基于自適應非線性跟蹤微分器的直線電機位置和速度檢測方法

周世炯, 李耀華, 史黎明, 范滿義, 張明遠, 劉進海

(1.中國科學院電工研究所 中國科學院電力電子與電力驅動重點實驗室,北京 100190; 2.中國科學院大學,北京 100049)

0 引 言

直線電機具有傳動機構簡單、運行效率高、動態響應快等優點。直線電機在很多場合已經得到了應用,如高速直線電機電磁驅動系統、磁懸浮列車、直線電機電梯以及工業運用的各種機械傳送設備等。

直線電機的速度閉環是實現電機高精度閉環控制的重要一環,特別是在速度較高、運行距離較遠的場合,需要精準的直線電機位置和速度檢測系統來滿足位置和速度控制所需要求。

隨著直線電機的廣泛應用,直線電機的位置和速度檢測技術在不斷發展。文獻[1]采用相位差光柵渦流傳感器進行位置的跟蹤,文中提出一種特定的組合碼,采用單軌編碼定位方法實現光柵渦流傳感器線圈的粗定位,但是這種方法只是進行電機位置的粗跟蹤,在很多精度要求高的場合不適用。文獻[2-3]利用圖爾克公司的電感式接近開關構成傳感器陣列,根據直線感應電機次級感應板運動過程中與傳感器的電渦流效應來生成直線感應電機的位置信號,這種方法雖然能夠適應十分苛刻的工況,但是測量的精度不高?；魻杺鞲衅魇且环N磁場傳感器,檢測準確度依賴于霍爾元件離磁場的距離,如果距離太近易受直線電機漏磁場干擾,尤其是在高速電磁驅動強磁場、大電流的工況下,位置檢測精度并不高[4]。文獻[5-6]利用了磁柵式的速度傳感器,也有一定的抗振和抗干擾能力,且結構較為簡單,但是無法適應動子高速運動帶來的橫向振動,同時這種傳感器的磁頭容易退磁,因此使用壽命不長。文獻[7]研究表明激光位移傳感器的位置檢測精度受測量距離的限制,距離過長導致檢測精度下降。由于其位置測量信號是連續的,易受周遭環境的影響而存在噪聲,會被微分作用放大,淹沒速度測量信息。文獻[8-9]在電機動子上安裝高速攝像機,隨著動子運動掃描刻在定子兩側的非周期正弦條紋圖像,利用特定的算法將二維圖像轉化成簡單的一維信號處理,快速、高精度地解碼出速度與位置,同樣這種方法也不適合高速運動的直線電機帶來的抖振。而基于直線光柵傳感器的位置檢測方法簡單有效,成本低,不受長行程、強磁場限制,測量精確度較高[10],特別適用于長定子直線電機。但是在高速大推力的電磁驅動工況下,光柵傳感器的機械強度受到考驗,且所用激光的光斑大小會限制光柵的柵格寬度[11],光柵格的設計往往相對于精密伺服系統設計的要寬,因此不能單純的從減小光柵的柵格寬度來提高位置檢測的精度,有必要從檢測位置和速度的算法上著手。

速度信號常由對位置信號的微分獲得,普通的微分處理主要是采用差分方法,極易因為測量誤差而對噪聲進行放大作用,獲得的速度信號誤差大而無法采用。針對這個問題,韓京清等[12]提出跟蹤微分器(tracking differentiator,TD),不直接對輸入信號進行微分運算,而是先對給定輸入信號進行跟蹤,隨后對跟蹤信號處理并輸出微分信號,這樣可以有效抑制微分的噪聲放大效應。文獻[13]又在此基礎上根據最優控制原理設計了基于離散最速控制函數的非線性跟蹤微分器(nonlinear tracking differentiator,NL-TD),進一步抑制了測量噪聲,且有效降低了信號延遲,使得跟蹤信號總能在有效的最短步長內跟上給定信號。但是,根據文獻[14]發現,傳統控制參數固定的NL-TD輸出信號的精確性會因為輸入信號的變化速度而發生改變:速度較低時,會有較大的測量誤差,延遲較小;隨著速度升高,誤差減小,但輸出信號延遲越來越明顯。因此,低速時需要提高微分器的濾波因子來改善,但很可能會造成輸出信號延遲;高速時需要提高速度因子加快信號跟蹤,但很可能會造成測量誤差增大。因此,這種微分器在同時處理測量誤差和輸出延遲問題上存在矛盾,想要在被測目標運動的全過程都能夠較為準確快速地測量比較困難。

