SymPy在“高等傳熱學”教學中的應用實踐

孫昆峰 李小民

(中原工學院能源與環境學院 河南鄭州 450007)

“高等傳熱學”是動力工程類研究生專業的核心課程，該課程主要內容是研究熱傳遞現象，讓學生了解傳熱學的研究前沿，掌握導熱、對流換熱、熱輻射的物理機理和分析方法，培養研究生的工程思維能力，提高分析解決復雜傳熱問題的能力[1]。在“高等傳熱學”中，不僅有理論，更多的是微分方程及其求解，因此學生學習的困難很多來自數學上的困難。這些困難一是數學公式推導，二是結果不直觀，理解上有一定難度。所以，如何改進求解微分方程的教學方法，就成為教好“高等傳熱學”的一個挑戰。

計算機代數系統能夠以類似于數學家和科學家的傳統手動計算方式來處理數學表達式。目前，在國內外的大學教學實踐中，CAS 的應用逐漸普及[2,3]。通過適當地使用CAS 輔助教學，正好可以解決傳熱學中微分方程給教學帶來的問題。它不僅可以讓學生擺脫復雜的數學演算，使教學和學習有更多時間和精力用在解題思路和解題方法上，而且從另外一個層面改變了教學方式和內容，實現教育方式的現代化，還能提高研究生使用CAS解決微分方程的能力。

Python是一款通用、動態且高階的語言，而且因它語法比較簡單、特別容易上手、第三方生態庫異常豐富的特點而被大家所喜愛。由于這些優點，Python 已經在科學和工程方面被廣泛應用[4-5]。SymPy作為Python的計算機代數系統庫[6]，可以方便地解決在“高等傳熱學”中面臨的困難。SymPy目前處于發展期，它旨在成為功能齊全、性能可靠的計算機代數系統，同時使應用代碼盡可能地簡單，易于理解和便于擴展。它完全使用Python 編寫，能夠完成諸如多項式求值、求極限、解方程、求積分、微分方程、級數展開、矩陣運算等等計算問題，現在它可以部分替代Mathematica、Maple、MATLAB等商業數學計算軟件[3]。另外一個關鍵因素SymPy是開源的軟件，對研究生來說更有挑戰性和深度，更現實的問題是避免現在我國軟件技術卡脖子問題?？梢哉f它是目前非商業軟件中，解決“高等傳熱學”教學問題最適合的選擇。

本文以在實踐教學中的經驗，舉例說明SymPy 如何應用CAS解決高等傳熱學的問題。

1 SymPy的應用介紹

1.1 在等截面直肋導熱問題中的應用實踐

工業換熱設備中，常在換熱表面上增添一些肋，以增大換熱表面，達到減少換熱熱阻的目的，各種肋片的溫度場和傳熱性能的分析常歸結為擴展表面問題，其中等截面直肋是最經典的例子[7]。該問題的核心思路是將實際問題降維，這種方法是研究生教學的重點，即讓研究生建立簡化思維模式、降維思維模式。通過假定肋片表面熱阻遠大于肋片導熱熱阻，厚度足夠小，導熱系數足夠大，將一個三維物理問題降為一維問題。

等截面直肋導熱問題微分方程[8-9]：

公式（3）中：θ為過余溫度；m為常量；x為長度量；H為肋片高度。

Sympy求解代碼如下：

等截面直肋導熱問題計算結果如圖1所示。

圖1 過余溫度沿肋高的變化曲線

1.2 地下埋管問題分析

在供熱、供水、供氣等工程中存在大量埋地管道，管道與土壤的傳熱問題是一個常見的問題。近年來，興起的地源熱泵技術，是一種高效能源利用方式，特別是目前在能源價格居高不下的態勢下，對該方面的傳熱研究計算越來越受到重視。地源熱泵中一個重要的問題是地下土壤溫度對地下埋管換熱器的傳熱影響，完善土壤的傳熱模型，是確定地下換熱器大小的重要依據，它是推廣地源熱泵的重點研究方向[10]。在教學中通常采用拉普拉斯變換法求解，該方法使用簡單，但是缺乏形象、直觀的表達，而且利用拉普拉斯變換求解導熱問題是本課程的一個重點內容[8-9]。該方法思想是將偏微分方程轉換為常微分方程，使求解大為簡化，它廣泛應用在力學、電學、電子、信號處理等領域中。深入理解并能熟練掌握求解該類問題，是本課程教學的重要要求。本例是土壤溫度受外部影響的一種簡化模型，通過采用拉普拉斯變換方法求解半無限大物體非穩態導熱，來演示SymPy的數學推導功能。

半無限大物體非穩態導熱問題的數學描述如下[8]：

式（8）中：θ為過余溫度；a為常量；τ為時間；x為長度量。

SymPy代碼實現如下：

半無限大物體非穩態導熱溫度變化結果見圖2。

圖2 半無限大物體x={1,2}點過余溫度隨時間的變化

2 教學過程的具體實施

傳熱學是一門比較艱深的學科，國內許多教育從業者都努力改進教學方法，探尋新的教學模式[11-14]，筆者也在教學中積極嘗試使用SymPy。首先，其可以提高學生的數學運用水平，激發學生的學習熱情。通過使用SymPy 的數學解析功能，不僅可以復習高等數學的內容，而且可以擴展學習數學物理方程。隨著近年來Python 的普及，而且隨著AI 技術的巨大發展，掌握Python也成為工科研究生的必要技能。學生可以通過SymPy的學習，擴展到AI的領域，為將來個人的發展拓寬空間。

其次，教師要重視SymPy在課后的應用，除了在課堂上演示具體的應用和解析結果，在課后重點布置合適的專門練習內容，讓學生能夠深入傳熱學問題，將物理現實與數學求解結合起來，綜合提高學生的研究技能，為其將來從事科研工作打好堅實的基礎。

筆者在不同課程教學中采用不同方法改進教學效果[15]，根據具體教學要求，在“高等傳熱學”教學中采用SymPy 求解復雜問題也是這種嘗試之一。通過SymPy的學習，大部分學生都能體會到，高等傳熱學中的數學問題變得沒那么難了，有思路，有具體解決辦法了。全方位地促進了學生對傳熱學理論和微分方程形式的理解，大大促進了研究生核心課程“高等傳熱學”教學質量的提升。

3 結語

本文總結了使用CAS 的一點體會，為“高等傳熱學”的教育現代化起到拋磚引玉的效果。SymPy 計算代數庫系統CAS，易學習，并且語法簡單，特別是免費開源。通過結合使用SymPy 的微分方程求解、拉普拉斯變換功能，可以看出：作為“高等傳熱學”的教學輔助工具，其方便使用，適合工程類專業的研究生學習和掌握，更有利于學生理解傳熱學的基本概念，并能在應用編程計算的同時，深入掌握相關的基本原理和求解方法。在例子中既有公式推導，同時又能實現數學公式的圖形化，進而可以改變相應參數，讓學生方便地看到各種變量的關系，深入體會專業理論知識的內涵。通過教學方法的改進，進行研究生教育手段現代化，引導專業研究生利用CAS，增加學生對專業理論的學習興趣，提高學生的理論水平和計算能力。