當使用Type 4 系統進行實驗時，1 100 代之后誤差已經降低至1 mm 以下。算法的運行時長如表3 所示，1 100 代之后，算法對待優化參數進行持續微調，直到7 835 代完成收斂，歷時149 s。

表3 受損機械臂環境下的個體配置情況Tab.3 Individual configurations under broken manipulator environment

4.2 超參數配置

AMECoDEs-LO 中固定的超參數包括種群規模、趨平率閾值、切換率閾值。本節對不同超參數進行測試，并確定最合適的參數取值。參數辨識系統的數據輸入為受損的視覺機械臂系統采集的數據。

4.2.1 趨平率閾值和切換率閾值

趨平率閾值和切換率閾值的不同組合控制算法進入PCA 優化機制的時機。以Type 4 作為測試對象，種群包含100 個個體，測試了不同趨平率閾值和切換率閾值組合對算法收斂情況的影響。

表4 結果顯示，趨平率閾值的選擇至關重要，必須保持在0.85 以上才能獲得較好的結果。趨平率的閾值越高，算法收斂的過程中進入PCA 的機會越少，收斂速度越慢；當趨平率閾值小于0.85 時，優化算法容易陷入局部最優解。趨平率閾值在合理范圍內時，切換率閾值適當增大可以提高收斂速度。如果對算法運行的時間要求較低，建議趨平率閾值為0.95，切換率閾值為0.50。

表4 兩種參數的不同組合情況Tab.4 Different combinations of two parameters

4.2.2 不同種群規模的比較

種群規模NP作為關鍵參數之一，指種群中個體的數量，主要反映種群信息量的大小。NP越大，種群包含的信息越豐富，但是帶來的后果就是計算量變大，不利于求解；反之，種群多樣性受到限制，不利于算法求得全局最優解，甚至會導致搜索停滯，NP應該取一個合適的值。

實驗針對視覺機械臂聯合建模優化問題，對不同種群下算法的性能進行了測試。測試結果如圖9 所示，圖中的收斂曲線顯示了當種群規模分別設置為50、75、100、125、150 時算法的收斂情況。結果表明，當NP=150 時，AMECoDEs-LO的Fitness值最低，意味著算法的性能接近最優。

圖9 不同種群規模下適應度的比較Fig.9 Comparison of fitness in populations with different scales

4.2.3 七種算法系統收斂對比和驗證

將AMECoDEs-LO 與遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）、粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）、差分（Differential Evolution，DE）算法、種群集成差分算法IMPEDE（Improved Multi-Population Ensemble Differential Evolution）［20］、基于親本選擇框架的差分算法DESPS（improving Differential Evolution with a Successful-Parent-Selecting framework）［21］、AMECoDEs 進行對比，對受損機械臂整體進行系統精度標定。算法的超參數均為最優，除趨平率、切換率閾值不一致外，其他參數的初始值保持一致。收斂情況如圖10（a）所示，AMECoDEs-LO 的收斂速度和精度均優于其他算法。

AMECoDEs-LO 在AMECoDEs 的框架基礎上增加PCA 技術實現優化，同時兼具原算法針對收斂過程中局部最優問題的轉移機制，相較于AMECoDEs，AMECoDEs-LO 的收斂速度和Fitness分別提升和降低了21.2%和5.4%，整體收斂曲線呈現持續下降的趨勢，且下降速度較快，表明本文算法不易陷入局部最優，其中的PCA 技術對算法的收斂有促進的作用。分層優化機制的三種優化狀態的切換情況如圖10（b）所示，在4 093 代之前經過7次Ss和So之間的有效切換，Fitness下降至0.775 mm；在之后的20 代頻繁切換10 次，切換率達到設定的閾值0.5，分層優化機制控制優化狀態切換到Sn，同時開放所有參數并回歸原AMECoDEs 算法機制繼續優化，最終Fitness進一步下降至0.755 mm。

