龍偉芳,葉緒國,龍偉鋒
(1.凱里學院,貴州 凱里 556011;2.貴州師范大學,貴州貴陽 550001)
半群作為上世紀50年代產生的一門新的代數學科,在計算機與信息科學的發展中起到重要的作用.因此,半群的研究受到各國數學家的關注,并投入了大量的精力從事這一領域的研究.在自動機理論、編碼、密碼理論、非線性動力系統和基因工程等新的應用背景刺激下,引起了更多學者的研究興趣.而在半群代數的研究中,對半群結構和性質的研究則是重要內容之一,目前已經有很多研究成果[1-7].
設E為Xn上的一個等價關系.對稱逆半群In中保等價關系E的部分雙射之集IE={α∈In:?x,y∈domα,(x,y)∈E?(xα,yα)∈E}是In是一個子半群,稱為Xn上保E的部分雙射半群.令
PDIE={α∈IE: ?x,y∈dom(α),(x,y)∈E?|xα-yα|=|x-y|}.
則PDIE是既保等價關系E,又在E類上保距的部分雙射半群.
設E2為Xn(n≥5)上的雙等價關系,即E2=(A×A)∪(B×B)∪ΔX,其中A,B是Xn是Xn的不相交的真子集,且|A|>1,|B|>1,ΔX={(x,x):x∈Xn}.
設α∈In,記
Bα=(B∩dom(α))α,Bα-1=(B∩im(α))α-1,α#=(dom(α)(A∪B))α.記α|A=α|A∩dom為α限制在A∩dom上的映射.R關系和L關系不加特別說明時,表明是中的R關系和L關系.
定義1.設α,β∈若(im(α)∪dom(α))∩(im(β)∪dom(β))=?,則α與β不交.不交的α與β的并α∪β定義為
定義2.設A,B為非單點E2類,稱為正規的,如 果|A∩im(α)|≤1,且|B∩im(α)|≤1.否則稱α為非正規的.
引理1.設B∈E2-類,且B∩dom(α)≠?,α∈Bα必包含在某個E2類之中,因此,每個E2類的α的原象或為?或為若干E2類子集的并.
文中未說明的符號與概念請參看Howie[8].
定理1設A,B 為非單點E2類則(α,β)∈L的充分必要條件是im(α)=im(β),且Aβ-1?E2-類,Bβ-1?E2-類.
證 明:“?”(α,β)∈L,則存在γ,使得α=γβ,β=δα,于是im(α)?im(β),im(β)?im(α),故im(α)=im(β).
同理可證α|A的值域為降序排列時.同理可證,Bβ-1?E2-類.
定理2設E是Xn上的一個等價關系,α,β∈PDIE.則((αα,,β))∈?的充分必要條件是dom(α)=dom(β),且?x,y∈Xn,有
(1)(xα,yα)∈E當且僅當(xβ,yβ)∈E;
(2)當(xα,yα)∈E時,|xα-yα|=|xβ-yβ|.
證明:“必要性”若((αα,,β))∈∈?,則有θ,γ∈PDIE使得α=βθ,β=αγ,從而有
dom(α)=dom(β),im(α)=im(θ),im(γ)=im(β).
而α,β,θ,γ都是雙射,進而有dom(θ)=im(β),dom(γ)=im(α).
若?x,y∈Xn,有(xα,yα)∈E?(xβ,yβ)=(xαγ,yαγ)∈E?(xα,yα)=(xβθ,yβθ)∈E,則(1)成立.當(xα,yα)∈E時,|xα-yα|=|xαγ-yαγ|=|xβ-yβ|,則(2)成立.
“充分性”令θ=β-1α,則dom(θ)=[im(β-1)∩dom(α)]β=[dom(β)∩dom(α)]β=im(β).
對 于?a,b∈dom(θ),則 有x,y∈dom(β) 使得a=xβ,b=yβ.若(a,b)∈E,由(1),則(aθ,bθ)=((xβ)β-1α,(yβ)β-1α)=(xα,yα)∈E.所以,θ∈IE.而且,由(2)得 |aθ-bθ|=|(xβ)β-1α-(yβ)β-1α|=|xα-yα|=|xβ-yβ|=|a-b|.所以,θ∈PDIE,且α=βθ.
同理,令γ=α-1β,有γ∈PDIE,且β=αγ.所以(αα,,β))∈?(.
定理3設α,β∈若(α,β)∈D,則|im(α)|=|im(β)|.
證明:若(α,β)∈D,則存在γ,使得αγ=β.于是,
定理4設α,β∈,若α,β都是正規的,則(α,β)∈D.