汽車底盤件疲勞壽命威布爾分布參數估計方法的研究

吳奕東，李妮妮，曹偉，劉祎晗

1.華南理工大學土木與交通學院，廣東廣州 510641；2.廣州機械科學研究院有限公司，廣東廣州 510535；3.中汽檢測技術有限公司，廣東廣州 510535

0 引言

對于機械構件的可靠性分析，通常采用威布爾分布來描述機械產品的壽命分布情況[1]。因為機械構件的制造工藝、加載工況、構件的初始缺陷及材料的疲勞性質等都是具有不確定性的隨機變量，所以可以在統計學的層面上利用威布爾分布模型進行結構件的疲勞壽命變化規律的分析[2-3]。

根據待定系數形式的不同，威布爾分布可以分為雙參數威布爾分布[4]和三參數威布爾分布[5-6]。雙參數威布爾分布形式簡單，參數較易確定。張新峰[7]在汽車底盤件的壽命評估中使用了雙參數威布爾分布，但該分布模型不能描述出非零最小安全壽命且預測精度也不夠高。而三參數威布爾分布被廣泛應用于描述疲勞壽命分布中，如軸承失效分布[8-9]和數控機床故障分布[10]等，但在汽車底盤件的疲勞耐久方面尚未有相關研究。三參數威布爾分布的3個參數分別為形狀參數、尺度參數和位置參數，其中位置參數的物理意義是最小疲勞壽命，這是與雙參數威布爾分布的不同之處。威布爾分布3個參數的確定過程比較復雜且要求具有較高的擬合精度。

目前，威布爾分布的參數確定方法主要有統計量估計法[11]、灰度法[12-13]、極大似然估計法[14-15]和右逼近估計法[16-19]等。不同參數估計法的估算結果可能會存在較大差異，需要根據實際的疲勞壽命分布情況選用合適的參數估計方法。但上述參數估計方法均受初始迭代值和樣本容量的影響較大，在參數估計精度方面還有一定的提升空間。

為了減少參數估計過程中外部信息的影響，可以在迭代過程中引入遺傳算法。遺傳算法是一種自適應的、智能的搜索技術，具有較強的全局優化能力，被廣泛應用在復雜的非線性優化問題中[20]?；趥鹘y的威布爾參數估計方法建立合理遺傳算法目標函數，并利用種群中每個個體的適應性函數值進行搜索，可以有效避免初始值選取不合理的問題，提高參數估計的精度。

本文基于文獻[7]中提供的轉向節疲勞壽命情況對疲勞樣本數據進行擴充，分別用右逼近估計法和遺傳算法進行三參數威布爾分布的參數估計。通過對比兩種方法估算得到的參數精度情況，驗證參數估計方法的準確性和實用性，為汽車底盤零部件疲勞可靠性評價方法提供依據。

1 汽車底盤件的疲勞壽命分布情況

根據文獻[7]的轉向節疲勞臺架試驗結果，其中10件樣品的試驗壽命情況見表1。

表1 文獻[7]的轉向節10件樣品的試驗壽命情況 單位:萬次

原測試數據樣本數太少，一定程度上影響了參數估計的精度。因此，需要擴大數據樣本量。利用三參數威布爾分布函數來描述轉向節的疲勞壽命分布情況，其概率密度函數表達式為：

(1)

式中：Ni為轉向節的疲勞壽命；β為形狀參數；Na為尺寸參數；N0為位置參數。

令形狀參數β=4.640 1、尺寸參數Na=167.73、位置參數N0=77.23產生100個符合三參數威布爾分布的隨機數，擴充的疲勞壽命樣本數據見表2。

表2 擴充的疲勞壽命樣本數據 單位:萬次

通過與試驗得到的轉向節疲勞壽命數據進行對比，擴充的疲勞壽命樣本數據符合原有樣件的壽命分布情況，因此該擴充數據樣本是合理的。

2 威布爾分布的參數估計

2.1 右逼近估計法估算壽命的威布爾分布參數

右逼近估計法基于特定的變換方式把目標函數轉化成線性函數，進而利用最小二乘法進行最優參數擬合，通過不斷迭代計算從右側逼近最優目標參數?；谑?1)，結構件的疲勞壽命分布函數為：

(2)

式中：F(Ni)為壽命不可靠度。

對式(2)的三參數威布爾分布取兩次自然對數后，可得到：

(3)

(4)

設：

(5)

y=ax+b

(6)

(7)

xi和yi的相關系數ρ的表達式為：

(8)

