雅可比變換理論的來源初探 *

徐 快，李 威

（西北大學 科學史高等研究院，陜西 西安 710127）

0 引言

橢圓函數是19 世紀的中心學科，為復變函數、數論等其他學科提供了重要的方法和思想。歐拉（Leonhard Euler， 1707-1783）、勒讓德（Adrien - Marie Legendre， 1752 - 1833）、高斯（Carl Friedrich Gauss， 1777 - 1855）和阿貝爾（Niels Henrik Abel， 1802-1829）等許多偉大的數學家先后都嘗試在這一領域有所突破，而雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi， 1804-1851）無疑是最重要的人之一。他和阿貝爾各自獨立地創立并發展了橢圓函數，共同建立了一個新的理論。在此之后，盡管魏爾斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass，1815-1897）等人將橢圓函數引入更嚴格的理論和更復雜的應用，但雅可比的橢圓函數仍然是更一般的理論中具體例子的重要來源。［1］429

橢圓函數發展之初，橢圓積分的變換是個難題，經過半個多世紀的發展，最終形成橢圓函數的變換理論。研究橢圓函數的變換實際上是研究具有不同雙周期橢圓函數間的關系。［2］雅可比就是從橢圓積分的變換來展開研究的，這在某種程度上影響了他后來絕大多數重要的理論，比如模方程、乘積理論和著名的θ函數等，都是在初步研究第一類橢圓積分的變換問題時提出的。［3］530變換理論不僅是了解雅可比橢圓函數論的關鍵，而且在之后橢圓函數的發展過程中也扮演著重要的角色，所以研究雅可比的變換理論對其整個工作和橢圓函數的發展，甚至19 世紀的數學都是極其重要的。

早 在1775 年 和1818 年，蘭 登（John Landen， 1719-1790）和高斯就已經分別發表了二次變換的兩種形式，19 世紀初勒讓德也給出了橢圓積分的二次變換和三次變換。1827 年，雅可比將橢圓積分的二次變換推廣至任意階的情形并給出了一般變換定理及其證明，但是該變換還只是在橢圓積分之間進行。最終，雅可比在他的著作《橢圓函數基本新理論》中將橢圓積分反演，才正式建立起橢圓函數的變換理論。目前，許多數學史著作都包含雅可比及其橢圓函數的內容，不過大多數學者都專注于雅可比最重要的兩個成就——橢圓積分的反演與θ函數理論，［1，4-6］僅有一小部分專題史會涉及雅可比的變換理論。以上研究對于“雅可比的變換理論是如何來的，在什么樣的背景下形成的，以及為什么會產生橢圓函數的變換問題”涉及較少。［7-8］因此，筆者將從這些數學家的原始文獻出發，在“為什么數學”的研究范式下，［9］試圖提出并回答這樣一個問題：雅可比為什么會建立橢圓函數的變換理論？筆者嘗試厘清雅可比在1827 年的兩篇論文和1829 年的著作《橢圓函數基本新理論》中的變換思想以及它們與勒讓德之間的關系，從中尋找橢圓積分變換問題的背景和來源，能夠使人們更好地理解雅可比變換理論的起源和發展。

1 橢圓積分變換的早期形成

到18 世紀末，數學家已經對橢圓積分進行過很多研究并取得了一些進展，其中加法定理和蘭登變換被看作早期橢圓積分理論中的兩大重要支柱。［10］歐拉的加法公式來源于一類重要的曲線——雙紐線。1718 年，意大利數學家法尼亞諾（Fagnano dei Toschi，Uiulio Carlo，1682-1766）發現了雙紐線的一些性質，其中最重要的是在研究雙紐線弧長測量方法時給出了它的倍弧長公式［11］15：

在1751 年拿到法尼亞諾的論文后，歐拉很快就將其推廣到更一般的橢圓積分加法公式［12］：

對雙紐線積分和橢圓積分加法定理的研究極大地促進了橢圓積分的發展，也加快了數學家對橢圓積分的理解和應用。

與歐拉的加法定理類似，蘭登變換也來源于曲線的求弧長問題。1771 年，蘭登提到了一個一般性定理，這個定理可以用兩條橢圓弧長來求任意雙曲線的弧長。［13］蘭登于1775 年3 月23 日發表的一篇文章中詳細地闡述了該定理的內容和方法，而這篇文章就包括橢圓積分的二次變換，也稱為蘭登變換。蘭登在該文章中對他發現的這個新定理作出如下評價：

