基于光線追跡法的單椎管X光器件的模擬及驗證

彭詩棋 林欣茹 彭子恒

（中國核動力研究設計院 四川省成都市 610213）

自倫琴發現X 射線以來，它已逐步在許多領域有了越來越多的應用，X 射線光學的飛速發展也催生了一個重要的門類——導管X 光學[1,2,3,4]。隨著研究領域的不斷拓展、各領域研究的不斷深入以及研究者們對數據精度要求的不斷提高，實踐對導管X 光器件的性能也有了越來越高的要求。導管X 光學領域也逐漸發展出了更復雜、更具有針對性的各種新型器件來。通過對X 射線在不同形狀、不同曲率的導管中的傳輸規律的研究，來研究各類導管X 光器件對X 光的傳輸特性，進而引導器件的設計理念和制造工藝的改進，越來越成為導管X光學領域研究的一個重要方向[5,6]。

對毛細管X 光透鏡的光線追蹤的模擬計算，可以優化、指導毛線管X 光透鏡的設計與研制，具有很重要的實踐意義。

1 數學模型的建立

1.1 椎管的幾何描述與光線追跡過程

相較于透鏡而言，椎管的幾何特性不難描述，由于它的內管壁是圓錐曲面中的一段，因此只需要將該圓錐曲面的表達形式求解出來就可以了。如圖1 建立坐標系，設光源到椎管入口處的距離為D，椎管長度為L，椎管入口半徑為R1，出口半徑為R2。

圖1：椎管坐標系的建立

易知在任意z處管內壁的表達式為：

在該處管壁的單位外法矢量為：

其中：mx=2x，my=2y，

再從光源和椎管入口截面上各隨機取一點，確定出入射光線的方向向量及入射光線所在直線的方程，將該方程與式（2）聯立，可得一個關于z的一元二次方程，直接求解便可得到光線所在直線與椎管管壁的交點。再求出反射光線向量，迭代循環。

1.2 傳輸效率及光強分布

在光源的范圍內及子管入口的范圍內分別隨機取N個點，確定出N條隨機的入射光線，每條光線的權重為1，將上述追跡過程重復N次，則進入彎管的總光強I0=N。

出射光光強分為兩個部分，直射光I1與反射光I2，I1與I2可表示為：

其中N1是直射光線的條數，N2是反射光線的條數，M是某條光線的反射次數，Rm(θm)是該條光線在子管管壁上發生第m 次反射時的反射系數。X射線在子管中的傳輸效率為出射光強與入射光強之比。

要模擬光斑形貌，就必須知道每一條出射光線打在接收屏上的具體位置。根據光線追跡法，求解出每一條光線的傳輸路徑，并且根據全反射條件，判斷它是否會在傳播過程中被管壁吸收，最終是否能從子管末端出射，被接收屏捕獲。記光線從子管出射前，在管內最后一次反射時，反射光的方向向量為，路徑起點為(xsn,ysn,zsn)，接收屏距子管出口端的距離為f，可以求得光線打在屏上的位置坐標為：

為了直觀上獲知椎管的焦距大小，本文模擬了椎管軸向（即z軸方向）上的光強分布。為能夠直觀地看到光強沿軸向的分布，就必須將光強分布的圖像顯示在顯示屏上。為此，把椎管及椎管外一部分空間所在的平面劃分成1313×153 個區域，設這個平面的左頂角坐標為(pl,maxp)，右底角為(pr,minp)。并在Delphi 7 中建立一個1313×153 的圖像框來圖像顯示每個區域中光想強度的大小。為了獲知每一個像素點的顏色深淺，還必須生成一個1313×153 的矩陣來控制。該矩陣記錄了每個區域內所通過的光路的條數。

光線在管內傳播時，其路徑是由大量的線段組成，這些線段的起點是光線上一次反射的反射點，終點是光線下一次反射的反射點。先將其中某一段線段單獨提出來研究。假設該段線段的起點坐標是(xs,ys,zs)，終點坐標為(xc,yc,zc)，將該線段投影在zox平面上（如圖2所示）。

圖2：椎管軸向光強分布求解示意圖

圖3：椎管傳輸效率測量的實驗裝置示意圖

起點所在區域所對應的像素點為(pix_zs,pix_xs)（pix_zs和pix_xs都是整數），由幾何關系可知：

同理，終點所在區域對應的像素點(pix_zc,pix_xc)（pix_zs和pix_xs也都是整數）也可求得。

3．1 佛山各區兒童行為問題檢出率無差異 本次調查的1 695名佛山市兒童，行為問題檢出率為11．8%，與國內外報告基本一致，比深圳的兒童問題檢出率13．97%稍低［3］，國外兒童問題發生率5%～15%，全國4～16歲兒童少年行為問題檢出率10．78%～15．16%［2］。

