一種帶有反饋濾波器的自整定Smith預估器設計及其在紙張橫幅定量控制中的應用

湯 偉 張 旭 劉文波 徐大海 王 杰

（陜西科技大學電氣與控制工程學院，陜西西安，710021）

紙張定量控制技術包含縱向定量控制技術和橫幅定量控制技術，其中縱向是指紙機運行方向，橫幅即為垂直紙機運行方向[1-2]?？v向定量控制技術已逐漸成熟，但是不能保證紙張定量的均勻分布，而實施橫幅定量控制技術可以使紙張的勻度更高。但由于稀釋水閥執行器之間存在強耦合、系統存在大時滯等特性使得橫幅定量控制變的更加困難。工程實踐中傳統的比例積分微分（PID）控制器參數一般是人為設定，但在面對這種具有不確定性的復雜對象時，難以獲得理想的控制效果。有學者采用模糊控制器整定PID參數，雖然提高了系統的抗擾能力，但在面對這種強耦合、大時滯控制對象時，系統動態性能依然不佳[3]。鑒于Smith預估器具有較好的控制效果，同時受模糊控制不需要對控制對象進行精確建模的啟發，本課題提出將Smith預估器與模糊自整定PID相結合的控制方案來解決紙張橫幅定量控制所存在的控制難題。

本課題首先對帶有稀釋水水力式流漿箱的長網造紙工藝流程進行闡述，分析紙張橫幅定量控制所存在的控制難點。其次建立橫幅定量控制過程的數學模型，針對其關聯矩陣為非方高維矩陣的特點，使用“區域化點”的方法對系統進行降維，并設計解耦逆矩陣以將系統轉換為與稀釋水閥數量一致的n個單回路。最后針對解耦后的多個單回路存在大時滯的特性，設計帶有反饋濾波器的Smith預估器加模糊自整定PID復合控制方案，并取得良好的控制效果。

1 帶有稀釋水水力式流漿箱的長網造紙工藝流程

圖1為稀釋水流漿箱定量控制工藝圖。如圖1所示，在一般的橫幅定量控制工藝中，稀釋水閥位于紙機頭部，沿流漿箱橫幅等距安裝，定量檢測裝置（掃描架）則安裝在紙機尾部，掃描架上的掃描探頭沿紙機橫幅往復運動，所采集到的瞬時采樣值便是橫幅定量數據。稀釋水流漿箱的定量調節過程為：當尾部的掃描架檢測到某處定量與設定的定量值出現差距時，改變紙機頭部的稀釋水閥開度，從而相對應的階梯擴散管的稀釋水注入量得到改變，最終產生的效果即為該處的漿料流量與稀釋水流量的比率產生變化，即通過調節漿料濃度來達到使該處定量達到設定值的目的。因此采用稀釋水流漿箱的橫幅定量控制系統存在以下控制難點。

圖1 稀釋水流漿箱定量控制工藝圖[4]Fig.1 Basis weight control process diagram of headbox with dilution water[4]

1.1 非方高維耦合特性

在橫幅定量控制系統中，一般沿流漿箱橫幅每60 mm安裝一支稀釋水閥，水閥數量隨著紙幅寬度增大而增多，一般在幾十到幾百只，而紙機尾部的橫幅定量數據一般在幾百個，甚至數千個，這樣就構成了一個非方的高維系統，對非方高維系統進行求解計算量巨大。當改變稀釋水閥開度使稀釋水閥動作時，由于流體在流動時具有沖擊特性，會對該稀釋水閥兩側的鄰近區域產生影響，即影響鄰近區域的定量值，在控制上表現為耦合特性[4]。

1.2 時滯特性

定量檢測點位于紙機尾部，稀釋水閥位于紙機頭部的流漿箱上，數據傳輸與稀釋水閥動作輸出之間橫跨整個紙機，系統存在較大滯后時間，而滯后時間與紙機長度和定量數值成正比，與紙機車速成反比，在控制上表現出大時滯特性。

傳統的控制方式難以解決上述提及的控制難點，因此本課題提出設計一種帶有反饋濾波器的Smith預估器的模糊自整定PID控制方案來解決上述存在的控制難題。

2 橫幅定量控制過程數學模型

對于一套含有m個測量點和n個稀釋水閥的橫幅定量控制系統，其數學模型如式(1)所示[5]。

式中，Ycd(s)為橫幅檢測點的輸出值；yi(s)為沿紙機橫幅第i（i=1，2，…，n）個檢測點的測量定量值；U(s)為稀釋水閥執行輸出的控制量；uj(s)為第j（j=1，2，…，m）個稀釋水閥的輸出控制量；Gt(s)為橫幅定量控制系統中的關聯耦合矩陣；gij為第j個稀釋水閥動作時對下游第i個測量點的影響系數；g0(s)為稀釋水閥輸出到紙機尾部檢測點之間的傳遞函數；T為系統慣性時間常數；l為系統的滯后時間。

