借助數學抽象 培養關鍵能力①
——以“數軸上的動點問題”為例

潘竹樹 李 祎

(1.福建省泉州市第九中學 362000；2.福建師范大學數學與統計學院 350108)

按照《義務教育數學課程標準(2022年版)》，抽象能力主要是指通過對現實世界中數量關系與空間形式的抽象，得到數學的研究對象，形成數學概念、性質、法則和方法的能力[1].史寧中教授指出：數學的眼光就是抽象，抽象包括數量與數量關系的抽象，圖形與圖形關系的抽象[2].本文以初一年級數軸上的動點問題為例，對照數學抽象能力分析水平框架，分析學生抽象能力培養方面存在問題及其原因，在此基礎上結合實例分析如何提升學生的抽象水平，從而實現從會解一個題，到會解一類題，以培養學生的數學關鍵能力.

1 依據理論框架，開展教學診斷，挖掘抽象價值

1.1 數學抽象能力分析框架

數學抽象的表現是學生數學抽象能力測評的重要依據，數學抽象能力雖然不能被直接觀測，但可以通過學生在具體任務中的實際表現加以推測.有關初中生數學抽象能力的測評依據與水平劃分，盡管在《義務教育數學課程標準(2022年版)》中并未具體給出，但由于初高中的數學抽象具有本質的一致性和特征的相似性，因此我們可以參考和借鑒包括高中學段在內的現有研究成果，對初中生的數學抽象能力進行水平劃分和測評研究.

數學抽象能力作為數學關鍵能力之一，涵蓋數量關系與空間圖形兩個橫向維度，可以劃分為歸納與釋義、關聯與構建、拓展與普適三個縱向水平[3].據此，我們根據以下數學抽象能力分析框架，以作為判斷初中生數學抽象能力水平的參考.

橫向維度縱向水平歸納與釋義關聯與構建拓展與普適數量關系空間形式在不同情境中形成數學概念并對其內涵進行解釋,借助特例獲得簡單數學命題,發現情境中蘊含的數學問題.將數學命題推廣至一般形式,理解并構建數學知識之間的聯系,能利用適切語言進行數學表達.在獲得的數學結論上拓展出新的命題,能夠創造通性通法解決數學問題.

1.2 一節同課異構課的教學診斷

日前，筆者在聽初一的兩節“同課異構”的數學課時，兩位教師讓學生做了如下同一道練習題.

如圖1，數軸上點A、B分別表示-2和6，動點P以1個單位/秒的速度從點A出發向負半軸方向移動；同時，動點Q以2個單位/秒的速度從點B出發向負半軸方向運動.在A處有一個擋板，點Q碰到擋板后，立刻按原速返回.設點A運動時間為t，求當t取何值時，A、P兩點間的距離與A、Q兩點間的距離相等.

問題1歸納與釋義方面，無法對P、Q兩點間的距離及其內涵進行解釋.

問題2關聯與構建方面，無法用含參數的代數式表示動點P、Q的一般形式，無法構建“兩點間的距離”與“數軸上的兩動點間的距離”之間的聯系.

問題3拓展與普適方面，無法從“一般數軸上點的移動”拓展到“變向”問題，無法創造通性通法解決實際問題.

1.3 數軸上動點問題的抽象價值

教學過程中，教師引導學生抽象起點過高、過程不充分和缺乏層次性，是導致學生抽象能力存在問題的主要原因.

數軸上動點問題的抽象，有兩重抽象性：數量到數量關系的抽象，圖形到圖形關系的抽象.

抽象一：從“數”到“字母”的抽象，從“字母”到“單項式”的抽象，從“字母”到“多項式”的抽象.

抽象二：從“數”到“數軸上的點”的抽象，從“數軸上的點”到“點到原點的距離”的抽象，從“點到原點的距離”到“兩點間距離”的抽象.

兩重抽象之間還存在關聯：“數軸上的點”可以用“字母”表示，“點與原點間的距離”可以用代數式表示，“兩點間的距離”可以用代數式表示.

2 還原抽象原型，鋪設抽象臺階，培養抽象能力

由于數軸上的動點的抽象具有復雜性、層次性和拓展性，在大單元教學理念的指導下，通過幾個不同專題，還原數學抽象原型，細化抽象過程，從直觀感知到理性思維，這是提升學生抽象水平的重要方式.

