考慮換乘站客流疏解的地鐵列車跳站與客流控制協同優化

王培恒，楊立興，李樹凱，高自友

(北京交通大學，交通運輸學院，北京 100044)

0 引言

地鐵具有運量大、準時、快捷的突出優勢，在大城市通勤客流運輸中發揮著主力作用。隨著客流出行需求的持續增長，目前國內各大城市的地鐵系統在早晚高峰時段普遍面臨客流量過飽和與車站擁擠的狀況。早高峰時段，客流從郊區乘車前往市區工作地點，造成市區部分換乘站站內聚集的客流難以及時疏解，換乘站的疏解能力甚至限制了部分線路的列車運能[1]。為此，地鐵多采用常態化客流控制措施，實時控制各車站進站客流量，以平衡一條線路上下游各站乘客等待時間、保障換乘站安全。

客流控制優化問題需要考慮線路、網絡和換乘站等多方面因素。Shi等[1]針對城市地鐵網絡，以最小化乘客在站等待時間和站臺安全風險為目標，構建了過飽和客流狀態下的客流協同控制優化模型，并以北京地鐵網絡驗證了模型降低站臺乘客等待時間和站臺安全風險的有效性。Meng 等[2]通過引入面向時刻表的時空網絡，構建客流控制整數規劃模型，模型目標函數使所有車站的乘客總等待時間最小化。Yuan 等[3]構建了一種協同考慮車站通過能力、站臺容納能力和列車運載能力的客流協同控制優化模型，并以北京地鐵網絡驗證了優化模型可使各列車載客量更加均衡。列車時刻表、開行方案、編組計劃等與客流控制協同優化也是重要的研究方向。盧亞菡等[4]針對沿線換乘站較多的城市地鐵主干線路，構建整數線性優化模型，協同優化主干線路的列車時刻表和客流控制方案，有效減少了乘客的換乘等待時間。Yin 等[5]提出混合整數線性規劃模型，對客流過飽和地鐵網絡進行客流控制和列車時刻表協同優化，以減少乘客在站等待時間，并設計自適應大鄰域搜索算法求解模型。Shi 等[6]對客流按OD進行精細化控制的基礎上，以減少乘客在站等待時間為目標，構建地鐵列車時刻表與客流控制協同優化模型，并設計求解模型的領域搜索算法，最后驗證了模型的協同優化效果。Hu等[7]提出整數線性優化模型，協同優化客流過飽和地鐵線路的時刻表、列車跳停模式和客流控制。周厚盛等[8]考慮復雜的客流時刻分布特征，構建城軌車底運用計劃和魯棒客流控制協同優化的兩階段隨機規劃模型，并驗證了模型在基本不增加乘客等待時間的前提下可大幅度降低列車運營成本。

總結相關研究文獻[1，4-5]可知，換乘站客流疏解是客流控制的重要內容。但既有列車跳站開行與客流控制協同優化的研究[7]，并未著重考慮換乘站。為此，本文首先說明部分列車不在換乘站停車的跳站開行方案，可延緩換乘客流乘車、減輕換乘站客流疏解壓力，從而加快其他乘客進站乘車、降低其出行延誤時間。在此基礎上，構建地鐵單線雙方向列車換乘站跳站開行與客流控制協同優化模型，極小化乘客在始發站等待延誤時間和換乘延誤時間，并對模型中的非線性公式進行近似線性替代，實現模型線性化，以方便求解。最后在實際運營案例中，驗證模型的優化效果。

1 問題描述

基于一條上下行兩個方向的地鐵線路研究列車換乘站跳站開行與客流控制協同優化問題。如圖1所示，所研究線路每個方向包含 ||S座車站，線路方向集合為F，其索引為f，f∈F。對每個方向的車站按順序編碼為1,2,…,||S。車站集合為Sf，i,j∈Sf是集合中的元素，即車站的索引。線路上被選取為列車可跳站開行的換乘站，屬于集合Pf，Pf∈Sf。線路上部分乘客需經換乘站換乘到虛線所表示的兩線路上，兩線路客流壓力較大，對換乘客流的疏解能力有限，制約著線路上列車的載客量。

圖1 途經換乘站的地鐵線路Fig.1 A subway line passing through transfer stations

1.1 列車跳站模式

圖2(a)和圖2(b)分別展示了圖1中所研究線路上所有列車站站停開行和部分列車在換乘站跳站開行時，換乘站內滯留客流量的增長過程。圖2(a)中，當滯留客流量超過換乘站站臺安全容量時，線路上列車必須限制載客量，避免過量換乘客流進入換乘站；圖2(b)中，當某時刻線路上某一方向列車在換乘站跳站、不帶來新增換乘客流時，換乘站內滯留客流量在客流疏解過程中出現下降。此時，客流控制可適當提高另一方向的列車載客量；同時，因跳站列車不增加換乘站內的滯留客流量，其載客量也可提高。由此可知，列車在換乘站跳站，具有提高線路上列車載客量，進而減少乘客延誤時間的重要意義。因此，本文列車跳站模式為列車僅在換乘站跳站。

