重構外Steklov特征值的交互間隙法

丘文松 , 李 媛 ,2

(1.黑龍江大學 數學科學學院, 哈爾濱 150080;2.黑龍江大學 黑龍江省復雜系統與計算重點實驗室, 哈爾濱 150080)

0 引 言

近年來,反散射領域中的一個熱點問題是研究關于人工參數的特征值[1-10]。與傳統的由物理波數充當特征值[11-12]相比,采用人工參數作為特征值有兩個優勢:一是重構這些特征值時無需使用多頻數據,物理波數可以始終固定且為實值;二是這些特征值(包括復特征值)能夠由測量的散射數據決定。由于這些特征值攜帶散射體的本質信息,因此可以作為目標特征用于無損探測領域,在應用方面具有極大的潛在價值。

外Steklov特征值是含有腔體的介質反散射中出現的一類關于人工參數的特征值,其相關的數學理論由文獻[7]給出。同時,該文獻采用了推廣的線性抽樣法[13]來重構這類特征值,測量的散射場數據和入射點源位于腔體內的同一流形上。文獻[7]中的數值實驗表明,外Steklov特征值的改變可以表征介質參數的變化。因此,為了使這類特征值能夠作為目標特征應用于介質的無損探測領域,構造具有高精度和穩定性的重構特征值的算法至關重要。

本文采用交互間隙法(Reciprocity gap method)來重構外Steklov特征值[14],測量的總場的Cauchy數據和入射點源位于腔體內的不同流形上。交互間隙法已被應用至一系列反散射問題的研究中[15-21],其優點是無需散射體的任何先驗信息,也無需構造背景介質的Green函數。本文的主要思想來源于文獻[22]利用交互間隙法重構內Steklov特征值,而本文將重構外Steklov特征值。

1 正散射問題和外Steklov特征值問題

設D?d(d=2, 3)為包含原點的單連通有界Lipschitz區域,ν為其邊界?D上的單位外法向量。D1為d上包含D的有界Lipschitz區域,n∈L∞(d)滿足條件:(i) 在D及內n=1; (ii) 在內幾乎處處有Re(n)≥n*>0,Im(n)≥0,其中n*為常數。

(1)

式中:k>0為波數;ui=Φ(·,x0)表示位于x0處的點源;Φ(·,x0)為Helmholtz方程在d中的基本解;x為各函數的自變量。在前述關于n的假設下,問題(1)是適定的[23]。

設B和C均為d中的光滑區域,滿足C?B?D,其中B包含原點。在每個x0∈?C處放置點源,并在?B上測量對應的總場的Cauchy數據u(x,x0)和?νu(x,x0),這里

u(·,x0)=ui+us(·,x0),x∈D{x0}

(2)

假設1假設k2不是-Δ在C內的Dirichlet特征值。

外Steklov特征值問題可描述為[7]:尋找λ∈和一個非平凡的函數使得

(3)

稱λ為一個外Steklov特征值,w為相應的特征函數。由文獻[7]可知,問題(3)的外Steklov特征值若存在,將構成下半復平面上的一個離散集。

(4)

式中λ∈;x0∈?C;ν為?B上的單位外法向量。從文獻[7]知,若λ不是實數,則問題(4)是適定的。由于所研究的目標是重構外Steklov特征值,故以下總假設Im(λ)<0,因此問題(4)是適定的。為了后面的使用,記為

(5)

2 交互間隙法

設U和Uλ分別為問題(1)～(2)的解u(x,x0)和問題(4)～(5)的解uλ(x,x0)構成的解集。定義交互間隙泛函為

其中v1在B{x0}(對所有的x0∈?C)內滿足Δv+k2v=0,v2∈H(這里,H(

定義單層位勢

且令

交互間隙法是求積分方程

R(uλ(·,x0)-u(·,x0),vg(·))=R(uλ(·,x0),Φz(·)), ?x0∈?C

(6)

