談談兩類數列最值問題的解法

張獻國

數列最值問題具有較強的綜合性，常與函數、不等式、數列等知識相結合.

常見的數列最值問題主要有兩種：（1）求數列的最大（?。╉?；（2）求等差數列前 n 項和的最大（?。┲?下面結合實例，探討一下這兩類數列最值問題的解法.

一、求數列的最大（?。╉?/p>

求單調數列 {an} 的最大、最小項的常用方法：（1）在數列 {an} 中，若 {an - an + 1 ≥ 0， an - an - 1 ≥ 0，則 an 是數列中的最大項；若 {an - an + 1 ≤ 0， an - an - 1 ≤ 0，則 an 是數列中的最小項；（2）利用函數的單調性求最大、最小項.

例1

解：

解答本題，需先仔細研究數列 {an} 的通項公式；然后將其類比函數 f （x）= 1 + 1 2x - 9 ，根據這個函數的單調性來確定數列 {an} 的單調性，求得數列的最大、最小項.解答此類問題的關鍵是結合數列的特征，根據數列與函數之間的關系，研究函數和數列的單調性.

二、求等差數列前 n 項和的最大（?。┲?/p>

求解等差數列前 n 項和的最大（?。┲祮栴}，通常要利用函數思想.主要有三種解題的思路：（1）函數性質法.即將等差數列的前 n 項和看成是關于 n 的二次函數式，利用二次函數的性質求數列前 n 項和的最值；（2）圖象法.即利用二次函數圖象的對稱性或增減性來確定當 Sn 取得最值時 n 的值；（3）通項法.若 {an ≥ 0， an + 1 ≤ 0，則 Sn 最大；若{an ≤ 0， an + 1 ≥ 0，則 Sn 最?。?/p>

例2

解法一：

解法二：

解法三：

求得 a1與d 的關系式和 Sn 的表達式后，便可分別采用函數性質法、圖象法、通項法來求解.解法一、二是將問題轉化為二次函數性質和圖象問題，根據二次函數的圖象、性質來解題；解法三則是通過比較各項的大小關系，來確定數列的最大項.

從上述分析可以發現，解答此類問題，要從已知條件出發，尋找數列的特點和變化規律，將數列與函數聯系起來，靈活運用數列、函數知識來解題.