氣浮重力補償裝置變論域模糊控制策略設計

周 鑫, 趙 勇

(上海交通大學 上海市復雜薄板結構數字化制造重點實驗室,上海 200240, E-mail:zhaoyong@sjtu.edu.cn)

衛星太陽能帆板作為衛星的重要能源裝置,它的順利展開是衛星能在太空環境下正常工作的前提。因此在發射衛星之前,需要在地面環境上進行多次的太陽能帆板微重力展開實驗。氣浮重力補償裝置是用氣浮法實現重力補償的關鍵部件,對氣浮重力補償裝置的控制效果直接影響太陽能帆板地面展開實驗的實驗效果[1]。

由于受到地面不平度和氣膜自身振動的干擾,對氣浮重力補償裝置的控制難度較大。普通的模糊PID控制策略由于其論域范圍固定不變,對PID控制參數調整不當,控制精度和穩定性下降,難以滿足帆板在地面環境中進行展開實驗的控制性能要求。

自李洪興提出變論域模糊控制方法以來,變論域控制思想得到了廣泛的應用[2]。近年來,國內外學者對變論域模糊控制方法進行了深入研究。文獻[3]提出一種基于變論域模糊PID的串級控制算法來解決四旋翼無人機系統存在的控制精度差和魯棒性低的問題。文獻[4]為提高汽車乘坐的舒適性和行駛的平順性,提出一種基于變論域理論的自適應模糊PID汽車主動懸架控制策略。文獻[5]將叉車的側傾狀況進行分析,采用變論域模糊控制方法設計控制器,仿真與實驗結果表明該策略可有效提高叉車的橫向穩定性。文獻[6]對于導彈的飛行控制,設計了一種自適應變論域模糊PID復合控制策略,實驗結果表明該方法具有抗干擾性強,響應速度快的特點。國內外學者主要采用普通PID或模糊控制策略來整定傳統的氣浮軸承式重力補償裝置的控制參數[7-10],對于懸浮氣墊式重力補償裝置以及變論域模糊控制策略研究較少。

由于變論域模糊控制具有不依賴被控對象精確數學模型的優點,結合氣浮裝置本身的非線性,難以建立準確數學模型的特點,本文根據氣浮重力補償裝置主要組件的分析建立了裝置的控制模型,分析了地面不同工況干擾以及氣膜自身振動干擾對支撐點位置的影響,并結合帆板展開過程的動力學模型提出了一種適用于氣墊懸浮式重力補償裝置的變論域模糊PID控制策略,最后在仿真模型中設計了四組不同的仿真實驗并搭建氣浮實驗臺以驗證所提控制策略的適用性和可靠性。

1 氣浮重力補償裝置分析

1.1 重力補償裝置控制模型

▲圖2 裝置等效結構原理圖

氣浮重力補償裝置是用氣浮法實現帆板重力補償的關鍵部件,它主要由補償組件、微調組件和氣墊組件組成,如圖1所示。

補償組件為電動缸,在電動缸絲杠末端安裝位置傳感器用于回傳支撐點實時位置信息,通過上位機可動態調整電動缸輸出的補償支撐力和伸出軸的長度。微調組件中包含三個碟簧、三個球鉸和一個三角支撐盤,用于微調氣浮重力補償裝置因地面工況變化而引起偏載的姿態。氣墊組件包含氣墊支撐盤和懸浮氣墊,替換傳統的氣浮軸承,以適應平整度較差的地面工況。

氣浮重力補償裝置的等效結構原理圖如圖2所示。

受力分析后可建立力平衡方程:

(1)

式中:m1為氣墊支撐盤和氣墊的等效質量和,k1為等效氣膜剛度,c2為等效氣膜阻尼,m2為微調機構與電缸的等效質量和,k2為其等效剛度,c2為其等效阻尼。xi為地面不平度等干擾因素引起的小位移擾動量,x為氣墊相對于基準面的位移量,xo為微調機構相對于基準面的位移量。

將以上方程聯立,進行拉普拉斯變換并整理后得到:

(2)

式中:參數如下:

參考文獻[3],電動缸電機的傳遞函數為:

(3)

式中:Kf為位置傳感器增益,T為時延系數。由此可得到氣浮重力補償裝置在豎直方向位置傳遞函數模型:

(4)

當電動缸末端的位置傳感器檢測到位置誤差時,上位機會調用預先設計的自適應位控算法動態調整伸出桿的伸出長度,從而補償支撐點的位置誤差,維持帆板在地面展開過程中的平穩性。