的近似解g∈L2(?C),其中Φz(·)=Φ(·,z),z∈

引理1假設Im(λ)<0。若對于所有的uλ∈Uλ,有

則在?B上f=0。

(7)

由于Im(λ)<0,則問題(7)是適定的。利用Green表示定理、Green第二公式和uλ滿足的邊界條件,有

=0, ?x0∈?C

定義算子N:L2(?C)→L2(?C)為

Ng:=R(uλ(·,x0)-u(·,x0),vg(·)),x0∈?C

(8)

定理1假設Im(λ)<0。若λ不是問題(3)的一個外Steklov特征值,則由式(8)定義的算子N是單射。

證明假設對所有的x0∈?C,有Ng=0,且(ps,p)滿足

Δps+k2ps=0,x∈DΔp+k2np=0,x∈
p-ps=vg,x∈?D
?νp-?νps=?νvg,x∈?D

(9)

(10)

式中BR是d中以原點為中心,R為半徑的球體,且BR嚴格包含D1。由于w和p均為Helmholtz方程在內的輻射解,故當R→∞時,式(10)中?BR上的積分趨于0,從而

(11)

此外,由Green第二公式可知,

(12)

利用式(11)、式(12)以及uλ在?B上滿足的邊界條件,有

=R(uλ-u,vg)

=0

(13)

延拓ps至上,使得ps=p-vg,則由問題(9)、式(13)和引理1可知,滿足

因為λ不是問題(3)的一個外Steklov特征值,故在內ps+vg=0。由問題(9)和唯一延拓原則可知,在內ps+vg=0。根據跡定理和單層位勢的連續性知,在?C上ps+vg=0。由假設1,在C內ps+vg=0。因此,在?C上,(?νps)+=-(?νvg)+, (?νps)-=-(?νvg)-

下面給出利用測量的總場的Cauchy數據重構外Steklov特征值的主要定理。

定理2假設Im(λ)<0,則如下結論成立:

(1) 若λ不是問題(3)的一個外Steklov特征值,則對任意的z∈都存在序列{gn}?L2(?C),使得

(14)

(2) 若λ是問題(3)的一個外Steklov特征值,則對每個滿足

(15)

的序列{gn}?L2(?C)和幾乎每個z∈都有∞。

證明首先證明(i)。因為λ不是問題(3)的一個外Steklov特征值,則設wz是

Δwz+k2nwz=0,x∈
?νwz+λwz=?νΦ(·,z)+λΦ(·,z),x∈?B

(16)

的解,其中z∈仍設BR是d中以原點為中心、充分大的R為半徑且嚴格包含D1的球體。由Green表示定理,有

由于wz(·)和Φ(x,·)均為Helmholtz方程在內的輻射解,在上式中令R→∞,則有

(17)

(18)

(19)

再利用式(18)及與得到式(11)類似的討論可得

(20)

從式(18)～式(20)及wz滿足的邊界條件,有

(21)

設(h,hs)為

(22)

的解。由于vi在內滿足Helmholtz方程,則采用與定理1中得到式(11)和式(12)類似的討論,可得

(23)

和

(24)

結合式(21)、式(23)和式(24)以及uλ在?B上滿足的邊界條件,有

由引理1,有

?ν(hs+vi-Φz)+λ(hs+vi-Φz)=0,x∈?B

(25)

記

定義

則在Bρ內vλ=0。根據唯一延拓原則,在內vλ=0。再定義

則從單層位勢的跳躍關系知,在?B上,

3 數值實驗

由于問題(3)是非自伴的特征值問題,其特征值在一般情況下的存在性目前還是公開問題[7]。為了檢驗交互間隙法重構特征值的有效性,針對外Steklov特征值存在的一種情形給出數值算例。