目前解決的方法主要分為兩大類,第一類主要是從NL-TD的可調控制參數著手,如文獻[15]提出通過獲得輸入輸出信號差值構造自適應函數控制速度因子,隨著被測目標速度增大而增大,使得微分器的跟蹤速度能夠滿足要求,但是未考慮濾波作用,易受噪聲影響。文獻[16]提出速度因子和濾波因子都能跟隨輸入信號的變化速率自適應調整的改進型微分器,很好地解決了上述矛盾,但是由于其用到了復雜的統計學函數而不利于實現。第二類則是從NL-TD本身的控制函數著手,文獻[17]利用二階連續系統最速控制設計中的綜合函數,提出一種新型快速離散非線性跟蹤微分器,經分析表明,這種跟蹤微分器在良好跟蹤輸入信號的前提下,可較好地濾除噪聲提取微分信號,且相位延遲小。文獻[18-19]重新設計了一種基于邊界特征線且特征點可變的二階離散非線性跟蹤微分器,并且運用在磁懸浮列車的位置和速度檢測系統當中。文獻[20]采用反雙曲正弦函數離散化得到二階微分器,嚴格證明了所設計的微分器具有良好的跟蹤性能,但僅僅局限于仿真階段。此外,第二類方法采用更為復雜的控制函數設計跟蹤微分器,因此實用性不強。本文采用第一類方法,設計了自適應非線性跟蹤微分器(adaptive nonlinear tracking differentiator, ANL-TD),采用相對簡單的自適應控制函數,擬合速度因子和濾波因子的變化規律,并將其應用于長定子直線電機的位置和速度檢測系統中。

本文利用基于激光器陣列的光柵傳感器位置和速度檢測系統具有精度高、檢測速度快、設計相對簡單經濟且不受電磁干擾的優點,經過仿真和實驗證明,在電機加速、勻速和減速的全過程中,與傳統的NL-TD相比,本文提出的ANL-TD都能很好地對直線電機的動子進行位置和速度的檢測,測量誤差小且延遲低。

1 光柵傳感器位置速度檢測系統

圖1給出了利用基于激光器陣列的光柵傳感器進行位置和速度檢測的系統。由于定子長度較長,供電和控制系統都固定在地面上,將激光器陣列安裝于定子上,光柵條安裝于動子上,這種簡單的傳感器形式能較為方便地重構出電機動子的位移,并作為跟蹤微分器的信號輸入,隨后跟蹤微分器經計算輸出動子更平滑的位置跟蹤信號和速度測量信號,作為電機控制的反饋信號輸入。

圖1 光柵傳感器位置和速度的檢測系統結構Fig.1 Structure of the grating sensor speed and position measurement system

光柵條安裝在動子板上(圖1中簡化了動子,以光柵條代替),激光收發器陣列安裝在定子上,如圖1中所示的灰色部分。光柵條分為白色透光區域和黑色不透光區域(寬度等長,均設為D),當動子產生位移時,光柵條就會遮擋或者不遮擋激光,對應的每對激光收發器會得到一系列高低電平的變化,經信號處理模塊產生對應的脈沖序列。計數模塊能夠對每列脈沖進行計數(跳變沿計數得到的脈沖數設為N),累加(ND得到動子的位移粗信號)并經過線性插值得到位移輸入信號(如圖2所示),通過下文設計的非線性跟蹤微分器跟蹤輸出得到電機動子平滑的位置信號和速度信號。最后,根據具體情況在不同時刻都選通輸出某一對激光器得到的電機動子位置和速度信號作為最終信號輸出。