2.1 還原回到絕對值的意義，抽象兩點間距離的本質

學生通過學習數軸，把小學階段的“數”，抽象為初中階段數軸上的“點”，實現從“數”到“形”的飛躍，數軸是培養學生抽象能力的良好載體.

出現問題1的主要原因，在于教學中教師認為數軸上“兩點間的距離”很簡單，“忽略”了知識的形成過程，沒有讓學生經歷完整的知識形成過程，教學上的“跳躍”給學生造成抽象基礎不穩固，而解決這個問題需要回到“絕對值的意義”這一概念.

如圖2，我們把數軸上表示數a的點A與原點的距離叫做數a的絕對值，記作|a|.借助絕對值的定義，可理解AO=|a-0|，這里寫成|a-0|，為學生理解兩點間距離做鋪墊.

圖2

若數軸上表示數a的點A、數b的點B位于原點兩側、左側和右側，通過這三種不同情況的探究，讓學生親歷抽象過程，得到A、B兩點間的距離AB=|a-b|，當a≥b時，AB=a-b.

數軸上兩點間的距離建立在絕對值意義的基礎上，有利于學生從認知結構的“根部”建構所學知識，并通過分類討論點A、B三種不同位置情況，形成對數量與數量關系的抽象、圖形與圖形關系的抽象.

2.2 還原回到動點從原點開始移動，抽象到動點從原點以外其它點開始移動

出現問題2，主要有以下兩個方面原因：其一，移動的點不是從原點出發，給學生的抽象帶來障礙；其二，學生抽象水平停留在“數”的階段，不理解如何用含“字母”的代數式表示數軸上的點.

解決這個問題，需還原數軸上點的移動，從簡單到復雜，逐步幫助學生抽象出如何用字母表示移動的點.

2.2.1 還原從原點出發的移動

學生經歷知識生成的過程，積累從具體到抽象的基本活動經驗，能夠更好地理解知識的含義，提升數學抽象能力和抽象水平.

如圖3，當從原點O出發的點向正半軸方向移動5個單位后到達點A，點A可以表示為0+5=5；同理，當從原點O出發的點向負半軸方向移動b個單位后到達點B，點B可以表示為0-b=-b.

圖3

2.2.2 拓展到動點從原點以外其它點開始移動

如圖4，點C表示1，如果點C向負半軸方向移動n個單位到點B，則點B表示為1-n；如果點C以2個單位/秒的速度向正半軸方向移動到點A，移動t秒后點A表示為1+2t.

圖4

層次一：從原點開始運動，過渡到從原點以外其它點開始運動，起始位置產生變化；

層次二：用字母表示點C向負半軸方向移動到點B所表示的數，結合了運動的方向與距離；

層次三：除了結合運動方向外，還結合路程公式s=vt，抽象層次進一步提升，對學生的抽象能力要求更高.

2.3 還原到“臨界點”為動點的出發點，抽象“反彈”類型的一般情況

出現問題3的主要原因，在于移動時遇到擋板“反彈”，學生無法用代數式表示“反彈”后的動點，“反彈”后動點的位置與運動的“方向”、“速度”、“時間”相關，對學生的抽象能力提出了更高層次的要求.

2.3.1 還原到動點從原點返回

如圖5，動點Q從表示6的點B以2個單位/秒的速度向負半軸方向移動，在原點O處有一個擋板，當動點Q碰到擋板后立即按原速返回，則動點Q出發t(t>3)秒后在數軸上的位置怎么用含t的代數式表示？

圖5

2.3.2 拓展到動點從原點以外的其它點返回

如圖6，動點Q從數軸上表示6的點B以2個單位/秒的速度向負半軸方向移動，在表示-2的點A處有一個擋板，當動點Q碰到擋板后立即按原速返回，則動點Q出發t(t>4)秒后在數軸上的位置怎么用含t的代數式表示？

圖6

3 變式拓展問題，提升抽象層次，培養抽象能力

學生的抽象水平在歸納與釋義、關聯與構建、拓展與普適等三個方面得到逐級提升之后，這樣學生就可以輕松解決如上的“反彈”問題，在此基礎上進一步拓展，在大單元教學理念的引領下，還可以進一步解決“變速”等問題.

