量子計量學理論背景

丁 國,郭 勝,朱敬華,鄧鵬波

(西安航天計量測試研究所,西安 710100)

1 引言

測量是將一個量的測量狀態Ax和它的參考狀態Aref進行比較。因此,測量精度比標準精度低。

多年來,計量學家一直致力于研究僅依賴于基本物理常數和原子常數的標準。有了這樣的標準,就可以在量子現象的基礎上實現測量單位。計量學的研究方向之一是建立基于量子和原子標準的新測量系統,從而取代傳統的SI 系統。所以,作為計量工作的從業者,有必要對量子現象的理論背景進行初步的了解。

量子現象是用量子力學的概念來描述的。量子力學的開端于1900 年,馬克斯·普朗克在他的分析中提出了一個新的電磁輻射強度公式,該公式比傳統物理學模型更好地描述了電磁輻射。量子力學在20 世紀20 年代由埃爾溫·薛定諤和維爾納·海森堡發展起來,前者提出了薛定諤方程,后者提出了測不準原理。路易·德布羅意、梅克斯·玻恩、尼爾斯·玻爾、保羅·狄拉克和沃爾夫岡·泡利也為此做出了重大貢獻。與經典物理學不同,量子力學經常會顛覆人們對物理現象的常識性理解,例如最近研究人員在電路中觀察到電流以相同的方式同時向兩個方向流動[1]。

任何理論都離不開實際應用,計量工作也是如此。在國際計量局(BIPM)編輯的SI 手冊第9冊[2]中寫道:“計量學是測量及其應用的科學。無論測量不確定度和應用領域如何,計量包括測量的所有理論和實踐”。量子力學應用到計量中就產生了量子計量學,量子計量學至少包含量子物理的三個領域:

①海森堡測不準原理確定測量精度的物理極限;

②構建物理量單位的量子標準:電壓、電阻或電流等電量標準,以及非電流標準,包括原子鐘和激光長度標準;

③極其敏感的電子元件的構造:簡稱SQUID(超導量子干涉器件)的磁通傳感器和基于單電子隧穿的SET 晶體管(單電子晶體管)。

2 幾個重要定律及原理

2.1 普朗克定律

馬克斯·普朗克根據黑體輻射強度的測量,推導出一個公式,該公式在粒子和輻射之間以不連續的方式交換能量,并以與常數成比例的量子形式發射。

式中:E——粒子的能量;h——普朗克常數;f——輻射頻率。

在光譜的紅外、可見和紫外范圍內(波長由200 nm至10 μm),作為溫度和頻率的函數,輻射能量密度的測量結果不能用傳統物理學的規則來解釋。建立在傳統物理學基礎上的Rayleigh-Jeans 能量密度公式,雖然在形式上是正確的,但只精確地描述了遠紅外光譜范圍,即波長在5 μm 以上的研究現象。對于更短的波長,從Rayleigh-Jeans 能量密度公式獲得的結果與測量數據偏離太多,以至于人們將該范圍內預測無限能量密度的理論關系命名為“紫外災難”。只有普朗克在假設能量被量子化的基礎上推導出的公式在整個波長范圍內與測量數據吻合得很好,普朗克定律表示了光譜輻射量頻率f與溫度T的依賴關系u(f,T),也就是光譜輻射量波長λ與溫度T的依賴關系u(λ,T)。

式中:u(f,T)——理想黑體的光譜輻射發射量;T——黑體的絕對溫度;kB——玻爾茲曼常數;c——真空中的光速。

愛因斯坦通過對光電效應和固體比熱的研究,無疑對量子力學的發展做出了貢獻。在關于比熱的出版物中,愛因斯坦將量子理論的思想引入到傳統的金屬導電和導熱理論中。路易·德布羅意在1924 年提出了整個物質具有粒子波的假設,那時,人們已經知道光顯示出粒子和波的特性。實驗提供的證據包括對恒星引力場中光線彎曲的觀察,這是愛因斯坦預言的一種效應。德布羅意的假設提出,如果光除了具有波的特性之外,還具有粒子的特性,那么構成物質的基本粒子可能也具有粒子和波的特性。根據德布羅意的說法,一個物質粒子的運動與一個波的波長λ和頻率f有關。

式中:λ——對應于粒子位置的波長;M——粒子的矩;m——粒子的質量;v——粒子的速度。

由式(3)可以計算得出,以速度v=103m/s 運動的電子與波長λ≈7 ×10-7m(紫外輻射)有關。以相同速度(103m/s)運動的中子與波長λ≈4×10-13m有關。換句話說,以同樣速度運動的中子可認為是波長λ≈4×10-13m的德布羅意波,類似的波長是宇宙射線的特征。