圖2 位置線性插值Fig.2 Position linear interpolation

圖2中:X1為光柵傳感器位置和速度的檢測系統重構出的位置(X1=ND);X2為對X1進行插值得到的位置信號,X2作為跟蹤微分器的位移輸入信號。如果直接采用光柵傳感器輸出的位置X1作為電機控制的位置反饋信號輸入,如圖2所示帶有明顯的階梯形狀會對控制系統造成額外的影響。

2 自適應非線性跟蹤微分器

2.1 非線性跟蹤微分器原理

根據文獻[21],經典的微分作用通過下式實現:

(1)

為了解決微分放大噪聲的影響,文中還提出通過減少積分的步長來抑制噪聲的方法,但是需要較長的調節時間進入穩態。為了加快進入穩態的時間,出現了跟蹤微分器的概念[22],跟蹤微分器是對經典微分器的高階擴展。跟蹤微分器一方面能夠利用其中的慣性環節來跟蹤輸入信號,另一方面能夠通過求解微分方程來輸出微分信號。但是,這種跟蹤微分器跟蹤信號的能力依然有限。

為了使微分器能夠快速地跟蹤輸入信號,文獻[23]將最優快速控制綜合函數代入二階積分串聯型系統并且經過離散化得到非線性跟蹤微分器。當跟蹤點遠離目標點時,非線性結構的控制函數能夠使其以冪級數的曲線軌跡快速逼近,而當跟蹤點靠近目標點時,它又能以一次函數的軌跡以較低的速度緩慢接近目標,因此,相比于傳統的跟蹤微分器,NL-TD的跟蹤信號能力和抑制噪聲的效果都比較好,即NL-TD的效率要高于傳統的跟蹤微分器[24]。

NL-TD的表達式為:

(2)

式中:u為控制輸入的函數;r為常數。而實際中應用更多的是NL-TD的離散形式,表達式為:

(3)

(4)

式中:u(k)為位置輸入信號;x1(k)為對u(k)的跟蹤信號;x2(k)為對x1(k)的微分信號,當x1(k)能夠快速跟蹤u(k)時,x2(k)便可以作為u(k)的近似微分,最后輸出信號x1(k)作為系統的位置信號,輸出信號x2(k)作為系統的速度信號;T為微分器離散化步長;r為速度因子,增大r可以更快地跟蹤輸入信號;h為濾波因子,增大h可以更好地濾除噪聲;fhan(x1,x2,r,h)為離散最優快速控制綜合函數[25]。

由式(3)和式(4)可以看出,NL-TD只需調節速度因子r和濾波因子h兩個參數,調節簡單。

2.2 自適應設計

當采用一組固定的速度因子r和濾波因子h參數時,在測量目標的移動速度較低時,NL-TD輸出的速度微分信號x2(k)誤差較大,位置跟蹤信號x1(k)的滯后相對較小;隨著目標移動速度的不斷增大,速度微分信號x2(k)的誤差越來越小,而位置跟蹤信號x1(k)的滯后越來越明顯[14,16]。

為了解決NL-TD存在的問題,需要根據輸入信號的情況實時調整速度因子r和濾波因子h的值。因此提出自適應非線性跟蹤微分器,使非線性跟蹤微分器的兩個可調參數r和h跟隨測量目標運動速度而改變,即r=r(v)和h=h(v),其中r(v)跟隨目標移動速度v成正比變化,h(v)跟隨目標移動速度v成反比變化。

