自適應可調節邊界的蟻獅優化算法

郭家虎,時曼玉

(安徽理工大學電氣與信息工程學院,安徽 淮南 232001)

蟻獅優化算法(Ant lion optimizer,ALO)[1-2]是近幾年提出的一種新型群智能優化算法。該算法模擬自然界中蟻獅捕食螞蟻的狩獵行為,將螞蟻與蟻獅之間的相互作用轉化為數學公式,并在此基礎上建立數學模型用于求解問題的最優解。近年來,越來越多的群智能算法被應用于實際工程中,求解優化問題的最優解。ALO算法因其數學原理簡單易懂,需要變動的參數較少、可以用代碼復現等特點,成為最近幾年計算領域的研究熱點之一,已被用于光伏陣列最大功率點跟蹤優化[3]、家庭用電調度問題的優化[4]、改進支持向量機的參數以提高風電功率預測精度[5]和可再生能源分布式電源的優化配置[6-8]。文獻[9]36通過改進螞蟻隨機游走的方式提出基于位置策略的蟻獅算法(Location strategy ant lion optimization,LSALO),并與BP神經網絡結合用于對兒童身高的預測,提高了預測模型的精準性。

ALO算法雖然在不同的領域取得較好的應用效果,但也存在著群智能算法易陷入局部最優解、收斂精度較低和收斂速度較慢的通病。為了解決這些問題,文獻[10]296引入Kent混沌映射和高斯函數,提出基于高斯變異的蟻獅算法(Gaussian mutation based ALO,GALO),提高了尋優精度,但易于陷入局部最優解;文獻[11]122引入自適應邊界、優選輪盤賭和動態比列系數來優化蟻獅算法(Preferred Strategy Self-adaptive ALO,PSALO),提高了收斂精度,但收斂速度較慢;文獻[12]21提出的具有自適應邊界與最優引導的萊維飛行蟻獅優化算法(Levy Flight Ant Lion Optimizer with Adaptive Boundary and Optimial Guidance,ABLALO),擺脫了局部最優解。以上改進策略雖在一定程度上優化了算法性能,但無法兼顧算法的收斂速度、收斂精度和局部最優問題。

針對ALO算法易陷入局部最優解和收斂速度較慢的問題,本研究擬使用以下策略優化算法,首先引入Bernouilli shift混沌映射用于初始化種群。其次改進蟻獅為捕獲螞蟻而設置陷阱的比例參數。再次采用萊維飛行變異操作和動態參數改變螞蟻位置的更新方式。最后使用9個基準測試函數進行測試驗證以上提出的改進策略。

1 ALO算法

ALO標準算法包含螞蟻、蟻獅和精英蟻獅3種角色,分別代表著問題的可行解、局部最優解和全局最優解。一次迭代中,螞蟻在一定范圍內隨機游走,當其適應度值高于蟻獅時,就會掉入蟻獅的陷阱內。螞蟻被蟻獅吃掉的過程可以等同于問題的可行解成為局部最優解,螞蟻群體被蟻獅捕獲之后,計算蟻獅群體的適應度值,從中選出最高的成為精英蟻獅,即問題的全局最優解。多次迭代過程中,通過比較螞蟻與蟻獅的適應度值大小,不斷更新蟻獅和精英蟻獅的位置信息。迭代結束后,最后會得到一個較為精確的全局最優解。

該算法引入隨機游走策略以實現對解空間的探索,輪盤賭策略實現種群的“優勝劣汰”,以更精確的搜索精度和更好的算法收斂速度求得問題的全局最優解。

螞蟻的隨機游走可建立以下數學模型[13]

X(t)=[0,cumsum(2r(t1)-1),cumsum(2r(t2)-1),…,cumsum(2r(Tmax)-1)]

(1)

式中,cumsum表示螞蟻種群隨機游走路徑的累積總和;t表示當前迭代次數;Tmax表示最大迭代次數;r(t)為隨機分段函數,公式如下

(2)

式中,rand表示位于(0,1)之間的隨機數。

為保證螞蟻指定區間內進行隨機游走,對式(1)歸一化處理得到

(3)

螞蟻在蟻獅周圍隨機游走可表示如下:

(4)

螞蟻掉入蟻獅陷阱內的過程可用以下數學模型表示:

(6)

(7)

(8)

(9)

式中,ω為受t影響的常數;ratio為控制陷阱范圍大小的系數,與t有關。

如果螞蟻的適應度值高于蟻獅,則掉入蟻獅陷阱內,被蟻獅捕獲。蟻獅會獲得獵物螞蟻的最新位置。蟻獅位置更新如下

(10)

螞蟻位置更新由蟻獅和精英蟻獅的位置共同決定,計算如下

(11)

2 ABALO算法改進策略

2.1 Bernouilli shift映射

標準ALO算法在求取問題最優值時使用隨機數進行種群初始化,這樣可以保證初始種群的隨機性,但種群分布的穩定性無法保障,進而會影響算法的尋優效果。ABALO算法在初始化種群時引入混沌這一概念?；煦缬成溆糜谏苫煦缧蛄?生成的序列具有隨機性、整體穩定而局部不穩定性和不可預測性[14],這些特性可以很好地保證初始種群的隨機性和群體穩定性,從而增強算法的尋優效果。研究發現Tent映射和Bernouilli shift映射比Logistic映射、Sine映射、ICMIC映射更具有分布均勻性[15]915,這種性質可以有效地提高搜索效率,從而提高算法的尋優性能。