證明物質具有波-粒二象性的例子是電子,它是由約翰·J·湯姆遜在1896 年發現的一種帶有電荷的粒子,后來確定電子的電荷e=1.602×10-19C,質量m=9.11×10-31kg。電子的波動特性通過實驗證明:電子束通過金屬線圈后發生衍射現象,這是由喬治·P·湯姆遜、P.S.塔爾塔可夫斯基[3]等分別發現的。

2.2 薛定諤方程及其波函數的物理解釋與泡利不相容原理

作為物理學史上的里程碑之一,薛定諤方程是由奧地利物理學家埃爾溫·薛定諤在1926 年通過類比當時已知的波和粒子的描述,在推測的基礎上制定的[4]。如果說海森堡測不準原理為確定粒子參數的精度設置了限制,那么薛定諤方程則描述了基本粒子的狀態。

薛定諤方程的特征是一個稱為波函數或狀態函數的函數,表示為ψ,表達了對時間和粒子位置坐標的復雜依賴關系[5,6]。

式中:ψ——波函數;A——時間和粒子坐標的函數;t——時間;?——拉普拉斯算子簡化的普朗克常數;j——虛數單位。

當函數A與時間無關時,它表示粒子的勢能。在這種情況下,薛定諤方程采用

梅克斯·玻恩在1926 年首先給出了波函數的物理解釋。波函數描述了粒子出現在某一區域的概率,特別是在體積為dV的區域,其概率與波函數模的平方成正比。

式中:p——概率;k——比例系數;V——粒子可用的空間體積。

泡利不相容原理認為,在一個原子中,沒有兩個電子可以具有相同的量子態,也就是說,沒有兩個電子可以具有相同的四個量子數。當分析原子或納米結構時,必須考慮泡利不相容原理。

2.3 海森堡測不準原理

德國物理學家維爾納·海森堡在1925 年提出了一個基本粒子的描述,它相當于薛定諤方程。兩年后,海森堡闡明了測不準原理,這是量子力學的基礎之一?，F在表示測不準原理的關系由海森堡在1927 年的論文[7,8]中提出。測不準原理與物質的波-粒二象性密切相關。它定義了確定粒子狀態的精度極限。不確定性原理與用于測量的儀器的精度無關。當一個電子的位置為x,這個電子認為是粒子,它用不確定度(或計量語言中的誤差容限)Δx表示,該電子的狀態也可以在波圖像中表示為由不同波長的波組成的波束。電子被賦予一個波長λ,其值與電子的動量有關。根據公式(3),即德布羅意公式,沿著對應于粒子位置不確定度的線段Δx,一個波具有n個最大值和相同數量的最小值。

超過線段Δx的零振幅波束必須包括沿該線段至少有n+1 個最小值和最大值的波。

式中,Δλ——粒子波長的不確定度;Δx——粒子位置的不確定度。

由式(8)和式(9)可得

由德布羅意公式可得

式中:Δp—粒子動量的不確定度。

最終,我們得到測不準原理的公式。

根據式(11)可知,即使使用最精確的測量或計算的同時確定粒子的位置x及其動量p,若Δx降低,則Δp必然增加,反之亦然。當粒子的位置由坐標x、y、z在三維空間中定義時,應用一組三個不等式來代替單個不等式的公式(11)。

測不準原理在納米結構中有很大的實際意義。例如,若確定電子位置的不確定度為2 ×10-10m(對應于原子尺寸的數量級),由公式(9),可用不確定度Δv確定電子速度。

這個范圍很寬,大約是電子速度的三倍,vth與室溫下的熱能kBT有關。(vth≈105m/s)

如果我們放棄同時確定粒子的運動參數,并假設其位置是固定的,公式(14)將提供粒子能量的不確定度ΔE和粒子壽命或觀察時間的不確定度Δt的極限。

例如,我們可用ΔE計算Δt。

2.4 測量分辨率的限制

使用量子器件測量微弱電信號時,測量的能量分辨率是否存在極限[9,10]是一個值得考慮的問題。這里所說的能量分辨率是指可以用測量儀器測量的能量或能量變化,沒有規定測量分辨率的極限。其物理限制源于:

①確定基本粒子參數的海森堡測量不準原理;

②被測物體的量子噪聲,其發射和/或吸收電磁輻射;

