由木工刻圖引發的數學探究活動

許 彬 王宗信

(1.江蘇省蘇州中學園區校 215021；2.上?？萍即髮W附屬學校 201210)

數學探究活動是指圍繞具體數學問題開展自主探究、合作研究并最終解決問題的探究活動，是運用數學知識解問題的一類學習實踐活動．《義務教育數學課程標準(2022年版)》在“課程目標”中要求學生“能夠在實際情境中發現和提出有意義的數學問題，進行數學探究”[1]．《普通高中數學課程標準(2017年版)》將數學探究活動作為“必修課程”和“選擇性必修課程”的內容．數學探究活動中學生的一般表現：發現并提出有意義的數學問題，猜測合理的數學結論，尋求解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數學結論[2]．數學探究活動能夠發展學生善于觀察的眼睛、樂于質疑問難的態度、勇于探索的精神、敢于創新的思維品質．以下是我們對一個數學探究活動的實踐與思考.

1 過程與分析

1.1 創設情境，引發思考

(1)播放視頻：一名木工師傅雕刻矩形木門，做法是把刻刀插入正三角形小木塊的中心，使小木塊沿著門邊滑動，當木塊頂點觸碰到矩形邊時，木塊繞該頂點旋轉，與門邊貼合后繼續滑動，如此運動一周，雕出封閉的圖案；再用正方形小木塊，雕出新的封閉圖案.

(2)問題1：工人雕刻時使用的實際“關鍵工具”是什么？分析圖案被刻出的過程.

師生活動教師首先用視頻創設情境，通過慢鏡頭回放，學生慢慢品味、琢磨、思考，他們可以從木工刻圖過程捕獲到兩個“關鍵工具”(正方形小木塊和等邊三角形小木塊)、“圖案”(矩形、圓弧)，并思考兩個關鍵工具與其相對應圖案之間的生成關系.

設計意圖數學源于生活，用生活情境中蘊含著的數學元素觸發學生思考、探究，培養學生用數學眼光觀察現實世界的習慣和數學思考、抽象、表達的能力.

1.2 自主操作，發現問題

學生經過兩年多的幾何畫板軟件使用已經會畫出動態與靜態的規則圖形，并具備了追蹤和模擬的基本功.

(1)操作：使用幾何畫板軟件，如圖1在矩形內沿著邊拖動小正方形和小等邊三角形并追蹤其中心O，觀察點O的運動軌跡；

圖1

(2)問題2：如果對矩形、正三角形、正方形的邊長分別賦值，能否求出點O運動路徑的長度.

設計意圖用幾何畫板軟件模擬木工刻圖過程，將點O的運動路徑直觀呈現，通過親自操作，克服解決抽象的想象的困難，追蹤使探究過程可視化，賦值使幾何圖形元素量化，思維由表及里，數學思考逐漸深入.

1.3 探尋規律，提出猜想

(1)問題3：圖1點O的運動路徑是怎樣構成的？并寫出相應計算過程.

追問：結合解析，探索點O的運動路徑具有怎樣的形成規律？

(2)嘗試：根據以上已解決的問題，提出你認為較合理的數學猜想.

師生活動學生之間相互補充，最終得到：如圖2正方形中心O的路徑由矩形ABCD的長、寬分別減掉“邊心距”構成；如圖3正三角形中心O的路徑由4段30°弧長(旋轉距離)和4條線段(滑動距離)組成．接著學生提出很多猜想，教師從這些猜想中篩選出有探究價值的猜想作為活動的核心問題，如“把正三角形、正方形換為正n邊形，中心O路徑的形狀不改變”、“正n邊形運動過程，中心O的運動路徑有且僅有兩種形狀”、“從特殊到一般原則，若給矩形和正n邊形的邊長賦值，能夠求出正多邊形中心O運動路徑的長度”等.

圖2

圖3

設計意圖問題3既需要學生仔細觀察，又需要用心計算，通過對比發現點O路徑形狀的異同點，探索、總結路徑規律，為提出猜想做鋪墊.猜想是出自學生思維的碰撞，是數學探究活動的問題指向.

1.4 凝聚升華，生成問題

(1)問題4：觀察點O路徑的特征，思考能成為木工“雕刻工具”的正n邊形可被分成幾類？為什么這樣分類？

追問：你能夠對分類理由給予說明或進行論證嗎？

(2)小結：正n邊形中心O運動路徑與n的值對應關系.

(3)小組活動：設矩形框長寬分別為a、b，正n邊形邊長為單位1，請探究正n邊形中心O運動路徑長度的一般結論.

圖4

設計意圖分類討論是解決結論開放問題最常用方法，學生在已解問題引導下，用幾何畫板驗證或計算，對正n邊形中心的運動路徑作出正確判定，為推理路徑長度的一般結論指明了方向.

1.5 理性分析，解決問題

(1)引導：研究數學問題的一般方法是什么？針對此疑問，我們應采用怎樣的探究步驟？

追問：當正n邊形的頂點接觸外面矩形邊時，正n邊形應繞該頂點旋轉幾度？此時的弧長是多少？

(2)交流展示：小組合作，將探究的結果展示并講解推理過程.

(3)復盤：回顧本次數學探究活動的過程，分享成功經驗或失敗教訓.