圖2 換乘站內滯留客流量的增長過程Fig.2 Growth process of delayed passengers in a transfer station

1.2 等效運行圖

本文使用等效時間對列車運行圖進行簡化。列車在每個車站的等效時間定義為當前時間減去其運行偏移量，該偏移量對應于當前時刻與列車首站出發時刻之間的差值[9]。經等效時間調整后，得到圖3 中的等效運行圖，圖中列車運行軌跡是垂直于時間軸的直線，建模時只需考慮列車首站出發時刻。

圖3 等效運行圖Fig.3 Equivalent train diagram

1.3 基本假設

假設1 不允許列車越行，列車駛離每座車站的時刻不因跳站而改變。

假設2 列車跳站信息可通過互聯網、車站廣播和顯示屏及時發布，乘客充分掌握列車跳站信息。

假設3 客流控制和列車跳站不影響客流總量以及客流的到站時間。

假設4 乘客按照“先到先進”的原則進站，且不乘坐在其始發站或目的站跳站的列車。

假設5 換乘乘客的換乘走行時間為0。

1.4 參數和變量定義

表1 為建模所需數學符號及其含義。同一座換乘站，在線路的兩個方向編號可能并不一致，因而客流換乘過程中的相關變量均按照方向1 的編號進行設置。

表1 數學符號及定義Table 1 Mathematical symbols and definitions

2 跳站客流控制優化模型構建

線路的兩個方向獨立行車，建模過程中所涉及的約束一致。為簡化對模型的描述，以下文字部分不對線路方向進行專門說明，僅在模型約束、公式和目標函數中標注。

2.1 客流量守恒約束

在進站、乘車等過程中，均需要遵守客流量守恒。式(1)表示t時刻在車站i的進站乘客總量等于此刻各OD進站乘客數量之和，其中決策變量cfijt為非負整數。式(2)表示t時刻在車站i等待進站的OD為i→j乘客數量等于該OD乘客在t時刻的累積到站總量與累積進站總量之差。實際中，式(2)累積進站乘客總量不能超過累積到站乘客總量。式(3)表示t時刻在車站i等待進站的乘客總數等于此刻各OD等待進站乘客數量之和。式(4)表示t時刻在車站i站內等待的乘客總量等于各OD乘客在t時刻的累積進站總量與累積乘車總量之差。

2.2 乘客進站和乘車約束

在每個車站，不同目的地的乘客按到站時間先后順序混合在一起進站，式(5)按比例表示不同OD乘客的混合進站過程，即各OD的進站乘客占進站乘客總量的比例等于各OD 等待進站乘客占等待進站乘客總量的比例。由于約束中的比例關系均由變量表示，因而此約束是非線性的。式(6)要求i站每時刻進站乘客數量介于設置的下限值與上限值之間，以使模型所刻畫的客流控制方案符合運營實際。式(7)中表示i 站乘客的最長進站等待時間，該式要求t-時刻到站的乘客必須在t 時刻之前進站。式(8)中表示i 站乘客的最長進站等待時間，則該式要求t-時刻進站的乘客必須在t 時刻之前乘車。式(7)和式(8)分別保證了各站乘客在站外、站內等待時間的均衡性。

2.3 列車跳站約束

式(9)表示只在列車開行的時刻，才決策是否跳站。式(10)表示列車在所有未被選取為可跳站的車站均停車。站內乘客只會選擇乘坐在其始發站和目的站都經停的列車，由式(11)和式(12)實現。當就近的列車不在乘客始發站或目的站經停時，乘客不能及時乘車，暫時滯留在始發站站內，等待可乘坐的列車。式(13)表示相鄰兩列車不能在同一換乘站連續跳站。

2.4 車輛載客約束

在車乘客數量由乘客的上下車過程決定。式(14)計算了t時刻、在車站i上車的乘客總量。為進一步提升各站乘客乘車的公平性，式(15)保證列車通過時車站i的上車乘客數量不低于設置的下限值。式(16)表示t時刻在車站j下車的乘客，包括在j站之前所有車站上車，且以j站為目的站的乘客。

