王知真,郭繼東,b
(1.伊犁師范大學a.數學與統計學院;b.應用數學研究所,新疆伊寧 835000)
在文獻[1]中,Frobenius 給出:設Cn為n階循環群,G是有限群,則Cn到有限群G的同態個數滿 足 | Hom(Cn,G)|≡0(m od (n,|G|)),其 中,(n,|G|)表示n與|G|的最大公因數.1993 年,T.Yoshida 在文獻[2]中推廣了Frobenius 定理,將循環群換成了有限交換群.同一年T.Asai 和T.Yoshida 在文獻[3]中提出了如下猜想:
對任意有限群A和B,均有
其中,A′是A的換位子群.
文獻[4—9]分別計算了二面體群D2n、擬二面體群QD2n、Sylowp-子群為循環群的10pn階非交換群G10pn、模群Mpm等群間的同態個數.對于pm階模群到2nq階亞循環群的同態個數目前未見相關文獻報道.本文具體計算這兩類群的同態個數,并驗證其滿足T.Asai 和T.Yoshida 猜想.
由文獻[4]知:稱Mpm為pm階的模群(p為素數,m≥3 為正整數),如果
由文獻[8]知:稱Gn,2q為2nq階亞循環群(q為奇素數,n為正整數),如果
本文中所考慮的Mpm和Gn,2q都是有限群,(u,v)表示整數u與v的最大公因數,[u,v]表示整數u與v的最小公倍數,φ表示Euler 函數.
引理1設Mpm為pm階模群,則
證明任取,由換位子群的定義知
引理3設Gn,2q為2nq階亞循環群,則
證明因為ab=ba-1,所以有aib=ba-i,進而有
因此引理3 成立.
引理4[8]設Gn,2q為2nq階亞循環群,則
特別地,若j=q,則°(aibj)=2;若j≠q,則°(aibj)=2q.
引理5[10]設G和是兩個有限群,Hom(G,)是G到的所有群同態構成的集合.則任取g∈G和θ∈Hom(G,),恒 有°(gθ)| °(g),其中°(g)是g在G中的階,°(gθ)是gθ在中的階.
定理2.1設p為素數且p=2,m≥3 為正整數,則
當2?n時,下面按4 種假設來證明:
假設2.1.1 設θ:M2m→Gn,2q(x→1,y→1),則θ為群同態.
顯然,此時θ為平凡同態,所以此時群同態θ只有一種選擇.
假 設2.1.2 設θ:M2→mGn,2q(x→akbq,y→aibq),其中0 ≤k,i 可得ai-k=ak-i,所以(ai-k)2=1,解得i=k. 故θ為群同態,所以此時群同態θ有n種選擇. 假設2.1.3 設θ:M2m→Gn,2q(x→1,y→aibq)(0 ≤i 證明與假設2.1.2 類似,此時群同態θ有n種選擇. 假設2.1.4 設θ:M2m→Gn,2q(x→akbq,y→1),其中0 ≤k 證明與假設2.1.2 類似,此時群同態θ有n種選擇. 當2|n時,也按下面4 種假設來證明: 假 設2.1.5設θ:M2m→Gn,2q(x→ak,y→ai),其中0≤k,i 另一方面 從而 故θ為群同態. 假設2.1.6 設θ:M2m→Gn,2q(x→akbq,y→aibq)(0 ≤k,i 另一方面 當t1≡0(mod 2)或s2≡0(mod 2)時,顯然 當t1≡1(mod 2)與s2≡1(mod 2)時,因 為(ai-k)2=1,所以 從而 故θ為群同態. 因 為yθ有2 種選擇,從而xθ有n種選擇.所以此時群同態θ有2n種選擇. 假設2.1.7 設θ:M2m→Gn,2q(x→ak,y→aibq)(0 ≤k,i 證明與假設2.1.6 類似,此時群同態θ有2n種選擇. 假設2.1.8設θ:M2m→Gn,2q(x→akbq,y→ai)(0 ≤k,i 證明與假設2.1.6 類似,此時群同態θ有2n種選擇. 定理2.2設p為奇素數且p=q,m≥3 為正整數,則 當q?n時,有如下假設: 假設2.2.1 設θ:Mqm→Gn,2q(x→bl,y→bj)(0 ≤l,j 故θ為群同態.所以此時群同態θ有q2種選擇. 當q|n時,有如下假設: 假 設2.2.2 設θ:Mqm→Gn,2q(x→akbl,y→aibj)(0≤k,i 另一方面 從而 故θ為群同態. 定理2.3設p為奇素數且p≠q,n≥3 為正整數,則 當p?n時,有°(xθ)|1,°(yθ)|1,由Gn,2q中 元素的性質可知 當p|n時,有°(xθ)|(pm-1,n),°(yθ)|p,由Gn,2q中元素的性質可知 當p?n時,有如下假設: 假設2.3.1 設θ:Mpm→Gn,2q(x→1,y→1),則θ為群同態. 顯然此時θ為平凡同態,所以此時群同態θ只有一種選擇. 當p|n時,有如下假設: 假 設2.3.2 設θ:Mpm→Gn,2q(x→ak,y→ai)(0 ≤k,i 故θ為群同態. 下面對定理2.1—2.3 的結論驗證T.Asai &T.Yoshida 猜想. 定理2.4設p為素數且p=2,m≥3 為正整數,則 證明由引理2 知 |M2m/M′2m|=2m-1,易知亞循環群|Gn,2q|=2nq. 由定理2.1 知,當2?n時, 即M2m到Gn,2q的同態個數滿足T.Asai &T.Yoshida 猜想. 定理2.5設p為奇素數且p=q,m≥3 為正整數,則 證明由引理2 知 |Mqm/M′qm|=qm-1,易知亞循環群|Gn,2q|=2nq. 由定理2.2 知,當q?n時, 即Mqm到Gn,2q的同態個數滿足T.Asai &T.Yoshida 猜想. 定理2.6設p為奇素數且p≠q,m≥3 為正整數,則 由定理2.3 知,當p?n時, 當p|n時, 即Mpm到Gn,2q的同態個數滿足T.Asai &T.Yoshida 猜想.