根據以上分析,被測目標速度較低時速度因子取較小值,濾波因子取較大值;速度升高時,速度因子能夠快速增大以便能夠快速跟蹤輸入信號,并且速度較低時較大的濾波因子能夠減小噪聲。如此,ANL-TD在高、低速時都可以輸出高精度、低延時的跟蹤信號x1(k)和微分信號x2(k)。

文獻[14]根據統計學的原理提出自適應律,函數結構顯得復雜,為了簡化系統運算,節省硬件邏輯資源,本文重新提出可調參數的自適應規律,表達式為:

(5)

式中:α(x)隨x的增大而快速增大;β(x)隨x的增大快速減小;γ1和γ2為可調參數,調整他們的大小可以改變α(x)和β(x)的變化速率。

α(x)由簡單的反正切函數所得,β(x)由標準正態分布簡化而得。利用α(x)和β(x)擬合速度因子r和濾波因子h的變化。

經設計,自適應非線性跟蹤微分器的形式變為:

(6)

其中:

式(6)中A和B分別為速度因子r的變化范圍和初始值。根據系統實際要求的輸入信號的帶寬,調節γ1和γ2的大小,使ANL-TD獲得全程精確且快速的輸出信號。

2.3 頻率特性

ANL-TD的跟蹤信號和抑制噪聲的能力能夠通過系統的開環頻率特性反映,由于是非線性的環節,無法常規獲取伯德圖,本文采用掃頻法[26]。假設正弦輸入信號為y=Asin(ωt+Φ),在輸入信號的某一個周期內選取對應的輸出信號的最大值A(ω)和其對應的時間t,計算獲得輸出信號的幅值和相位。這樣,通過改變頻率便可以得到輸出信號的一系列不同的幅值和相位,得到輸出信號近似的幅頻、相頻信號[26]。ANL-TD的頻域特性已用MATLAB繪制而出,如圖3所示。

圖3 ANL-TD伯德圖Fig.3 ANL-TD Bode diagram

圖3中,保持γ1的值不變,改變γ2的值分別得到ANL-TD1、ANL-TD2、ANL-TD3的曲線。代表常規微分作用s的幅頻和相頻曲線也在圖中給出作為參考。對于正弦輸入信號,改變γ1的值只決定跟蹤信號能否跟上輸入信號變化,對ANL-TD輸出信號的頻率響應沒有影響。從幅頻曲線可以看出,幅頻特性近似于一條折線,在高頻處的最高點(稱為轉折頻率)出現轉折,所以該跟蹤微分器可以有效地濾除高頻噪聲。從相頻曲線可以看出,在轉折頻率之前一段區間內幾乎保持超前90°的相角,且在轉折頻率之后快速降低至-90°,所以該跟蹤微分器在一定范圍內具有良好的微分作用。

因此,ANL-TD的頻率特性類似于二階帶通濾波器。對比常微分s的頻率特性曲線,ANL-TD在一定的頻帶范圍內能夠表現出良好的近似微分的作用,并且能夠有效地抑制高頻噪聲。

3 仿真結果分析

為了驗證新設計的ANL-TD(見式(6))的效果,本文取動子的參考速度Vref(m/s)。首先動子速度由0以50 m/s2的加速度勻加速至100 m/s,隨后勻速運行1 s,然后又以50 m/s2的加速度勻減速至0,如圖4所示。

圖4 動子運動參考速度Fig.4 Reference speed of mover

圖5為基于跟蹤微分器位置和速度檢測方法的結構框圖。由圖可知,輸入速度參考信號Vref經過積分得到位置輸入信號X1,模擬光柵傳感器每1e-4s更新一次數據得到離散位置信號,并以5e-9s的周期線性插值之后輸出位置信號X2。

X2作為跟蹤微分器ANL-TD的輸入,利用傳統跟蹤微分器得到低質量的微分速度信號,經過自適應控制函數得到隨速度輸入信號變化的速度因子和濾波因子,從而有效地調節ANL-TD(式(6)所示),在目標物體高、低速運動時都可以保持比傳統的NL-TD更加精確的輸出信號。X2經傅里葉分析如圖6所示。