1.2 氣膜振動與地面擾動工況分析

氣浮重力補償裝置實現氣浮效果的關鍵組件是懸浮氣墊,懸浮氣墊通過高壓氣源輸入的壓縮空氣給氣墊充氣,氣墊底部的節流孔溢出氣體形成氣膜,由氣膜的氣浮力平衡其支撐物體的重力,懸浮氣墊的工作原理圖如圖3所示。

▲圖3 懸浮氣墊工作原理圖

假設當氣墊的承載為G時,氣膜的厚度為h,當氣壓穩定時,懸浮氣墊的承載力和氣膜的厚度呈反比關系[11],即:

(5)

式中:k為影響系數。氣墊在地面移動的過程中,由于有高壓氣流和橡膠氣囊的彈性變形的作用,氣膜會出現振動的現象,形成了支撐點位控干擾工況。設氣墊在地面移動過程中的實際氣膜厚度為h,則有:

h=h0+Δh

(6)

式中:h0為氣膜穩定厚度,Δh為氣膜的瞬時變化量。借鑒文獻[12]里面的振動模型,懸浮氣墊的振動以簡諧振動的方式建模,即:

Δh=A·sin(ωt)=εh0·sin(ωt)

(7)

式中:ω為簡諧振動的固有頻率,rad/s,取2πf;f為擾動振源的頻率,Hz;ε為擾動因子;t為時間,s;A為小位移擾動的擾動幅值,mm。

氣膜的厚度除了與氣膜自身振動相關外,還與氣體的粘度,氣墊彈性模量以及地面粗糙度等因素相關,用H表示氣墊表面和地面之間的廣義氣膜厚度,則:

H=h+δ=h0+Δh+δ=h0[1+ε·sin(ωt)]+δ

(8)

其中:δ為考慮了地面不平度等外界擾動的微調量。

氣墊在地面移動過程中會碰到一些典型的地面工況,如隨機不平地面工況,斜坡地面工況以及斜坡凹凸地面工況等,如圖4所示。

▲圖4 典型地面工況示意圖

▲圖5 氣墊斜坡力變干擾示意圖

對于斜坡地面工況,懸浮氣墊由平地面上升到斜坡過程中,氣墊與地面之間的氣膜厚度會發生突變,垂直于氣墊支撐盤豎直方向上的氣墊承載力也會產生力變,由圖5可知力變大小為:

ΔG=G(1-cosα)

(9)

式中:α為斜坡傾角,由于有微調機構的存在,氣浮重力補償裝置能在斜坡位置上處于新的平衡狀態,從而保持帆板在展開過程中的水平度, 由于氣膜厚度和氣墊的承載力相互影響,當氣墊承載從G0變化到G0-ΔG時,氣膜厚度會從h0變化到h0+Δh,可將該過程視為階躍突變干擾,干擾幅值為:

Δh=cosδk/G0-k/G0

(10)

氣墊從斜坡地面移動到平地面是其逆過程,分析同理。

對于隨機不平的地面工況,許多國內外的科研機構對路面不平度的數據測量和分析表明,路面不平度難以用明確的數學表達式表征,但可用以時間為參數的隨機過程表示。當車速較低時,其路面輪廓表面高程服從零均值的穩態高斯概率分布。由長春汽車研究所起草制訂的 GB/T7031-1986《車輛振動輸入-路面不平度表示方法標準 》中用功率譜密度函數系數的幾何平均值和均方根值將路面劃分為ABCDEFGH共8級[13]。2個參數的數值越小表示路況越好,路面等級越高,如表1所示。

表1 路面不平度8級分類標準

由于懸浮氣墊對實驗地面具有一定要求,在裂縫,高粗糙度的地面環境下無法形成穩定氣膜,要求實驗地面整體上平整光滑,因此可將普通的實驗室地面工況視為A級路面工況。后續擾動參數的設置可依據此表作為參照。

由于帆板在地面展開實驗測試中需要進行大范圍的展開運動,因此需建立帆板地面展開過程的動力學模型,結合其動力學特性設計控制策略。

1.3 帆板展開動力學建模

衛星太陽能帆板之間通過鉸鏈連接,由于帆板表面的太陽能薄膜的剛度較小,重量較輕,因此將帆板簡化為鋁合金型材框架進行分析。圖6表示柔性帆板多體系統中的一塊帆板。

▲圖6 帆板上任意點的變形描述

設O-XYZ為固定在基準面上的慣性坐標系,o-xyz為固定在柔性帆板上的浮動坐標系,選取帆板上任意一點P為研究點,則該點在慣性坐標系下的位置矢量可以表示為:

rp=s+A(uo+uf)