橫幅定量系統的關聯矩陣是一個m×n的非方矩陣，若想對其求解則需要進行降維化方，才能降低解耦運算量。采用“區域化點”的思想來對系統進行降維，即1只稀釋水閥控制1個測量點區域，假設1只稀釋水閥影響相鄰兩側各d個測量點，則系統的耦合寬度為p=2d+1。若通過引入1個前置矩陣對系統進行降維，降維計算過程如式(2)所示。

式中，gp+1+n/m,i為第i個稀釋水閥對應的正下游測量點的位置。則降維后的關聯矩陣形式即為式(3)所示。

根據研究發現，某個稀釋水閥執行器動作，其對紙機尾部的測量點產生的影響是中心對稱的，則有g'ij=g'ji，因此關聯矩陣可進一步簡化為式(4)。

式中，g'0代表該稀釋水閥動作對正下游測量區域的影響系數；g'q代表該稀釋水閥動作對鄰側第q個稀釋水閥對應的測量區域的影響系數。

這樣，新的關聯矩陣維數就變成了與稀釋水閥數量一致的方形矩陣，降維后的系統數學模型如式(5)所示。

而降維后的關聯矩陣需要對其設計解耦補償矩陣，將降維后的系統轉變成對角系統，這樣便可分解成與稀釋水閥數量一致的n個單回路，然后對n個單回路分別設置控制器進行控制，使得控制難度大大降低。

設解耦器為N(s)，則解耦后系統的關聯矩陣形式如式(6)所示。

根據式(6)計算可得N(s)G'(s)=G0(s)。若G'(s)為非奇異矩陣，則解耦器可設置為N(s)=G'-1(s)，將其設置在被控對象與控制器之間，通過解耦器作用于被控對象，將其轉變為具有n個單回路的主對角系統，然后通過控制器完成對n個單回路的單獨控制。解耦器的解耦結構如圖2所示。

圖2 橫幅定量系統解耦框圖Fig.2 Block diagram of decoupling structure of the cross direction basis weight system

3 模糊自整定PID-Smith控制器設計

解耦后的系統為與稀釋水閥數量一致的n個單回路，由于稀釋水閥之間具有相同的物理特性，因此只需完成1個回路的設計，同理便可完成其余回路的設計。

本研究將模糊控制與PID控制相結合，同時對Smith預估器進行改進，即采用改進后的Smith預估器與模糊自整定PID相結合來加強對橫幅定量控制系統的大時滯過程的控制效果。圖3為系統結構框圖。

圖3 系統控制框圖Fig.3 Block diagram of system control

3.1 帶有反饋濾波器的Smith預估器

常規Smith預估器在理想情況下（即Gm(s)e-lms=Gp(s)e-ls）可以完全消除時滯帶來的不利影響，但Smith預估器存在的缺點是要求精確建立控制對象的預估數學模型，否則控制效果會大打折扣[6-8]。而在實際應用時，大多控制對象都難以進行精確建模，因此本研究采用帶有反饋濾波器的Smith預估器（FuzzyPID-FSmith），其結構圖如圖4所示。

圖4 帶有反饋濾波器的Smith預估器結構圖Fig.4 Structure of Smith predictor with feedback filter

由結構框圖可以推導出輸出y(s)到輸入r(s)的系統傳遞函數如式(7)所示。

式中，Gc(s)代表控制器；e-ls代表被控對象的時滯環節；Gm(s)代表對象模型不含時滯環節的模型；Gm(s)e-lms表示預估模型，在理想狀況下，它等同于實際過程Gp(s)e-ls。

根據傳遞函數可以看出，當模型精確時，帶有反饋濾波器的系統傳遞函數相比傳統Smith預估器并無區別[9]；而當模型失配時，相當于在主反饋通道引入一階濾波器，使得模型失配的誤差信號pm(s)經過一階濾波器的濾波處理后才能反饋到控制器Gc(s)，從而削弱了模型失配產生的模型誤差帶來對系統的影響。根據研究發現，當模型失配時，若Tm取值過小，雖然調節時間會變快，但同時也產生了一定的超調，系統穩定性變差；若Tm取值過大，雖然會減小系統的超調量，但反應速度也會變慢。根據多次實驗發現，當Tm≥lm時，濾波器才會起到較好的調節效果。因此為了兼顧快速性和穩定性，本研究濾波時間常數取值與滯后時間常數相同，即Tm=lm。