圖6 輸入位置信號傅里葉分析Fig.6 Fourier analysis of input position signal

根據圖6,該輸入位置信號頻譜的主要成分大致集中在2 Hz以內,通過上節對跟蹤微分器的頻率特性分析,可以選擇合適的參數來使得ANL-TD對該輸入信號具有良好的微分作用,這里γ1和γ2分別取10和110較為合適。根據式(6),經過調試取A=1e6,B=2e6,T=1e-4s,由ANL-TD得到的位置跟蹤信號及速度輸出信號,相比于傳統的NL-TD更加精確。位置、速度、自適應控制函數r=α(x2,γ1),h=β(x2,γ2)跟隨時間變化的Simulink仿真波形如圖7～圖9所示。加速度階段,動子位置和速度經過放大后的波形也分別在圖7和圖8中給出。

圖7 位置及加速段放大結果Fig.7 Position and acceleration section zoom in simulation

圖8 速度及加速段放大結果Fig.8 Speed and acceleration section zoom in simulation

圖9 自適應控制函數仿真結果Fig.9 Simulation results of adaptive control functions

圖7和圖8中,Xref(Xref=X2)和Vref分別為電機動子位置和速度的參考信號。圖9中,速度因子隨著動子的運動速度呈正比變化,濾波因子呈反比變化。調節γ1和γ2可以改變r和h的變化速率和軌跡。

在電機動子的初始運動狀態下,ANL-TD首先選擇合適的速度因子r和濾波因子h初始值,尋找合適的參數γ1和γ2來得到合適的r和h的變化規律。根據前文的分析,隨著電機動子的運動速度增大,測量的位置和速度信號的滯后越來越明顯,濾波因子較小可以適當犧牲微分器的降噪性,速度因子快速增大使微分器跟上輸入信號,如圖7所示,位置信號滯后隨著速度升高而增大,但是ANL-TD的滯后明顯小于NL-TD;當被測物運動速度較低時,速度因子較小可以適當犧牲跟蹤的快速性,而較大的濾波因子能夠濾除一些低速段的測量噪聲,如圖8所示,雖然初始速度較低時誤差較大,但是ANL-TD的誤差明顯小于NL-TD。所以,由圖7～圖9可以看出,本文設計的ANL-TD在速度全程可以獲得比NL-TD質量更好的測量信號。

另外,為了更加直觀地驗證ANL-TD的效果,將圖7中的ANL-TD和NL-TD的位置跟蹤信號分別與位置參考信號Xref(Xref=X2)作比較,得到位置誤差信號ΔX1和ΔX2;將圖8中ANL-TD和NL-TD的速度檢測信號分別與速度參考信號Vref比較,得到速度誤差信號ΔV1和ΔV2,如圖10所示。

圖10 位置和速度誤差仿真結果Fig.10 Simulation results of position and speed error

由圖10可知,NL-TD存在輸出滯后輸入信號隨著速度增大越來越明顯的問題,而ANL-TD能夠明顯改善這個問題,它的位置滯后更小,位置跟蹤誤差在穩速時比NL-TD減小了0.68 m,位置跟蹤精度提高了大約70%;速度誤差主要集中在低速區域,且相比NL-TD,ANL-TD在整個運行過程的速度測量誤差都較小,它的速度誤差比NL-TD減小了0.2 m/s,速度檢測精度提高了大約30%。進一步證明,相比于傳統的NL-TD,ANL-TD能夠在全程獲得更加準確的位置信號和速度信號,這也與理論分析的結果一致。

4 實驗驗證

為了進一步驗證本文提出ANL-TD的有效性,采用基于RT-LabOP5607的半實物平臺進行驗證。實驗機器主要包含CPU板卡和Xilinx Virtex7的FPGA板卡(如圖11所示)。在FPGA板卡中搭建基于激光器陣列的光柵傳感器位置和速度檢測系統,CPU控制系統中建立ANL-TD和NL-TD算法,跟蹤微分器離散化步長為500 ns。