3.1 提升抽象水平后，輕松解決“反彈”問題

當學生抽象水平提升后，學生能夠輕松解決本文開頭的問題.

當4≤t≤6時，因為AP=-2-(-2-t)=t，點Q表示為-2+2(t-4)=2t-10，AQ=2t-10-(-2)=2t-8，所以t=2t-8，t=8.

3.2 變式拓展問題，進一步提升抽象層次

圖7

假設在“折坡數軸”上，上坡時的移動速度變為水平路線上移動速度的一半，下坡時的移動速度變為水平路線上移動速度的2倍.動點P從點A處沿“折坡數軸”以2個單位/秒的速度向正半軸方向運動，運動到點O后，再上坡移動，當移動到點B時，立即掉頭返回(掉頭時間不計)；在點P出發的同時，動點Q從點C處沿“折坡數軸”以1個單位/秒的速度向負半軸方向運動，運動到點B后，再下坡移動到點O，然后再沿OA方向移動.當點P重新回到點A時所有運動結束，設點P運動時間為t，在移動過程中，

(1)點P在第幾秒時回到點A；

解析：(1)18÷2+6÷1+6÷4+18÷2=25.5(秒).

(2)①當0

②當9≤t<12時，點P、Q都在線段OB上，點P表示為0+(t-9)=t-9，點Q表示為6-2(t-9)=24-2t，由t-9=24-2t，得t=11，此時P、Q相遇；

(i)當9≤t<11時，點P、Q都在線段OB上，且還未相遇，點P表示為t-9，點Q表示為24-2t，因為PQ=(24-2t)-(t-9)=33-3t，PO=t-9-0=t-9，所以33-3t=2(t-9)，t=10.2.

(ii)當11≤t<12時，點P、Q都在線段OB上，且已相遇，點P表示t-9，點Q表示24-2t，因為PQ=(t-9)-(24-2t)=3t-33，PO=t-9，所以3t-33=2(t-9)，t=15，不在11≤t<12范圍內，不符合題意，應舍去.

③當12≤t<15時，點P尚未到達點B，點P、Q分別在線段OB、OA上，點P表示t-9，點Q表示0-(t-12)=12-t，因為PQ=(t-9)-(12-t)=2t-21，PO=t-9，所以2t-21=2(t-9)，方程無解，這種情況不成立.

④當15≤t<16.5時，點P從點B返回，點P、Q分別在線段OB、OA上，點P表示為6-4(t-15)=66-4t，點Q表示為12-t，因為PQ=(66-4t)-(12-t)=54-3t，PO=66-4t，所以54-3t=2(66-4t)，t=15.6.

⑤當16.5≤t<21時，點P、Q都在線段OA上，點P表示為0-2(t-16.5)=33-2t，點Q表示為12-t，因為PQ=(33-2t)-(12-t)=21-t，PO=0-(33-2t)=2t-33，所以21-t=2(2t-33)，t=17.4.

⑥當21≤t≤25.5時，點P、Q都在線段OA上，點P表示為0-2(t-16.5)=33-2t，點Q表示為12-t，因為PQ=(12-t)-(33-2t)=t-21，PO=0-(33-2t)=2t-33，所以t-21=2(2t-33)，t=15，不合題意舍去.

4 借助數學抽象培養關鍵能力的若干思考

4.1 回歸抽象起點，重視抽象過程

數學抽象是相對的，高級抽象是在低級抽象基礎上進行的[4].教學中，教師不能只關注復雜的抽象過程，而應回歸簡單的抽象，不應輕易跳過初步感知、建立模型、一般化和符號化的抽象過程，要夯實抽象的基礎.在挑戰難度較大的抽象問題時，回歸抽象起點很有必要，好像一群在森林中迷路的人，回到出發點，有利于下一次重新確定行進方向，以擺脫困境.