相關系數ρ反映了自變量和因變量之間的線性相關程度，ρ值越大，說明x和y的線性相關程度越高。取N01=min{Ni}=107.1作為位置參數N0的初始值，選取計算步長Δ=0.05N01，依次用N01，N02=N01-Δ,N03=N02-Δ, …,N0k=N0(k-1)-Δ代入式(8)中計算出對應的相關系數ρ={p1,p2, …,pk}。相關系數ρ隨位置參數N0的變化曲線如圖1所示。

圖1 相關系數ρ隨位置參數N0的變化曲線

2.2 基于遺傳算法確定疲勞壽命可靠度的初始估計值

將疲勞壽命數據點代入式(2)，并令威布爾分布中的三參數作為初始給定參數{N0=77.23，Na=167.73，β=4.640 1}，可通過計算得到基準的初始壽命不可靠度FB。

(9)

式中：參數ω和γ是通過遺傳算法確定的待定系數。

利用θj=(ωj,γj) (j=1, 2, …,m)表示不可靠度初步估計值中未知參數組成的向量，建立該未知參數組合{ωj，γj}估計方法的數學模型為：

min{g(θj)}=

(10)

式中：g(θj)為遺傳算法的目標函數，j=1, 2, …,m。

(11)

圖2 基于基準威布爾分布參數的最優{ωj,γj}

圖3 中位秩和遺傳算法得到的初始壽命不可靠度與基準的壽命不可靠度的對比

2.3 基于遺傳算法確定疲勞壽命的威布爾分布三參數

(12)

式中：p(θj)為遺傳算法的目標函數，j=1, 2, …,m。

遺傳優化算法的設置與第2.2節中的設置保持一致。借助優化算法可找到一組最優的{ωj,γj}，使對應的目標函數p(θj)的值最小，并將此時的{ωj,γj}作為模型中未知參數的估計值?；谟冶平ü烙媴档淖顑?{ωj,γj}如圖4所示，目標函數選取最小值時對應的{ωj,γj}={-28.087, -5.668}。通過遺傳算法縮小了初始不可靠度與真實值的差距，避免了導致迭代算法陷入局部最優解的問題。

圖4 基于右逼近法估計參數的最優 {ωj, γj}

后續基于該參數組，設定新的遺傳算法對最終的威布爾分布三參數進行估計。該遺傳算法的種群組成有5個向量：{ωj,γj,N0j,Naj,βj}。為了使{ωj,γj}下的不可靠度與真實值更接近，建立未知參數組合{ωj,γj,N0j,Naj,βj}估計方法的目標函數為：

min{h(φj)}=

(13)

利用右逼近估計法的結果可以知道{ωj,γj}的值大致落在{-28.087, -5.668}附近。以{-28.087, -5.668}的±10%為上下限，設置種群中ωj和γj的搜索范圍。同時，設置遺傳算法種群內其他3個參數的邊界條件為：

(14)

圖5 疲勞壽命威布爾三參數的最終估計結果

2.4 兩種參數估計法的精度對比

圖6 右逼近估計法和遺傳算法的壽命不可靠度與基準的壽命不可靠度的對比

進一步對比各參數的估計精度，各參數的誤差值計算公式為：

(15)

兩種參數估計法的誤差分析結果見表3。由表可以發現，遺傳算法N0的估計誤差與右逼近估計法的誤差接近，分別為3.73%和3.55%；遺傳算法β參數的誤差值有所增大，從0.79%增大到2.48%；但遺傳算法對Na的估計誤差從1.57%降低到0.76%。從整體上看，遺傳算法的參數估計結果要優于右逼近估計法，說明此時尺寸參數Na對參數估計結果的影響更大。

表3 兩種參數估計法的誤差分析結果

3 結論

通過對文獻提供的汽車轉向節疲勞失效數據進行樣本量擴充，根據擴充后的疲勞壽命分布情況建立三參數威布爾分布模型。分別運用右逼近估計法和遺傳算法進行威布爾分布參數估計，探究了不同參數估計方法對結果精度的影響。本文的主要結論如下：

(1)右逼近估計法中使用中位秩估算的壽命不可靠度與真實值存在較大的偏離，用該值作為初始值可能會導致迭代算法陷入局部最優解而影響估算精度。

(2)提出了一種壽命分布模型的遺傳算法。以右逼近估計法得到的分布參數為基準值，通過遺傳算法得到更接近真值的疲勞壽命初始不可靠度。以此迭代結果為基礎，再次利用遺傳算法確定最終的威布爾分布三參數。

(3)所提出的遺傳算法建立在右逼近估計法的基準參數之上，可以有效克服局部最優解的問題，在提高迭代速度的同時提高了參數估算的精度，為汽車底盤部件的可靠性評估提供新的方法和理論依據。