對一道三角函數求值問題的解法的探究

馬娟娟

三角函數求值問題的難度一般不大，側重于考查三角函數的基本公式和性質的應用.常見的命題形式有：（1）根據已知角，求三角函數式的值；（2）根據已知三角函數式，求某個角的大??；（3）根據已知角的關系式，求三角函數式的值.下面結合一道題目，談一談三角函數求值問題的解法.

例題：已知α是三角形的一個內角，若 sinα- ，求 tanα的值.

題目中給出的條件較少，卻涉及了正弦、余弦、正切三種函數.要求得 tanα的值，需將正弦、余弦化為正切，或求得角α的三角函數值.主要有以下三種方法.

一、利用三角函數的定義

若α是一個任意角，它的終邊與半徑為r 的圓交于點P（x，y），其中r=√x?+y?， 則α的正弦為sinα，余弦為 ，正切為 ，這是三角函數的定義.在求某個角的三角函數值時，我們可以先根據三角函數的定義構造圓，設出角的終邊與圓的交點的坐標，并用其坐標和圓的半徑表示角的正弦、余弦、正切；然后根據已知關系式建立關于x、y、r 的新關系式，通過化簡、消元，求得三角函數的值.

解：

根據三角函數的定義解題，需構造圓，將角的終邊上的點的坐標與圓的方程關聯起來，借助角與圓、交點坐標之間的關系來建立新關系式.

二、構建方程（組）

構造方程（組）是解答求值問題的重要方法.在求三角函數的值時，往往要根據題意和已知關系式建立關于所求角、函數式的方程（組），通過解方程（組）來求得角、三角函數式的值.

解法1.

解法2.

我們將已知關系式平方，并根據同角的三角函數平方關系式 sin?α+cos?α=1化簡得 ，再將該式與sin?α+cos?α=1相加得到 ，構造出方程組，即可通過解方程組求得三角函數的值.在求某個角的三角函數值時，要靈活運用同角的三角函數平方關系式sin?α+cos?α=1和商式關系式建立更多關于角的關系式. ，這樣可以

三、弦切互化

當遇到三角函數名不統一的求值問題時，往往要將正弦、余弦、正切進行互化，使得三角函數式中的角統一.進行弦切互化常用的公式有以及sin?α+cos?α=1

解法1.

解法2.

該解法主要運用了正切的二倍角公式和同角三角函數的商式關系式 ，將弦化為切，從而順利求得 tanα的值.

總之，解答三角函數求值問題需注意幾個關鍵點：（1）仔細觀察題目中的三角函數式，尤其要關注角、函數名稱的異同；（2）將已知關系式和所求目標式關聯起來，尋找合適的公式進行恒等變換，以將已知關系式逐步向目標式靠攏；（3）靈活運用三角函數的基本公式、定義、性質.

（作者單位：江蘇省東臺中學）45