數學教學應讓學生經歷完整的抽象過程、參與完整的抽象活動——感知與識別、分類與概括、想象與建構、定義與表征、系統化與結構化[5].在數學抽象的過程中，基本知識、基本技能相對容易獲得，學生最欠缺、最需要的是基本思想的指導和基本活動經驗的積累.在數學教學中，注重文字語言、圖形語言與符號語言的轉換，這是提高學生抽象水平的重要手段；注重引導學生仔細觀察、直觀感知、思辨確認，讓學生更深入地理解抽象對象，這是提高學生抽象水平的關鍵；在抽象過程中加強學生間的交流，讓學生在交流中取長補短，注重學生思維的碰撞，這樣可以強化抽象能力的培養.

4.2 注重整體設計，提升抽象層次

《義務教育數學課程標準(2022年版)》在教學建議中指出：單元整體教學設計要整體分析數學內容本質和學生認知規律，合理整合教學內容，確定單元教學目標，并落實到教學活動各個環節，整體設計，分步實施[1].設計出體現數學的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統性的系列化數學活動，引導學生通過對現實問題的數學抽象獲得數學研究對象，構建研究數學對象的基本路徑.

數學抽象活動的基本步驟為：分離屬性與建構模型——概括與一般化——定義與符號化——系統化[6]．在有關數學抽象活動的教學中，教師同樣要有大單元理念的指導，弄清知識的來龍去脈，理清本單元知識間的聯系，厘清與其他章節的關系.教學中先布好局，對關鍵教學點進行必要的拓展，開展必要的項目式專題學習，有層次地串聯知識，讓學生擁有全局眼光、開闊視野，幫助學生建構系統知識體系，在循序漸進地逐級發展學生的抽象能力的同時，避免學生知識的碎片化，避免教學中出現亡羊補牢，以及頭痛醫頭、腳痛醫腳的現象.

4.3 重視抽象評價，優化抽象活動

《義務教育數學課程標準(2022年版)》在評價建議中指出，在關注“四基”“四能”達成的同時，要特別關注核心素養的相應表現.不僅要關注學生知識技能的掌握，還要關注學生對基本思想的把握、基本活動經驗的積累，全面考核和評價學生核心素養的形成和發展[1].教學中，要細化每一項關鍵能力的評價指標，便于教師評估學生的學習表現，再根據學生的表現，調整教學，優化過程，更有針對性地培養學生的關鍵能力.

在有關數學抽象活動的教學中，課前教師要對相關教學內容進行分析，根據教學內容的抽象性進行教學設計，力求讓學生制定策略，明確路徑，經歷完整的抽象過程；課中要對學生的抽象意識和抽象思維進行評估，做出及時調整，以更好地指導學生進行抽象活動，積累抽象活動經驗；課后要根據學生的作業情況所反饋的信息做出評估，要制定并逐步完善評估標準，通過考試等手段長期跟蹤學生的抽象能力發展水平，分析、比較與評估學生的數學抽象能力，根據學生學情并在理論指導下開展數學抽象活動.

4.4 研究抽象本體，關注人的發展

課程目標以學生發展為本，以核心素養為導向，進一步強調使學生獲得“四基”，發展“四能”，形成正確的情感、態度和價值觀[1].數學抽象素養是數學核心素養的重要組成部分，它不僅能幫助人們運用所學知識技能從具體情境中抽象出一般規律和結構，用數學符號、術語予以表征，而且數學抽象還是滿足個體自身發展需要的必備能力及思維品質[7].

數學抽象是人必備的能力，通過抽象，進一步認識事物的特征，揭示事物的本質，把握事物之間的聯系.數學抽象是學習的需要，在學習中通過抽象的過程，學習基本知識、基本技能，感悟基本思想，積累基本活動經驗，深刻理解數學概念、命題以及知識結構與體系.數學抽象能夠培養人的思維，教會人們抽取對象的數量關系和圖形特征，辨析異同點，甄別有效信息，剔除干擾因素，抽象得到對象的本質屬性，達到知行與思維的統一.

數學抽象能力的培養不是一朝一夕就能實現的，需要教師長期關注抽象素材，教學中細化抽象過程，實踐中指導抽象方法，活動中積累抽象經驗.抽象能力是學好數學最基本的能力之一，也是培養學生數學關鍵能力的重要抓手，需要教師從初一起始年級就開始滲透抽象思想，讓學生感悟抽象過程，掌握抽象方法.