“如果本文的內容被應用得當，那么將表明給定（以及許多其他）的彈性曲線和等凹曲線都可以只通過橢圓的修正來構造，并且不會在任何點失敗?！盵14]289

蘭登變換可以概括為下面的定理：

如果有sin (2φ-θ)=ksinθ，那么

隨著橢圓積分被廣泛應用，它的數值計算也變成了非常棘手的問題，蘭登變換為這個問題提供了一個非常好的工具，所以后來的許多數學家都用它來進行橢圓積分的數值逼近，甚至解決其他的數學問題，比如拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736-1813）將蘭登變換用于橢圓積分的近似數值計算，進而發現了兩個數的算術幾何平均數。［15］18至19 世紀初期，橢圓積分已經被應用于很多學科，尤其是在天文學中占據了重要的地位。高斯在該領域作出了很多貢獻，特別是他在1818 年發表的一篇關于一顆行星受到另一顆行星影響的軌道位置變化的論文，其中也包含了二次變換的思想，［16］正是高斯的這篇論文促使雅可比邁出了研究橢圓函數的第一步。［3］531

更一般的橢圓積分加法定理促進了18 世紀早期橢圓積分理論的發展，在曲線求弧長問題的催生下，蘭登在“用兩條橢圓弧長求雙曲線弧長”的幾何外衣下發現了橢圓積分間的二次變換，與此同時，其他分支廣泛使用橢圓積分也為數學家研究橢圓積分的變換提供了動力。這些具體問題刺激了橢圓積分二次變換的產生，同時這些早期發現又促進橢圓函數變換理論的進一步發展，但是關于曲線求弧長和橢圓積分的計算問題還沒有完全解決，需要之后的數學家進一步進行研究?？傊?，經過這一個多世紀的發展，橢圓積分變換比較簡單的情形已經出現。不久之后，勒讓德將橢圓積分帶入一個更豐富的理論，橢圓積分的變換也將逐漸出現更高次和一般化的情況。

2 勒讓德的二次變換

18 世紀末，勒讓德開始研究橢圓積分并取得了一系列成果，他提出可以將一般橢圓積分歸為三種類型，即第一、第二、第三類橢圓積分，并在《橢圓函數論》中給出了橢圓積分表。盡管如此，勒讓德在數學領域最深刻的思想還是提出了一般橢圓積分的變換問題。［17］149

受到蘭登定理的啟發，勒讓德在《積分練習》中建立了一種變換，后來被稱為“二次變換”。勒讓德在該著作中這樣介紹他的二次變換：

“我們將要證明，通過一個非常簡單的定律就可以形成無窮大的第一類橢圓函數。它們之間的模和幅角不同，但它們具有非常顯著的性質能夠保持關聯?！盵18]81

通過對這些方程的變換進行一系列迭代，他得到了具有不同參數橢圓積分之間的關系，勒讓德非常重視這種關系，特別是它在計算方面的意義。［1］419不久，雅可比就將這個二次變換推廣為三次變換，將其發表在他1825 年的著作《橢圓函數論》中。

勒讓德是橢圓函數理論的奠基人，用了幾十年的時間將橢圓積分發展為一個成熟的理論，并把橢圓積分的變換變成了一個專門的研究主題，但是他還只停留在二次變換和三次變換，并未解決更高次的情形。除此之外，橢圓積分的變換問題要成為完整的變換理論還需要至關重要的一步，即橢圓積分的反演。

3 雅可比的變換理論

雅可比是橢圓函數的創立者之一，在橢圓函數的發展過程中提出并建立了很多重要的理論，特別是他的變換理論。受勒讓德工作的影響，雅可比開始研究橢圓函數，他晚年的密友狄利克雷（Dirichlet，Peter Gustav Lejeune，1805-1859）這樣回憶道：

“這位年輕的數學家曾經在很多方向上嘗試過并取得了成功，但很長一段時間以來，他似乎在橢圓函數理論方面的進展不是很順利。有一天，他的一個朋友發現他心情不好，這位朋友問他為什么不高興，雅可比回答說：你看我正要把這本書（勒讓德的《積分練習》）還回圖書館，但我非常不走運。每當我研究一項重要的工作時，它總會激發我的想法，并且給我帶來一些東西。這一次我空手而歸，絲毫沒有受到啟發?！盵19]7

在不清楚勒讓德的三次變換已經出現的情況下，雅可比于1827 年6 月13 日在《天文報告》發表了橢圓函數方面的第一篇論文。他在論文一開始就指出給定形式的橢圓積分之間的變換不僅有已知的二次變換，還有三階變換和五階變換，甚至其數量和質數一樣多，并給出了一般情形之間的變換［20］33：

設n為任意質數，令我們可以得到：

再以同樣的方式將sinψ變成sinθ，最終就有：

在這篇論文中，雅可比將三階變換和五階變換作為兩個例子，驗證他提出的一般變換定理。在這兩個例子之后，雅可比像勒讓德一樣給出了如何近似計算橢圓積分的詳細步驟，其中得到了一個表達式F(k，φ)=μF(λ，ψ)，表達式中的兩個參數λ、μ也給出了計算方法。雖然雅可比在第一篇論文中給出了一般變換定理，但是他還不能給出其嚴格證明，這也是勒讓德立刻敦促雅可比給出一個證明的原因。