在?C上100個等距分布的點處輪流放置點源,對于每個點源,在100個等距分布在?B上的節點處計算總場的Cauchy數據,并采用帶噪聲的Cauchy數據進行反演,噪聲水平為ε。利用分離變量法求解正散射問題(1)和輔助問題(4)。盡管外Steklov特征值都位于下半復平面上,但為了觀測到某些靠近實軸的特征值,選取的抽樣域將覆蓋實軸上方較窄的帶型域。具體地,選取抽樣域為[1,4.4]×[-2.2,0.2],網格剖分步長取為0.1。針對抽樣域內的每個抽樣點λ和每個z∈(R0,10R0)(理論上z∈即可,但從數值實現的角度,z需取自外的有界域內,這里R0為?B的半徑),利用Tikhonov正則化和Morozov偏差原則求解積分方程(6)的離散形式,得到方程的近似解gλ的度量||gλ||l2,方程(6)中的所有積分都通過矩形公式進行離散。事實上,對每個抽樣點λ都隨機選取5個z,將對應的5個||gλ||l2的平均值作為最終的示性函數,仍記為||gλ||l2。通過作出||gλ||l2關于λ的圖像,圖像上的峰值點在抽樣域上的投影即可被認為是外Steklov特征值的近似。

從外Steklov特征值的解析表達式可以算出,選定的抽樣域中含有四個精確的特征值(見表1的第二行),分別對應于m=0,1,2,3,這里的m表示對應的特征函數在上的限制為m階第一類Hankel函數。圖1和圖2分別給出了噪聲水平ε=5%和ε=2%時的特征值重構結果,其中白色的星號代表精確特征值的位置,各等高線簇的中心(即示性函數的極值點)代表重構的特征值?？梢钥闯?當ε=5%時,能夠清晰地確定m=0, 1時的兩個特征值,但幾乎無法確定另外兩個特征值。當噪聲水平降至2%時,可以同時觀測到四個特征值,見表1的第三行。因為抽樣網格的步長是0.1,因此重構的特征值只能取到小數點后1位。這說明所采用的方法可以很好的重構出給定抽樣域內的特征值。

表1 m取不同值時精確的和重構的特征值,m表示對應的特征函數在上的限制為m階第一類Hankel函數

Table 1 Exact and reconstructed eigenvalues for different values of m, where m is the order of Hankel function of the first kind as the corresponding eigenfunction refined in

表1 m取不同值時精確的和重構的特征值,m表示對應的特征函數在上的限制為m階第一類Hankel函數

m0123精確的特征值1.267 7-1.785 2i1.286 8-1.499 2i2.202 2-0.294 4i4.034 6-0.006 9i重構的特征值1.3-1.8i1.3-1.5i2.2-0.3i4.0-0.0i

由于在數值實驗中使用的噪聲數據是隨機生成的,多次測試下的等高線形狀會存在一些差異,但基本不會影響到與m=0,1,2對應的三個特征值。在某些次的測試中,對應于m=3的特征值可能會被重構為 4.1-0.0i,考慮到網格步長的選取,這種偏差是可以接受的?？傊?與文獻[7]相比,為了同時觀測到給定抽樣域內的幾個特征值,本方法無需噪聲水平低至千分點甚至萬分點,顯然對實際測量中噪聲出現的環境要求更寬松。一個合理的解釋是所采用的已知數據是總場的Cauchy數據,而文獻[7]中采用的是散射場的數據,數據信息的增加可能彌補更大的噪聲對重構結果的影響。

4 結 論

給出了由總場的Cauchy數據來重構外Steklov特征值的交互間隙法,基于一個含有交互間隙泛函的線性積分方程,用于反演的測量數據和入射點源位于腔體內的不同流形上。給出了該方法的理論分析,尤其是建立了積分方程近似解的爆破性質和外Steklov特征值之間的聯系。數值算例表明,在給定的抽樣區域內,利用該方法能夠比較準確的重構出幾個外Steklov特征值,但所能重構出的特征值數目與測量數據的噪聲水平有關。在后續的研究中,將考慮利用交互間隙法重構其他類型的關于人工參數的特征值,如修正的外Steklov特征值等。此外,還將針對已經確定有存在性結論的特征值類型,在數值上考慮腔體和介質的幾何形狀以及介質參數(特別是吸收介質情形)等因素對重構效果的影響。