3.2 模糊自整定PID橫幅定量控制器設計

本課題所設計模糊控制器的2個輸入分別為經過量化因子量化后的橫幅定量偏差e(t)=r(t)-y(t)和偏差變化率ec=de(t)dt，輸出分別為kP、kI、kD3個參數的調整值，記作ΔkP、ΔkI、ΔkD，紙機尾部所檢測到的橫幅定量值經過與設定的定量值比較，若存在誤差，則計算出該時刻的定量誤差以及其變化率，然后輸送到模糊控制器中并根據所設計的模糊規則來計算出PID參數的修正量，從而在線調整PID參數來滿足系統不同時刻的需求[10-11]。

3.2.1 模糊集、模糊論域及量化因子選取

橫幅定量偏差e和ec的基本論域為[-0.5，0.5]，模糊論域可選取為[-3，3]，通過設定量化因子可將基本論域映射到模糊論域范圍內，量化因子為：3/0.5=6。

圖5為e和ec隸屬度函數。由圖5可知，e和ec的模糊集分為7個等級，其中NB、NM、NS的含義為負向大、負向中和負向小，分別表示實際定量測量值相比設定的定量值高得多、較高和高一點，ZE表示實際定量測量值與設定的定量值相等，PS、PM、PB的含義為正向大、正向中和正向小，分別表示實際定量測量值相比設定值低一點、較低和低的多。

圖5 e和ec隸屬度函數Fig.5 Degree of membership function for e and ec

圖6為ΔkP、ΔkI、ΔkD的隸屬度函數。根據經驗輸出變量 ΔkP、ΔkI、ΔkD的基本論域選取為[-0.5，0.5]，其模糊論域可取為[-1，1]，那么量化因子均為：0.5/1=0.5。輸出變量模糊集同樣分為7個等級，其中NB代表參數調整為負向極大，NM代表參數調整為負向適中，NS代表參數調整為負向極小，ZE則代表參數調整為零，PS代表參數調整為正向極小，PM代表參數調整為正向適中，PB代表參數調整為正向極大。

圖6 ΔkP、ΔkI、ΔkD隸屬度函數Fig.6 Degree of membership function for ΔkP, ΔkI, ΔkD

3.2.2 隸屬函數選取

考慮到三角隸屬度函數運算簡單、內存空間占用小的特點，以及三角函數對系統誤差變化反應靈敏、分布均勻[12]，因此本研究的輸入輸出變量均選取論域均勻劃分的三角函數作為隸屬函數。

3.2.3 紙張橫幅定量控制器模糊規則選取

結合現場參數整定經驗以及前人研究，橫幅定量系統模糊規則的設定遵循原則如下。

當定量誤差較大時，此時以盡快消除定量偏差為主要目標，應該選取較大的ΔkP來盡快到達設定的定量值，為防止出現超調，ΔkI一般取零即可。

當定量誤差適中時，此時系統到達響應中期，定量偏差變化率ec為中等大小，為了保證系統的響應速度同時也要減小超調，應該選用較小的ΔkP、ΔkI，而ΔkD適中即可。

當系統到達響應后期時，定量偏差|e|較小，實際定量值已經非常接近設定值，為降低穩態誤差，應選取較大的ΔkP以及較小的ΔkI，同時為防止在穩態值附近震蕩，ΔkD適中即可[13-14]。

綜上所述整定原則，可列模糊規則表，具體如表1所示。

表1 ΔkP、ΔkI、ΔkD模糊規則表Table 1 Table of fuzzy rules for ΔkP, ΔkI, and ΔkD

根據所設計的模糊規則，模糊控制器進行推理運算，實時輸出PID控制器的校正參數，最終得到PID的3個參數的改變量分別為ΔkP、ΔkI和ΔkD，參數整定公式如式(8)所示。

式中，kP0、kI0和kD0為PID參數的初始值。

4 仿真研究

采用Simulink搭建仿真模型，被控對象數學模型采用關聯矩陣為10×10的托普利茲矩陣形式[15]，如式(9)所示。

對所建立的定量系統模型加單位階躍信號，定量系統的開環響應結果如圖7所示。由圖7可以看出，橫幅各稀釋水閥之間存在較強耦合關系，使得橫幅定量嚴重不均勻，與設定的定量值之間存在較大誤差。

圖7 橫幅定量系統開環響應平面圖Fig.7 Open-loop response of cross direction basis weight system

為驗證本研究所設計的控制算法的控制效果，分別采用PID控制器、傳統的Smith預估器（PID-Smith）以及本研究的控制算法（FuzzyPID-FSmith）對定量系統進行仿真。用Z-N法得到PID控制器的參數值kP=2.14、kI=0.06、kD=0.25，采用大林算法得到PIDSmith控制器的參數值kP=2.14、kI=0.41、kD=0，并將其作為FuzzyPID-FSmith的初始值，即kP0=2.14、kI0=0.41、kD0=0，Smith預估器的反饋濾波時間常數一般取值與預估模型的滯后時間常數一致tm=8。同時為驗證抗擾動能力分別在t=0 s和t=100 s對系統加入單位階躍信號和幅值為-0.3的階躍負載擾動。