除了這兩個區域外，起點與終點連線間的所有區域，該線段都會經過，所以這些區域所對應的像素點都必須找出。在顯示屏上，這段光路所對應的線段的斜率為：

所有位于(pix_zs,pix_zc)區間的pix_z，都有一個對應的pix_x，使得該像素點位于光路對應的線段上，也就是說所有滿足條件的像素點所對應的數據存儲矩陣中的元素項，值都加1。

這樣追蹤完N條光線的軌跡之后會得到一個數據存儲矩陣，該矩陣上的每個元素的值都對應平面上相應區域的光強。將其顯示在顯示屏上的圖像框中，就可以很直觀地看到沿軸向光強的分布情況。而在軸向光強分布圖中，光強最強的部分，就是焦點的位置。

2 模擬結果與實驗結果的比較

2.1 傳輸效率的實驗方案

測量椎管傳輸效率的裝置如圖2 所示，首先調節椎管準直，使椎管的計數達到最大，記錄下此時的計數N1；將椎管移除，再在光源和探測器間放置一光闌，再次調節使探測器計數達到最大，記此時的計數為N2?？梢酝茖С鲎倒艿膫鬏斝蕿椋?/p>

其中，S1為椎管入口的面積，S2為光闌通光的面積，D1為椎管入口處距光源的距離，D2為光闌距光源的距離。

2.2 椎管的傳輸效率

為了驗證模擬的準確性，將模擬結果與滕玥鵬等[8]所得的實驗結果相對比。滕玥鵬等對一根長12cm 的椎管進行了實驗。該椎管入口端內徑60μm，出口端內徑30μm。實驗使用Cu靶（X射線能量為8.04keV）微焦斑（焦斑直徑為50μm）光源。實驗測得該椎管的傳輸效率為13.86%。在相同條件下，該根椎管的傳輸效率模擬結果為14.32%?？梢钥闯鰧嶒灲Y果與模擬結果符合得很好。

2.3 焦距與焦深測量的實驗方案

測量椎管焦距的實驗裝置如圖4 所示，將光源、椎管、刀口及探測器按如圖的順序安放，調節準直后。從定義上可知，焦距即為光斑最小的點到椎管出口端的距離。測量焦斑大小的方法采用刀口掃描，將刀口放置于椎管出口與探測器間的某一位置處，調節刀口高度，使其剛好完全遮住椎管末端出射的光，此時探測器計數為0；然后按一定步長向下調節刀口，依次記錄每移動一步探測器的計數；將所得數據繪制在曲線圖中，可得此處光強的積分曲線，再由積分曲線得到光強的微分曲線，微分曲線的半高寬即為光斑大小。再將刀口位置移動至椎管末端與探測器間的其他位置，不斷重復上述步驟，直到找出焦斑最小的位置為止，此時刀口距椎管末端的距離即為椎管的焦距。

圖4：椎管焦距測量的實驗裝置示意圖

2.4 焦距與焦深

滕玥鵬等還對出口端的束斑大小進行了實驗測量。實驗在距出口端2.5mm 處開始測量，以0.5mm 為步長，測量了一組數據。實驗結果表明，光束經該椎管傳輸之后在距椎管出口端25.mm 外呈發散狀。具體實驗結果見圖5。

圖5：束斑大小隨椎管距出口的距離的變化

圖6：光強在文獻中椎管的光線傳播方向上分布情況示意圖

在同樣的條件下，模擬得到的光強在光線傳播路方向的分布情況。在椎管出口端的光線也成發散狀（見:6）。模擬結果與實驗結果吻合較好。

上述文獻中所使用的椎管在出口端光線近乎發散狀，且文獻中未確切告知該椎管焦距的具體值。為了進一步驗證程序對椎管軸向上光強分布的模擬的準確性，文章對一個椎管進行了實驗。椎管入口端內徑為630μm，出口端內徑為620μm，管長120mm。實驗使用實驗室Cu 靶微焦斑光源，X 射線能量8.04keV，光源距椎管入口端距離為29mm。實驗測得椎管出口端焦距為20mm。在相同條件下進行模。光束在距出口端20mm前后有明顯的匯聚。模擬結果與實驗結果吻合較好，這說明模擬的準確性較好，模擬結果的可信度較高。

3 小結

本文利用光線追跡法建立了椎管的數學模型，并模擬了光線在椎管中的傳播，得到光線在椎管中傳播的傳輸效率、椎管出口端的光斑形貌以及在光線傳播方形上光強的分布。模擬結果與是研究過吻合較好，說明了模型建立的合理性與模擬的可靠性。