圖1為種群數量為50、維度為50時的兩種種群初始化方式的散點分布圖,對比圖1(a)、(b)可知,Bernouilli shift映射分布均勻且波動平穩,可增強種群的多樣性和穩定性。

(a)種群Bernouilli shift分布 (b)種群隨機分布

因此,本研究選取Bernouilli shift映射來隨機初始化螞蟻和蟻獅種群。Bernouilli shift映射的數學表達式如下[15]914

(12)

式(12)中的λ取0.5,可以得到

(13)

2.2 自適應可調節陷阱邊界

由式(8)和式(9)可知,ratio的大小與常數ω相關,而ω的取值由迭代次數t決定。ratio在迭代次數分別為100和500時的曲線圖如圖2所示。

(a)迭代次數為100 (b)迭代次數為500

設置搜索空間[16]的上界ub=100、下界lb=-100,當迭代次數分別為100和500時,蟻獅捕獲螞蟻的陷阱大小變化趨勢如圖3所示。

(a)迭代次數為100 (b)迭代次數為500

由圖2和圖3可知,無論迭代次數為多少,陷阱大小只和t/Tmax的占比相關,蟻獅捕獲螞蟻的陷阱越小,捕獲的螞蟻的適應度值則會更優。迭代次數過多不僅不能幫助提升算法精度,反而會使算法陷入局部最優解中,導致算法的搜索精度距離理論最優值差距較大。

將式(4)～(7)代入式(3)得出螞蟻位置的更新如下

(14)

根據式(14)可知,同一次迭代中,第i只螞蟻的位置更新只與螞蟻選中蟻獅的策略有關,其他參數數值不變。本研究意在改進式(8)中的ratio,減弱陷阱大小與t/Tmax的占比的相關性,讓陷阱收縮得更快,波動得更隨機,進而影響迭代中螞蟻位置的更新。

(15)

式中,Tζ為可調節的迭代次數數值;ratio初始值為1;ω滿足于式(9)。經反復實驗測試,當Tζ設置為10,算法的搜索精度較高,且陷入局部最優解的次數較少。

2.3 萊維飛行變異策略

萊維(Lévy)飛行[17-18]是一種行走步長服從萊維分布的隨機游走方式,該方式的游走軌跡具有不可預測性,大多數步長較小,有一定的概率出現大跨步。在種群迭代中,當種群的最優適應度值在一定次數內未發生變化,即判定為算法處于停滯狀態,算法陷入局部最優解。為了擺脫這種困境,同時加快算法的收斂速度,引用萊維飛行的步長λ作為對螞蟻位置更新的變異參數。

步長λ滿足以下分布[19]

(16)

式中,u、v為正態分布的隨機數,服從以下正態分布:

(17)

(18)

式中,Γ表示伽馬函數,β=1.5。

(19)

雖然萊維飛行可以使種群產生變動,但是這種變動對螞蟻位置的更新并不一定會向好的方向發展。因此,本研究采用貪心思想,僅保留位置變動后適應度值有改進的解,其他的解則舍棄。

(20)

2.4 自適應動態參數

(21)

其中,w(t)為引入的自適應權重;t為當前迭代次數;Tmax為最大迭代次數;rand生成大小位于(0,1)內的隨機數。

將式(21)代入式(11)得到

(22)

2.5 算法步驟

ABALO算法步驟具體實施如下:

1)設置ABALO算法的初始參數,如種群數量、最大迭代次數Tmax、維度、ratio、適應度函數及其變量的上界和下界等;

2)使用Bernouilli shift映射初始化生成螞蟻和蟻獅的位置信息,計算和比較相應的適應度值,選出本次迭代中的精英蟻獅;

4)如果螞蟻的適應度值優于蟻獅,螞蟻的位置信息會被蟻獅獲取;

5)計算蟻獅群體的適應度值,適應度值最優的蟻獅如果優于精英蟻獅,則成為新一代的精英蟻獅;

6)判斷迭代是否達到臨界條件Tmax,如果達到則執行步驟7,否則執行步驟3;

7)算法結束,輸出此時精英蟻獅的位置信息和相應的適應度值。

算法流程如圖4所示。

圖4 算法流程圖

3 仿真實驗與結果分析

3.1 參數設置

實驗仿真軟件為MATLAB,版本為R2022b。算法的參數設置為初始種群數為50,最大迭代次數為500次,維度為50維。所有算法獨立運行30次,取這30次獨立實驗的平均值(mean)及標準差(std)作為算法檢驗測試的評測指標。

3.2 基準測試函數

選用9個基準測試函數作為模擬實驗的對象來測試驗證ABALO算法的性能?；鶞蕼y試函數包括高維單峰函數[F1(x)～F6(x)]和高維多峰函數[F7(x)～F9(x)]這兩類,前者主要用于衡量算法的收斂速度和收斂精度,后者則用來檢驗算法的全局搜索以及跳出局部最優的能力。測試基準函數的具體信息如表1所示。