(11)

式中:s表示浮動坐標系原點在慣性坐標系中的位置矢量,uo表示任意點P在帆板未變形的情況下在浮動坐標系下的位置矢量;uf表示帆板變形的位移量,A表示從浮動坐標系到慣性坐標系的旋轉變換矩陣。

根據假設模態法,帆板上任一點的變形量可以由一組模態函數和模態坐標的線性組合來表示[14],即:

uf=φξ

(12)

代入式(11)得:

rp=s+A(u0+φξ)

(13)

對上式求一階導數得:

(14)

(15)

用模態坐標表示帆板的彈性勢能V和耗散能D:

(16)

式中:C為廣義模態阻尼矩陣,K為廣義模態剛度矩陣,{ξ}為模態坐標列陣。

將動能、勢能以及作用力代入拉格朗日方程中

(17)

整理得到矩陣形式的動力學方程

(18)

2 變論域模糊PID控制器設計

2.1 模糊PID控制器設計

(1) 變量模糊化

模糊控制器采用兩輸入三輸出的形式,2個輸入變量為支撐點位置誤差e和位置誤差的變化率ec, 3個輸出變量為PID控制器三個修正量ΔKP、ΔKI、ΔKD。

設e和ec的實際量的最大值分別為emax,ecmax,則它們基本論域的取值范圍可分別表示為[-emax,emax], [-ecmax,ecmax]。通過量化因子Ke與Kec可將e和ec的實際量映射為模糊論域的模糊量[15]。由于本文對模糊控制器的實時性和計算精度具有較高要求,因此將輸入輸出變量模糊論域劃共劃分為7個模糊子集{NB,NM,NS,ZO,PS,PM,PB},且模糊論域均設為[-3,3],則Ke=3/emax,Kec=3/ecmax。選擇常用的三角型隸屬度函數作為每個模糊子集的隸屬度函數,因為其形狀簡單,占用空間小,適合控制器在線調整,能實現較快的響應速度[16]。三角型隸屬度函數如圖7所示。

▲圖7 隸屬度函數

(2) 模糊規則表設計

將輸入輸出變量模糊化之后,接下來就要設計模糊規則表,模糊規則表的設計對于模糊PID控制器的控制效果有著關鍵的影響,根據PID參數的整定原則,參照專家對氣浮裝置的控制經驗[17],總結出ΔKP、ΔKI、ΔKD模糊控制規則表, 以ΔKP為例,如表2所示。

表2 ΔKP模糊規則表

(3) 模糊推理與解模糊

模糊推理采用Mamdani的min-max法,模糊推理的輸出量為3個輸出變量的模糊值,最后還需用重心法解模糊,其公式為:

(19)

解模糊后便可得到3個輸出變量的精確值,將PID參數的初始值加上修正值,便可得到最終糾正后的PID整定參數。即:

KP=KP0+ΔKP
KI=KI0+ΔKI
KD=KD0+ΔKD

(20)

式中:KP,KI,KD為糾正后的PID參數值, 則模糊PID控制器的系統離散形式輸出量為:

(21)

式中:k表示采樣時間點。

2.2 變論域伸縮因子設計

模糊PID控制器雖然能取得基本可行的控制效果,為了進一步提高系統的控制精度,可將模糊論域細分,即增加模糊子集的個數,但該方法會導致模糊規則冗余,利用率較低,且降低了控制系統的實時性。模糊PID控制器的另一個缺陷是其模糊論域以及量化因子,比例因子均為常數,一旦設定好就不可更改,在實際控制過程中會出現響應速度變慢,自適應變差的現象,鑒于以上問題,文獻[2]首次提出變論域思想,將變論域模糊控制器視為一種動態逐點收斂的分片插值器,在普通模糊PID控制器的基礎上引入了伸縮因子的概念。伸縮因子是一個論域自調整模塊,將伸縮因子和模糊論域的邊界值相乘可動態地調整模糊論域的范圍,當誤差變大時,模糊論域范圍擴張,當誤差變小時,模糊論域范圍收縮。變論域控制原理圖如圖8所示。變論域模糊控制器在不改變原有模糊規則和隸屬度函數形狀的前提下能相對增加在誤差零點位置附近的控制規則的數量,提高了模糊規則的利用率,因此其控制精度更高。變論域模糊PID控制器的結構圖如圖9所示。