圖11 基于RT-Lab OP5607的實驗平臺Fig.11 Experiment platform based on the RT-Lab OP5607

根據表1給出的光柵傳感器參數以及圖1的系統設計算法,具體流程為:上位機根據速度參考信號Vref生成位置參考信號下發給FPGA,FPGA中的傳感器模型產生位置檢測信號,以500 ns的周期線性插值后,進入CPU中的傳統NL-TD和ANL-TD進行計算得到位置跟蹤信號和速度檢測信號,最后兩者反饋回上位機,分別與速度和位置的參考信號進行比較,跟蹤微分器相關的控制參數設計同Simulink仿真。

表1 光柵傳感器參數Table 1 Parameters of grating sensor

輸出全程的位置和速度波形如圖12所示。勻速段(高速段)的局部放大圖如圖13所示。低速時位置和速度的波形圖如圖14所示。

圖12 位置和速度實驗波形Fig.12 Position and speed experiment waveform

圖13 位置和速度高速段放大圖Fig.13 Enlarged view of position and velocity in the high-speed section

圖14 位置和速度實驗波形Fig.14 Position and speed experiment waveform

由圖12和圖13可知,從3.5～5.5 s處,隨著動子運動速度的增大,NL-TD所測得速度和位置信號滯后越來越明顯,最終在最高速處導致速度測量信號誤差太大(如5.5～6.5 s處),因而微分放大噪聲的作用被進一步放大,最終導致高速下誤差也增大。然而ANL-TD全程輸出的位置信號和速度信號滯后較小且速度信號更加精確,相較于傳統的NL-TD都有明顯的提升,尤其在高速段時與參考信號幾乎吻合,這說明ANL-TD通過參數自適應調整克服了傳統跟蹤微分器在高速段延遲大的缺點。

由圖14可知,在起始低速運行時,ANL-TD能夠快速跟上參考位置Vref,位置跟蹤性能好于NL-TD,NL-TD延遲了大約70 ms才開始跟蹤位置信號;ANL-TD的速度檢測精度明顯高于NL-TD,NL-TD的速度波動范圍大約是ANL-TD的3倍。這說明,ANL-TD通過參數自適應調整克服了傳統跟蹤微分器在低速段誤差較大的缺點。此外,需要說明的是,圖中3.48～3.49 s數據不更新是由于FPGA傳遞數據時丟包造成的。綜上所述,實驗結果與理論分析和Simulink仿真結果一致。

5 結 論

本文設計了基于激光器陣列的光柵傳感器位置和速度檢測系統,利用非線性跟蹤微分器測量直線電機動子的運動位置和速度。針對傳統的非線性跟蹤微分器存在參數不能實時調整使得測量結果在低速時誤差較大,隨被測目標運動速度增大,信號延遲增大的缺點,提出基于自適應控制函數的自適應非線性跟蹤微分器,獲得了全程高精度低延時的直線電機動子位置跟蹤信號和速度信號,最后通過仿真和實驗驗證了本文位置和速度檢測系統的有效性。主要結論如下:

1)基于激光器陣列的光柵傳感器位置和速度檢測系統更加適合于長定子直線電機的結構,能夠較為簡便的重構動子的位置信號;

2)重構出的位置信號經過線性插值后作為輸入信號,進入NL-TD進行計算,得到電機平滑的動子位置跟蹤信號和速度信號;

3)ANL-TD的頻率特性類近似于二階帶通濾波器,在通頻帶內表現出良好的微分性能,且能夠有效抑制高頻噪聲。

4)相比于NL-TD,ANL-TD在動子加速、勻速和減速運動的全過程中都能快速跟蹤輸入信號并且更為準確地測量出動子的位置和速度。