在1827 年的第二篇論文中，雅可比補充了該定理的證明［21］：

設U、V和T都是有理積分函數，有

那么表達式

其中M為常數。在推導過程中，他首先利用勒讓德的積分得到(1 - sinσ)(1 - sin?) 的表達式，進而出現一個等式

而在(1 -y) 的表達式中恰巧包含該等式的一部分結構，所以經過替換后就可以得到y，進而可以確定U、V、M、λ的表達式。此外，雅可比還定義了

在上述兩篇文章中，雅可比沿用了勒讓德的模和幅角等概念，即令其中0 ≤c≤1，則勒讓德稱c為函數的模，φ 為函數的幅角。同時使用了他的積分及其他結果，并按照勒讓德的方式去計算積分值表，可以看出雅可比提出一般變換定理并給出其證明受到了勒讓德工作的直接影響。

此時，雅可比和阿貝爾兩人以驚人的速度發展橢圓積分，勒讓德知道后一直以非常欣賞和鼓勵的態度對待年輕人，他在與雅可比的通信中說：

“我已經知道了阿貝爾在《克雷爾雜志》上的出色工作，但你讓我很高興的是用你的語言對這些結果進行分析，這與我的語言更加接近?？吹较衲愫退@樣的兩位年輕數學家成功地培養了一個分析分支，這一直是我最喜歡的研究對象，但在我自己的國家沒有得到應有的重視，我感到非常滿意?！盵22]407

兩年后，雅可比出版了《橢圓函數基本新理論》，這是他的第一部杰作，也是橢圓函數領域的經典著作。該著作分為兩個部分，第一部分主要研究橢圓函數的變換理論，第二部分致力于將橢圓函數用無窮級數乘積和傅里葉級數表示的問題。［23］

如果變量x的多項式函數A、B、C、D、U、V以下面的方式給出，V+U=（1+x）A2，VU=（1-x）B2，V+λU=（1+kx）C2，V-λU=（1-kx）D2

在1.8 節中，雅可比引入了sinamu、△amu等新的量，將橢圓積分反演得到新的橢圓函數后，在1.9 節整理了大量的關于橢圓函數的基本公式，比如sin σ、cos σ、Δσ、sin σ + sin ? 等的表達式。得到這些新的橢圓函數后，雅可比就在后面的部分重新給出橢圓函數變換公式中的一般解析表達式和證明，并得到了橢圓函數的虛變換和補變換等。在雅可比之前，變換理論只是在橢圓積分之間進行。而雅可比將橢圓積分反演后，這些變換理論就可以在橢圓函數之間使用了。從此之后，對橢圓積分的研究就正式轉變成橢圓函數理論，而橢圓積分的變換問題也演變為橢圓函數的變換理論。

關于上述證明，雅可比是這樣評價的：

“因此，現在所有關于橢圓函數變換理論的一般解析表達式都得到了證明?，F在所提出的證明來自于我們在舒馬赫編輯的《天文報告》第127 號中的證明，其中ω代替了代替了M，而其它所有量都是相同的?！盵24]48

盡管我們沒有詳細地介紹該證明，但從雅可比的這段話可以知道該著作中的證明與之前雅可比給出的證明大抵上是相同的。

在1827 年的兩篇文章中，雅可比給出了橢圓積分的一般變換定理及其證明，還有三階變換和五階變換等。1829 年，雅可比在著作《橢圓函數基本新理論》中將橢圓積分反演，進而得到了關于橢圓函數的許多性質和定理，然后利用其中的一些橢圓函數去解釋之前橢圓積分的結果，就可以得到橢圓函數的一般變換定理及其證明?？梢钥闯?，此時雅可比已經給出了橢圓函數的變換理論。

4 結 語

橢圓函數變換理論的起源可以追溯至18世紀的求曲線弧長問題。在“用兩條橢圓弧長求雙曲線弧長”的定理中，蘭登運用了二次變換，在天文學等其他領域使用橢圓積分時也出現了二次變換，這些具體問題推動了橢圓積分變換的早期發展。但此時求曲線弧長和求解橢圓積分的問題并沒有被完全解決，勒讓德將這些具體問題中的二次變換抽離出來，并建立起一個成熟的橢圓積分理論，他的工作極大地促進了橢圓函數變換理論的產生，但是他只能解決橢圓積分的二次變換和三次變換，卻無法給出更高次的橢圓積分變換。受勒讓德工作的影響，雅可比將橢圓積分的二次變換推廣至三次變換和五次變換，并給出了一般變換定理及其證明。之后，雅可比在《橢圓函數基本新理論》中將橢圓積分反演，得到了大量的變換公式，最終正式形成雅可比的橢圓函數變換理論。不重視橢圓積分的逆函數和對虛數的恐懼是勒讓德無法進入橢圓函數的兩大重要原因，而雅可比觀察到了這些問題，并將它們應用于自己的研究中，最終得到了這個重要的理論。