▲圖8 變論域原理圖

▲圖9 變論域模糊PID控制框圖

設兩個輸入變量誤差e和誤差的變化率ec的初始論域為[-E,E], 引入輸入伸縮因子α(x)后得到變論域為[-α(x)E,α(x)E], 同理,設三個輸出變量的初始論域為[-U,U],引入輸出伸縮因子β(y)后得到變論域[-β(y)U,β(y)U]。為簡化在線計算時的復雜度,提高控制系統的實時性,對于輸入伸縮因子,本文選擇函數型伸縮因子,常見函數型伸縮因子的形式有比例型和指數型兩種:

(22)

式中:0<τ<1,ε為充分小的趨近于零的正數。

α(x)=1-λexp(-kx2)

(23)

式中:0<λ<1,k>0。

在系統動態調整的過程中,函數型伸縮因子因含有常量參數,當被控對象變化時,需要設定不同的常量參數,缺乏通用的選擇函數中常量參數的方法[18]。為此,本文根據系統中誤差和誤差的變化率來實時調整指數型伸縮因子中的λ和k參數,并根據文獻[2]中對伸縮因子的性質要求提出一種新型函數型伸縮因子:

(24)

式中:e和ec分別表示實時誤差和實時誤差變化率,E和EC分別表示誤差和誤差變化率的初始論域邊界,ε為一個趨于0的足夠小的正數。

對于輸出伸縮因子,結合其單調性原則以及PID參數的各自的整定作用,比例環節ΔKP和微分環節ΔKD的單調性應和位置誤差保持相同,積分環節ΔKI的單調性應和位置誤差保持相反。則設計的輸出伸縮因子為:

(25)

由于模糊控制器的本質是插值器,其控制輸出量可表示為:

(26)

其中:xi為輸入變量,yj為插值輸出值,Aij為模糊劃分。引入了伸縮因子后,變論域模糊控制器輸出量可表示為:

(27)

至此完成了變論域模糊PID控制器的設計,通過伸縮因子的調節作用,減少了對專家經驗的依賴,提高了模糊規則的利用率,因此增強了系統的容錯性和自適應性。

3 仿真與實驗驗證

3.1 仿真分析

在帆板地面展開實驗環境中,氣浮重力補償裝置上方支撐帆板補償其重力,下方通過懸浮氣墊底部溢出的高壓氣流形成氣浮力懸浮于地面之上,裝置的實驗環境如圖10所示。

為驗證本文提出的變論域模糊PID控制策略對氣浮重力補償裝置的控制效果,依據上述實驗環境并結合1.1節分析的控制模型,在Matlab/Simulink中搭建了控制仿真模型,采用階躍信號模擬上位機設定的支撐點目標位置,將輸入輸出伸縮因子以函數模塊的方式嵌入模糊PID控制器中,變論域模糊PID控制模塊如圖11所示,總體的控制模型如圖12所示。設支撐點的初始位置即控制器的輸入目標位置為300 mm,該位置為達到氣浮穩定狀態位置,選擇四種工況進行仿真實驗:階躍擾動,隨機擾動,正弦隨機混合擾動與階躍正弦隨機混合擾動。具體實施過程如下:

▲圖10 帆板展開測試實驗環境示意圖

仿真實驗1:為驗證變論域模糊PID控制器在地面環境干擾下的自適應能力,在3 s處施加一個2 mm的階躍擾動信號模擬地面微小凸起工況,從圖13以看出,變論域模糊PID控制器受到外部擾動后,最大誤差約為0.6 mm,恢復平穩的時間約為0.8 s, 而普通模糊PID控制器的最大誤差約為0.9 mm,且需要1.4 s左右的調節時間才趨于平穩,由此表明變論域模糊PID的調節速度快,動態響應性能較好,抗外部干擾能力強,對于地面微小凸起干擾的工況有一定的自適應能力。

