分類討論思想在解答函數問題中的應用

饒莎

分類討論思想是高中數學中的一種重要數學思想，是指將研究對象分為不同種類，再對每種類別進行討論.運用分類討論思想，將問題細化，不僅能降低解題的難度，還能使解題的思路更加有條理，從而提升解題的正確率.下面談一談分類討論思想在解答幾類函數問題中的應用技巧.

一、判斷含參函數的單調性

若函數中含有參數，則在判斷函數的單調性時，需對參數進行分類討論，此時可采用分類討論思想來解題.首先將f（x?）-f（x?），或對函數求導，并進行化簡，將所得的結果配湊成幾個因式的積；然后分別求出每個因式的零點，用零點將函數的定義域劃分為幾個子區間；再在每個子區間上討論f（x?）-f（x?） 以及導函數的符號，據此判斷出函數的單調性.

例1.

解：

對函數求導，并化簡后，需重點討論導函數的符號，即需討論幾個因式的符號.于是分析函數m（x）的特征：其圖象開口方向向上，有一動一定兩個零點.那么分類討論的對象為：變化的零點x?=-a. 再運用分類討論思想，討論在0<-a<1、-a>1、-a=1? 時導函數的符號，進而判斷出函數的單調性.需要注意：（1）將導函數中的因式進行分解，化為幾個因式的積的形式；（2）明確分類討論的對象和標準.

二、求解分段函數問題

對于分段函數，在定義域內的不同自變量對應著不同的函數解析式.所以在解答分段函數問題時，經常要用分類討論思想，對不同區間上的函數解析式、性質、圖象、最值等進行分類討論.

例2.

解：

該函數為分段函數，且每一區間段上的函數均為二次含參式.由于參數在一次常數項以及區間的分界點中，所以需將其分為x

可見，運用分類討論思想，可將復雜問題簡單化，抽象問題具體化.這樣便能更精準、更有條理地解答問題.

（作者單位：江西省撫州市臨川區第一實驗學校）33