師生活動在問題引導下學生說研究數學問題通常要“從特殊到一般”，有兩個小組率先提出用正13、14、15邊形嘗試論證，且13、14、15除以4的余數分別是1、2、3，這正是n不能被4整除時按余數分類的三種情況，還發現如圖5由中心O向矩形一邊作垂線，雖然正多邊形與矩形邊的接觸點分別在垂足的上、平、下，但是不影響點O運動路徑的計算．如圖6探究得正15邊形在AB邊上滑動距離O′O=P′1P1=AB-AP′n-P′nP′1-BP1=b-AP′n-1-BP1，因為AP′n=BPk，所以只需要求出BPk和BP1的值就可以求出OO′的長度．同理在BC邊上滑動距離為a-AP′n-1-BP1，所以中心O在矩形4條邊上滑動的距離(不含旋轉處弧長)之和為：2(a+b)-4-4BPk-4BP1．在該組同學的提示下，其他小組也找到解決問題的關鍵點，即求一般情況下的BPk與BP1值.經過各個小組同學激烈論證后，對問題的解答做如下展示：

圖5

首先求正n邊形滑動距離中BPk和BP1的值，如圖7延長PkPk-1，在Rt△BSPk中

圖7

圖8

∠OPkO′=∠Pk+1PkP′k+1=∠Pk+1PkP′k+1

所以4段弧的總長可以表示為

設計意圖學生急于解題會忽略解決問題的方法，教師在學生思維受阻點引導他們回歸到問題起點．在“從特殊到一般”的方法指導下，學生先對特殊正多邊形中心運動路徑長度進行計算，然后將研究方法遷移到正n邊形的研究，研究問題的思路徹底被打開，計算出一般結論也就水到渠成．設計復盤活動目的是引導學生對數學探究活動進行反思，及時總結在本次活動中的得與失，形成探究能力和提升數學素養.

2 思考

《課標(2022年版)》中“探究”一詞出現65次，提及“探究活動”8次，并指出數學探究活動是提升學生核心素養及評價綜合實踐能力的有效方式．《標準(2017年版)》再次強調了在高中開展探究活動的內涵與價值，如文[4]統計人教A版高中數學必修1～5教科書中數學探究活動多達146處．數學探究活動提倡以微探究或片段探究的形式在課堂教學過程中開展，參與主體不僅僅局限于學生，教師也要參與點撥、引導，探究目標一般指向數學概念、定理、公式等.

2.1 源于現實情境的數學探究活動

數學源于生活，數學史上有許多著名公式、定理、猜想源于現實情境．木工刻圖是生活的一個場景，其中蘊含著豐富的數學知識、問題，它是培養學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題能力的好素材，更是培養學生探究能力、創新思維的難得機會．但有許多人愿意在分析、解決問題上花時間、下功夫，并冠以“大容量、快節奏”的高效學習，這是應試環境下數學探究活動的異化現象．愛因斯坦曾說“提出一個問題比解決一個問題更重要”．在本數學探究活動中，學生用數學的眼光觀察木工刻圖，發現并抽象出圖形、數量關系及空間形式．學生在探究活動中敢于猜想，勇于提出數學問題，在質疑問難中實現能力突破與結論創新.

2.2 “問題”是推動數學探究活動的“主引擎”

數學探究活動強調學生的主體性，想使學生主動開展數學探究活動，就要有激活其探究欲望的問題．從數學探究活動的一般流程看，產生有探究價值的“問題”顯然是調動學生主動開展數學探究活動的首要任務.

數學探究活動一般流程[3]

面對木工刻圖，學生要經歷觀察、發現、抽象、猜想等系列活動才能形成假設，還要對猜想不斷思辨、升華才能提出高質量的問題，學生在數學探究活動全程都在圍繞“問題”用“數學的思維思考”、“數學的語言表達”．學生在探究中不斷整合知識，尋求解決問題的方法、策略，還要通力合作、反復論證，確保問題解決得恰當、精準.

2.3 “探究性”強的數學探究活動

“探究性”是數學探究活動的要義，“問題、證據、結論、論證”是構建探究活動的四個主要素．探究性強弱程度就是看數學探究活動中告知學生其中的幾個要素，告知的越多說明留給學生可探究的空間就越小，可探究性就越弱．數學探究活動可探究空間的大小被稱為“開放水平”，根據告知要素的數量，數學探究活動的開發水平被劃分成4個層次，如下表：

本案例中每個學生都用自己擁有的知識、能力、素養視角觀察“木工刻圖”，抽象出的數量關系或空間形式雖然各不同，但是都符合數學邏輯，四個要素這里均系未知，屬于最高開放水平四．這就使探究活動形式要有獨立探究也要與他人、小組合作，探究手段融入信息技術模擬，探究結果有開放性、一般性，這些都有效地培養了學生的探究能力和創新意識，也充分展現了數學探究活動的獨特魅力.

3 結語

參與木工雕刻數學探究活動的學生是初三年級學生，日本數學家米山國藏說過“作為知識的數學出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的精神、數學的思想、研究的方法和著眼點等，這些隨時隨地發生作用，使人終身受益.”學生將知識忘卻了以后剩下的東西這其中核心的成分是數學思維.

蘇霍姆林斯基曾說“在人的內心深處，都有一種根深蒂固的需要，那就是渴望自己是一個探索者、發現者”．數學探究活動有助于增強學生數學學習的動機，促進學生對數學的理解，也有助于培養學生更加積極的數學學習態度和數學信念，加強數學與生活、數學與社會之間的聯系[5]．數學探究活動也會使學生的數學學習有激情、有活力、有創造，能讓學生從靈感與頓悟中深刻感受數學之美[6].