▲圖11 變論域模糊PID控制器

▲圖12 系統總體控制框圖

▲圖13 階躍擾動響應

仿真實驗2:為模擬地面高低不平的隨機性干擾,參考表1對路面不平度的8級分類標準中的均方根值參數,圖14為在第3 s加入了均值為0 mm,方差為16 mm的高斯隨機干擾信號后的仿真結果。由圖14可知,引入隨機干擾信號后,普通模糊PID控制響應曲線的最大位置誤差有1.3 mm,而變論域模糊PID的控制最大誤差僅有0.5 mm,誤差率相對減少了約61%,說明相對于普通模糊PID控制,變論域模糊PID控制的控制精度和動態穩定性更高。

▲圖14 隨機擾動響應

仿真實驗3:為模擬氣膜振動和地面不平度的混合干擾工況,結合對氣浮墊氣膜振動工況的分析,在仿真實驗2的基礎上增加一個幅值A=2 mm,頻率f=20 Hz的正弦擾動信號,如圖15所示,變論域模糊PID的控制響應曲線的最大誤差約為0.5 mm,而普通模糊PID的最大誤差有1.5 mm, 變論域模糊PID相較于普通模糊PID的誤差波動范圍更小,再次驗證變論域模糊PID擁有較強的抗外部干擾能力。

▲圖15 正弦與隨機混合擾動響應

仿真實驗4:在仿真實驗3的基礎上,在4 s處增加一個2 mm的階躍擾動,并且將正弦擾動的頻率值增大到50 Hz, 模擬氣浮墊從平地面上升至斜坡凹凸地面的過程。從圖16可以看出,在該混合擾動工況下,普通模糊PID和變論域模糊PID響應曲線均出現明顯波動,但是總體而言,變論域模糊PID響應曲線位置誤差波動范圍更小,最大位置誤差約為0.6 mm,而普通模糊PID響應曲線的最大位置誤差達到了1.8 mm,表明在多種擾動源同時干擾的工況下,對氣浮裝置采用變論域模糊PID控制策略依然具備較強的動態穩定性和魯棒性。

▲圖16 階躍正弦隨機混合擾動響應

表3整理了上述四種仿真實驗的仿真結果數據。

表3 仿真結果對比

表3中,A代表變論域模糊PID控制的仿真結果數據,B代表普通模糊PID控制的仿真結果數據。位置誤差波動為正向最大誤差與負向最大誤差的絕對值之和,將最大誤差絕對值除以目標值得到最大誤差率。由表3可知,變論域模糊PID控制能將帆板展開過程中支撐點的位置誤差率控制0.2%在以內,相對于普通模糊PID控制位置誤差率減小了約66%,對于不同形式的擾動工況均表現出良好的穩態特性和控制精度。

3.2 實驗驗證

為驗證變論域模糊PID控制策略的實際控制效果,搭建帆板展開氣浮實驗臺進行單塊帆板的微重力地面展開實驗。氣浮實驗臺主要由兩塊鋁合金帆板框架,支架車,氣浮重力補償裝置,控制箱以及上位機組成,如圖17所示。

▲圖17 氣浮重力補償實驗平臺

在實際物理實驗中,經測量當氣膜穩定時,氣浮裝置支撐點距離支撐架車水平面的垂直距離約為350 mm,故在上位機控制軟件中設置目標位置為350 mm,啟動內外側2個支撐裝置而后進行帆板地面微重力展開實驗。結果如圖18和圖19所示。

▲圖18 內側支撐點展開過程實時位置變化圖

表4為帆板展開過程兩支撐點位控結果對比。

表4 帆板展開過程兩支撐點位控結果對比

由表4可知,在普通模糊PID控制策略作用下內外側支撐點的最大位置誤差率達到了1.2%,而在變論域模糊PID控制策略作用下,最大位置誤差率可控制在0.6%以內,且位置波動范圍更小。實驗結果表明本文設計的一種帶有新型函數型伸縮因子的變論域模糊PID控制策略相較于普通模糊PID控制策略的控制精度更高,抗干擾能力強,能自適應地面不平整的工況。

4 結論

本文對太陽能帆板地面展開實驗中氣浮重力補償裝置的控制問題進行了研究,建立了氣浮重力補償裝置的控制模型,分析了氣膜和地面的擾動工況,設計了一種適用于氣浮重力補償裝置的變論域模糊PID控制器,提出了一種新型函數型伸縮因子,仿真與實驗結果表明變論域模糊PID控制器能將支撐點位置誤差控制在0.6%以內,相較于普通模糊PID控制,誤差率減小了50%,動態調節速度快,穩定性好,抗干擾性強,對氣浮重力補償裝置的控制取得了較好的控制效果。