4.1 標稱情況下系統性能測試

圖8為系統加入解耦矩陣后，并使用PID控制器的仿真結果。由圖8可以看出，系統的耦合已經被抵消，但由于時滯的存在，導致系統響應速度遲鈍，存在著32%的超調量和長達50 s的調節時間，且在受到擾動后需要較長時間才能恢復到穩態值，抗擾性能不佳，不適用于橫幅定量的大時滯控制。

圖8 PID控制器下紙張橫幅平面圖Fig.8 Plan view of cross direction of paper with PID controller

圖9和圖10分別為在PID-Smith控制器和本研究所設計的FuzzyPID-FSmith控制器下的仿真結果。由圖9和圖10可以看出，系統在FuzzyPID-FSmith控制器和傳統的PID-Smith控制器都具有較好的動態性能，本研究所設計的控制算法無論是在追蹤設定定量值方面還是抗擾動方面都略勝一籌，各控制方案的系統動態性能對比結果見表2。

圖9 PID-Smith控制器下紙張橫幅平面圖Fig.9 Plan view of cross direction for paper with PID-Smith controller

圖10 FuzzyPID-FSmith控制器下紙張橫幅平面圖Fig.10 Plan view of cross direction for paper with FuzzyPIDFSmith controller

表2 標稱情況下性能指標Table 2 Performance indicators at nominal conditions

4.2 模型失配情況下系統性能測試

為檢驗在模型失配下各控制算法的有效性，將系統模型的增益K、時間常數L均增大20%，時間常數T減小20%，然后進行仿真。圖11為在傳統的PID控制器下系統的仿真結果圖。由圖11可知，系統調節時間變得更長，抗擾性能更差，系統動態性能全面下降。圖12為在PID-Smith控制器控制下系統仿真結果。由于模型失配原因系統已經發散，紙張的橫幅平面起伏嚴重，控制效果大大降低。在本研究所設計的FuzzyPID-FSmith控制器下，紙幅平面圖的結果如圖13所示。由圖13可知，系統雖然產生了超調，但是依然能快速達到設定值并進入穩態，受到干擾后也能在較短時間內恢復到穩定狀態，系統的魯棒性得到較大的提升。模型失配下各個控制方案系統的動態性能指標具體如表3所示。

圖11 PID控制器下紙張橫幅平面圖（模型失配）Fig.11 Plan view of cross direction of paper with PID controller(model mismatch)

圖12 PID-Smith控制器下紙張橫幅平面圖（模型失配）Fig.12 Plan view of cross direction of paper with PID-Smith controller (model mismatch)

圖13 FuzzyPID-FSmith控制器下紙張橫幅平面圖（模型失配）Fig.13 Plan view of cross direction of paper with FuzzyPID-Fsmith controller (model mismatch)

表3 模型失配情況下性能指標Table 3 Performance indicators in case of model mismatch

5 實際應用

以陜西某造紙廠為例，紙機車速600 m/min、幅寬3.5 m、涂布白紙板定量306 g/m2，并由55個稀釋水閥共同控制。圖14為系統運行穩定后某個時間段的橫幅定量偏差監控曲線。由圖14可知，橫軸坐標為55個稀釋水閥的編號，縱軸坐標由上到下分別表示橫幅定量差和相對應稀釋水閥開度。最大正偏為該處橫幅定量值偏離平均值的正向最大值，最大負偏為該處橫幅定量值偏離平均值的負向最大值，2σ的含義為橫幅定量的均方差指標，其值越小，定量越均勻。

圖14 現場實際應用橫幅定量差曲線Fig.14 Deviation curves of cross direction basis weight for practical application on site

從圖14可以看出，在應用本課題的研究算法后，系統的定量偏差整體波動較小，其橫幅定量差指標為6.6/306.1=2%（一般采用2σ/定量平均值的方式來作為橫幅定量差的評價指標，并要求在5%以內，同時其指標在3%以內的為優等品），滿足造紙企業對橫向定量控制的需求，取得了較好的控制效果。

6 結論

本課題通過建立紙張橫幅定量系統數學模型，采用“區域化點”法對紙張橫幅定量系統進行降維，并對降維后的系統設計解耦逆矩陣作為解耦器。設計了一種帶有反饋濾波器的自整定Smith預估器（FuzzyPID-FSmith）。仿真結果表明，本課題所設計的控制算法調節時間快、超調量小、系統魯棒性強。將本課題所設計算法投入現場應用，將橫幅定量差指標控制在2%以內，取得了較好的控制效果，能夠滿足造紙企業的需求。