圖10 AMECoDEs-LO的性能Fig.10 Performance of AMECoDEs-LO

相較于傳統的系統分離校準方法（Type 1），本文方法的Fitness降低了60%。使用校準前后機械臂末端的空間距離誤差作為評價標準，從采集點隨機挑選20 組數據對兩種標定方式進行驗證。如圖11（a）所示，驗證結果表明了在當前定位設備下，本文方法的Fitness小于子系統分離標定再整合的方法。由于本文模型的誤差根據樣本數據計算，因此Fitness可能只對樣本點有效。為此，額外采集20 組校驗點進行驗證，圖11（b）顯示了校驗點的Fitness為0.749 mm，和本文方法的Fitness極為接近，驗證了方法的有效性。

圖11 聯合系統和傳統方法精度驗證對比Fig.11 Accuracy verification comparison between joint system and traditional method

4.3 伺服電機軟補償模型性能測試

實驗中使用的伺服電機型號為TBS-K20，標準狀態下的空載精度為0.240°。不同于行星減速器等降低轉速，提升扭矩，匹配慣量的硬件解決方案，本文所提出的伺服電機軟補償方案成本低，補償效果良好。針對受損的2 號伺服電機，聯合系統模型使用了三種軟補償方案，函數形式為：

性能評價標準為名義轉動角度和實際轉動角度之差的絕對值。實驗中使用陀螺儀測量2 號伺服電機的角度，陀螺儀的靜態精度為0.050°，動態精度為0.100°。測試結果如圖12 所示，數據顯示該伺服電機的平均精度為4.212°，最低誤差1.584°，最高誤差5.562°。受損的伺服電機的精度在三種軟補償方案的作用下均大幅提高。

圖12 伺服電機軟補償的性能Fig.12 Performance of servo motor soft compensation

計算補償后數據的殘差平方和（Residual Sum of Squares，RSS）、平均絕對誤差（Mean Absolute Error，MAE）、均方根誤差（Root Mean Squared Error，RMSE）、標準差（Standard Deviation，SD）。表5 表明本文使用f（3x）函數的各項指標均為最優，其中平均絕對誤差達到了0.265°，和正常伺服電機空載精度僅差0.025°，最大誤差降低至0.830°。

表5 三種方案在不同指標上的結果 單位：（°）Tab.5 Results of three schemes on different indexes unit：（°）

4.4 伺服電機模型通用性及不同采集區域下系統精度

在機械臂連桿扭曲、伺服電機精度受損的情況下，本文方法提高了視覺機械臂系統的整體精度，其中伺服電機模型這種軟補償的方式大幅提高了受損伺服電機的精度。為驗證伺服電機補償模型不影響正常伺服電機的性能，采用控制單一變量思想，保持連桿扭曲，優化算法的參數設置保持一致。R1 機械臂的2 號伺服電機受損，R2 機械臂的2 號伺服電機則是正常的。

使用Matalb 的Robotic Toolbox 工具箱制作數據采集區域，如圖13 所示。在機械臂的運動空間內以嵌套的方式劃分4 組采集區域，機械臂R1、R2 由內而外地從4 個區域分別采集25、50、75、100 組數據，每組數據包含機械臂轉角和末端相機坐標。

圖13 四種不同的數據采集區域Fig.13 Four different data collection areas

使用7 種算法的參數辨識結果和收斂情況如表6 所示，相較于其他6 種進化算法，AMECoDEs-LO 收斂更快，性能更穩定。在機械臂整個運動空間內隨機選擇20 個校驗點進行驗證。使用AMECoDEs-LO 進行參數辨識的結果如表7 所示，在同一采集區域內，R1 和R2 兩種機械臂的系統平均誤差最大偏差為0.05 mm，校驗點的平均誤差最大偏差為0.03 mm，兩種系統的整體精度極為接近，說明有無伺服電機受損對系統精度影響不大，驗證了伺服電機軟補償模型的通用性。同時，校驗點在機械臂整個運動空間內隨機選取，對于采集區域較小的數據樣本，經過參數辨識后系統平均誤差和校驗點平均誤差相差較大；直到采集區域覆蓋整個機械臂的運動空間，兩者的差距逐漸減小到極低的程度。該現象表明根據機械臂應用的不同，不同工作空間內校準的精度不同，但在每一種工作區域內，視覺機械臂整體的系統精度都得到了提高。