表1 基準測試函數

3.3 測試結果與分析

為了驗證ABALO算法的有效性,現將該算法與其他改進方式的蟻獅優化算法就算法測試結果的最優值、平均值(mean)和標準差(std)進行比較。其中包括標準蟻獅算法(ALO)、基于位置策略的蟻獅算法(LSALO)[9]40、自適應動態權重和高斯變異的蟻獅算法(GALO)[10]299、優選策略的自適應蟻獅優化算法(PSALO)[11]127、具有自適應邊界與最優引導的萊維飛行蟻獅優化算法(ABLALO)[12]24和反調節混沌蟻獅優化算法(HALO)[20]。

由表2可知,在50維的參數設定下,ABALO不論是從收斂速度上還是收斂精度上都表現出較高的尋優性能,在9個測試函數中,100%優于ALO,全部為正優化。通過比較各個算法測試結果的平均值和標準差,可以看出在尋優精度上ABALO整體是高于ALO、GALO、PSALO、ABALO和HALO,且ABALO的最優值與平均值差距較小,這說明算法的魯棒性較強。在函數F1(x)～F4(x)上,ABALO的尋優精度較高且較為穩定,收斂精度在平均值上較ALO分別提升了18、13、21和13位,與其他蟻獅優化算法差距較為明顯,但是稍低于理論最優值。在函數F5(x)、F7(x)和F9(x)上,ABALO算法達到了100%尋優,即達到理論最優值。PSALO和GALO也在F7(x)和F9(x)上表現出較好的尋優精度,在F7(x)上達到了理論最優值。ABALO算法在F6(x)上尋優精度高于ALO,等同于PSALO和DFALO。由圖5(f)可知,這是由于算法在迭代后期陷入局部最優解中且無法跳出。ABALO算法在F8(x)上尋優精度高于ALO、PSALO、LSALO和GALO,但直到迭代結束還未達到理論最優值。由圖5(h)可知,這是由于算法雖沒有陷入局部最優解中,但整體收斂速度稍微慢了點,導致精度較低。

表2 測試結果對比

(a)F1(x)收斂曲線 (b)F2(x)收斂曲線

經以上對測試結果的分析得知,ABALO算法在收斂精度和收斂速度上較其他蟻獅優化算法都有明顯的提升,表現出較高的穩定性,但是在尋優精度上距離理論最優值還是有差距的,這也是ABALO算法存在的不足。

3.4 收斂曲線及分析

為了直觀地看出ABALO算法的收斂特性,現將ABALO算法與標準ALO算法、PSO算法、PPSO算法和DE算法的迭代收斂曲線進行對比。圖5(a)～圖5(i)為9個基準測試函數在獨立運行30次中的一次收斂曲線圖。

由圖5可知,經過改進ABALO無論是收斂速度還是收斂精度大體上都高于其他算法,停滯次數較少,基本不會處于局部最優值,與標準ALO算法相比,收斂精度和速度都有較為明顯的提升。ABALO算法只有在F5(x)、F8(x)和F9(x)時達到理論最優值且一直保持,收斂性較好,其余測試函數都只是接近理論最優值。F1(x)、F3(x)和F4(x)在迭代前期收斂速度和精度都較優,但在迭代中期會短暫地陷入局部最優值中,導致精度沒有達到理想數值。F2(x)的收斂速度在迭代前期較慢,但后期的收斂速度較前期顯著提升。F6(x)在迭代過程的中后期會長時間陷入局部最優值,且不能很好地跳出,導致算法的尋優精度較差,但還是很明顯地優于其他幾個算法。F8(x)在迭代過程中收斂速度逐漸降低,并在迭代后期陷入局部最優值中,直到迭代結束都未能跳出。

以上分析表明ABALO算法在函數優化上具有良好的尋優性能,且收斂速度和精度較高,這是因為加入萊維飛行作為變異參數提升了算法的收斂速度,可以較好地擺脫局部最優解的困擾。通過對邊界的自適應調整,提升了算法的收斂精度。除此以外,算法還具有較強的魯棒性。

4 結束語

針對ALO算法收斂速度慢、尋優精度低和無法很好地擺脫局部最優解等問題,本研究提出了一種新的解決思路,引入Bernouilli shift混沌映射初始化種群,設置比例參數來控制蟻獅捕食螞蟻的陷阱大小,大大地提升了算法的收斂速度;萊維飛行變異操作與動態參數結合共同控制迭代過程中螞蟻位置的更新,提升了算法的尋優精度;最后使用9個多峰和低峰基準函數進行仿真實驗。結果表明ABALO算法具有良好的尋優精度和收斂速度。

本研究通過測試函數對ABALO算法進行結果驗證,雖在測試函數中取得良好的效果,但缺乏實際工程應用的檢驗,這也是本研究的不足之處。下一步可將ABALO算法應用于電網調度研究中,驗證算法在實際工程應用中解決復雜問題的能力。