③被測物體的熱噪聲。

絕對溫度T下物體的熱噪聲功率譜密度由普朗克方程描述。

式中:P(T,f)——物體在絕對溫度T、頻率為f時的熱噪聲功率;Δf—物體頻率的不確定度。

普朗克方程依據kBT和電磁輻射能量的量子hf之間的關系采取兩種極端形式。由于kBT?hf,普朗克方程僅包括熱噪聲分量,采用奈奎斯特公式的形式。

式中:E(T)——物體在絕對溫度T時的能量;P(T)——物體在絕對溫度T時的熱噪聲功率。

由于kBT?hf,普朗克方程僅包括量子噪聲,即

式中:E(f)——物體在頻率f時的能量;P(f)——物體在頻率f時的熱噪聲功率。

可以注意到,熱噪聲在低頻下的譜功率描述中起主導作用,而量子噪聲在高頻下占主導地位。f與溫度相關,該頻率下頻譜噪聲功率的兩個分量相等,即kBT=hf,例如,溫度T=300 K 時,f=6.2×1012Hz,T=2.7 K 時,f=56 GHz,這就是空間[11]的溫度。

式(15)還將能量描述為一個用等式(其不確定度由測量頻率的不確定度決定,目前為10-16的數量級)量化的物理量,以及確定h的精確度(目前數量級為10-9)。

電流I是電子在導體中的強度,將其定義為流動電荷Q(t)對時間t的導數,或者說恒定時間內電荷Q與電荷轉移時間t的比值。

在微觀尺度上,我們可以考慮記錄單個電子的流動,并計算相關電流的強度。

舉例來說,109個電子在1 s 內的流動將產生1.6 ×10-10A 的電流,即160 pA。我們可以用電流表,有時甚至用萬用表來測量如此強度的電流。電荷以低得多的速度流動,例如每秒一個電子或每小時一個電子,將不再認為是電流。在這種情況下,最好考慮單個電子的傳輸并計算流動電荷。

測量物理量的傳感器對信號能量或能量變化產生響應。因此,測量的靈敏度受到海森堡測不準原理的限制。SQUID 傳感器實現了迄今為止最好的能量分辨率;其值等于0.5 h,達到了物理極限。在線性位移測量中,X 射線干涉儀獲得了10-6?=10-16m 的最佳線性分辨率[12],這一計量的偉大成就達到了原子量級。例如,測量金原子和銅原子的半徑為135 pm。在位移和幾何尺寸的測量及固體表面原子排列的研究中,用掃描隧道顯微鏡(STM)獲得了最佳的線性分辨率,在垂直和水平測量中分別為Δa=10-12m=1 pm 以及Δb=10 pm(STM 的工作原理基于電子隧穿勢壘的量子效應)。

2.5 量子現象在新國際單位制中的作用及缺點

通過多年的研究,計量學家發現使用量子和原子標準的新測量系統至少比實物標準器系統穩定一百萬倍,隨著“千克原器”退出舞臺,SI 迎來了歷史性時刻。

修訂后的2018 版SI 是人們期待已久的單位制,其中依賴于材料特性的單位標準已被基于物理常數和量子效應的標準所取代,這是它的巨大優勢,但也存在一些問題:

(1)為了實施修訂后的SI,對于每一個新定義的基本測量單位,必須找到宏觀標準與物理常數之間的聯系。相關的物理常數雖然在弱作用的物理現象中得到證明,但標準中的信號必須是宏觀尺度的。

(2)修訂后的SI 首先是為大眾制定和建立的。然而,修訂后的SI 只有少數的科學家和計量學家群體理解,廣大用戶并不理解,因此很難被稱為實用的單位制。

(3)任何系統都應該包括各分量之間的相互關系。修訂后,SI 的定義看起來更像一組物理常數,各分量之間的相互關系是隱藏的。

(4)實現千克新標準有兩種方法:瓦特平衡和XRCD(X 射線晶體密度技術),雖然這些方法可以達到測量結果相對標準不確定度Ur＜5 ×10-8的量級水平,但是實施的價格非常高。其結果導致世界上只有大約10 個實驗室能夠安裝和操作千克的新標準。

雖然,2018 版SI 存在著種種不足和缺點,但基于基本物理常數和量子標準單位系統的發展已成定局,基本單位的新定義將逐漸被物理學和計量學界所接受,新版標準的實施使計量工作從宏觀走向微觀邁進了一大步,我們目前正處于量子和數字化變革的開端,用物理常數定義測量單位意味著這些定義將適應下一代科學發現的需要。

3 結束語

量子計量在頻率標準、弱磁場探測、引力波探測以及原子鐘等研究領域中起到了極其重要的作用。近年來,研究者發現合適的量子輸入態(比如量子糾纏態),理論上可以使參數估計的誤差漲落達到海森堡極限,這將遠遠高于使用可分離態進行估計所能達到的上限(標準量子極限),這為人們如何得到更高的參數估計精度打開了一扇新的大門。