表6 四種采集區域下兩種機械臂在七種算法下的Fitness比較Tab.6 Fitness comparison of two manipulators under seven algorithms in four collection areas

表7 系統的收斂和校驗結果 單位：mmTab.7 Convergence and verification results of system unit：mm

4.5 魯棒性

本文方法中，參數辨識系統需要獲得機械臂關節轉角和對應的機械臂末端相機坐標進行系統模型的求解，在當前型號相機存在約2.5 mm 的定位誤差下提高了系統精度。在工業場合應用中，相機受環境噪聲影響引起圖像特征匹配不穩定，容易對系統產生更大程度的干擾。為了進一步驗證本文方法的有效性，在采集的機械臂末端相機坐標額外加入一定強度的高斯白噪聲，模擬工業環境進行魯棒性測試。干擾項的產生定義為d(t)=σw(t)，其中σ表示噪聲的強度，w(t)產生1 dBW 的高斯白噪聲［14］。

實驗中將3 種不同強度的噪聲分別施加在100 組采集點的x、y、z軸分量上，其他設置保持不變。如圖14 所示，當噪聲強度 為0.5、1、1.5 時采集點的Fitness為0.848 mm、1.653 mm、2.491 mm。表8 顯示了在不同強度噪聲下使用本文方法優化前后，聯合系統模型在不同分量上的Fitness。優化前的系統模型選用4.4 節的R1 型機械臂（未加入噪聲）的優化結果。結果表明，隨著噪聲強度的不斷加大，聯合系統模型的Fitness并沒有線性增大，僅有小幅度增長。在不同強度的噪聲干擾下，Fitness相較未加入噪聲的0.755 mm，分別增大了0.052 mm、0.068 mm、0.085 mm，坐標軸各分量誤差相對較高。AMECoDEs-LO 的收斂情況如圖15 所示。AMECoDEs-LO 在3 種不同強度噪聲的干擾下完成收斂時的迭代次數相較于未加入噪聲的7 835 代，分別增長到7 965、8 320、9 953 代，表明噪聲的增強引起系統辨識難度的增大，但系統模型依然保持著較高的精度，驗證了系統的魯棒性。

圖14 三種不同強度的高斯白噪聲Fig.14 Three Gaussian white noise with different intensities

表8 加入不同強度噪聲后系統模型的Fitness 單位：mmTab.8 Fitness of system model after adding noise with different intensities unit：mm

圖15 不同強度噪聲下AMECoDEs-LO的收斂情況Fig.15 Convergence of AMECoDEs-LO under noise with different intensities

5 結語

本文提出了一種魯棒的視覺機械臂聯合建模優化方法AMECoDEs-LO，從系統整體考慮，避免了傳統方法對各子系統分開標定再整合至整個系統所造成的誤差傳播；聯合系統中的伺服電機軟補償模塊有效地補償了受損的伺服電機精度，并且這種補償方式不需要硬件成本，通用性也得到了驗證；在不同工作空間下的參數辨識結果顯示，相較于六種對比算法，AMECoDEs-LO 在視覺機械臂模型校準問題上性能良好；魯棒性測試結果表明了本文方法可以將視覺傳感器受環境噪聲因素造成定位精度不準確的影響降至最低。

綜上所述，本文方法在視覺機械臂系統因連桿存在形變、伺服電機精度受損、視覺傳感器定位不準確等問題的情況下解決了整個系統的校準問題，整個校準過程全自動且高效；改進的AMECoDEs-LO 收斂速度較快，不容易陷入局部最優解，可以完成視覺機械臂的快速部署。對工業場景下機械臂自主建模，擺脫傳統固定示教的工作模式有一定的借鑒意義，基于本文算法，未來擬研究多態感知與柔性抓取問題。