式(17)左側括號內第1項表示在i-1 站及其之前車站上車的乘客總數，第2 項表示在i站及其之前車站下車的乘客總數，那么兩項的差值表示i站的乘客未乘車時，列車在i站的載客量。式(17)表示列車經停車站i時，可用于此站站內乘客乘坐的剩余容量。式(18)表示已進站乘客的乘車過程不再受客流控制限制，只受列車剩余容量的限制，若站內等待上車的乘客總量不大于列車剩余容量，那么乘客可全部乘車。

2.5 換乘站客流疏解約束

當來自線路的換乘客流量超過換乘站疏解運力時，部分乘客需要在換乘站內等待。同一座換乘站，在線路的兩個方向編號可能并不一致，因而統一到方向1進行約束構建。式(19)表示滯留在換乘站i內的換乘客流量，等于累積到達的換乘客流量與該站對換乘客流的累積疏解量之差。右邊第1項、第2 項分別表示上下行方向累積到達車站i的換乘客流量，等于換乘客流所占比例與累積到達該站的客流量之積。為保障換乘站內安全，式(20)確保滯留在換乘站內的客流量不能超過安全上限值。

2.6 目標函數

模型的目的是減少站外、站內乘客的等待延誤時間和乘客換乘延誤時間。目標函數式(21)右邊各項分別對應上述3項的數值，其中，α1、α2、α3分別為所對應的權重系數。為使乘客及時進站乘車，應設置α1≥α2≥α3。

2.7 非線性整數規劃模型

基于上述論述，列車跳站開行和客流控制協同優化問題可表述為以下非線性整數規劃模型。

3 模型近似線性化處理

上述模型中的非線性公式(式(5))導致模型極難求解。為此本文提出近似線性替代式(5)的方法，以下進行詳細論證。首先對各站、各時刻乘客可能的最長進站等待時間劃分為若干組，并定義分組集合N={1,2,…,||N}，n是集合元素，n∈N。定義第n組最長進站等待時間為tn，且tn-1＜tn。如圖4所示，若某車站在某時刻的最長進站等待時間為tn，則乘客進站等待時間介于[0,tn]之間。此外，還需定義表2所示的參數和變量。

表2 用于線性化替代的數學符號Table 2 Mathematical notation for linearization substitution

圖4 客流控制時乘客進站等待時間Fig.4 Waiting time for passengers entering station under passenger flow control conditions

圖5 與取值特征Fig.5 Value characteristics of and

式(23)中，車站i、t時刻，最長進站等待時間為tn時，等待進站乘客數量等于t-tn到t之間到達的乘客數量之和；當t小于tn時，等待進站乘客數量等于1 和t之間到達的乘客數量之和。式(24)將所有OD 的等待進站乘客相加，得到車站i、t時刻、最長進站等待時間為tn時，等待進站乘客總量。因tn-1＜tn，所以

首先判斷實際等待進站乘客總量Wfit所處的范圍。

式(29)表示車站i、t時刻，最長進站等待時間為tn時，OD為i→j的等待進站乘客數量與該站在t時刻的等待進站乘客總量的比例。

4 數值實驗與結果分析

為檢驗優化模型的實際應用效果，選取北京地鐵5號線進行實例驗證。如圖6所示，5號線北起天通苑北站，南至宋家莊站，共23座車站。早高峰時段，下行方向天通苑北至惠新西街北口之間的8座車站，上行方向宋家莊至蒲黃榆之間的3座車站實施客流控制。線路上東單站為5號線和1號線之間的換乘站。因1號線本線客流量特別大，導致來自5 號線的客流不能及時換乘至1 號線列車上，造成站內客流擁擠[10]。東單站對客流的疏解能力制約著5 號線運能，線路列車容量為1800 人·列-1，但上行部分列車最高載客在1200 人以內，下行列車最高載客在1600人以內[1]。因而，選取東單站為列車可跳站的換乘站。

圖6 北京地鐵5號線示意圖Fig.6 Schematic diagram of Beijing subway line 5

動態客流量數據來自自動售檢票(AFC)系統2016 年某工作日歷史運營數據。東單站最大客流容量設置為1000人。下行首發站天通苑北站選取研究時間范圍為(7:16,7:30]，共計7 列列車，第1 列列車7:18駛離首發站，發車間隔2 min；上行首發站宋家莊站研究時間范圍為(7:50,8:04]，共計7 列列車，第1 列列車7:52 駛離首發站，發車間隔2 min。上下行列車到達東單站的時間均在8:08-8:20之間，之后東單站客流疏解能力提高，對5號線列車載客量的限制作用快速減弱。時間粒度0.5 min，列車容量為1800 人·列-1。出行乘客分為到達站外需進站的乘客和其他線路換乘而來的乘客，模型中首先均當作站外到達客流，并通過設置式(6)中參數使換乘而來的乘客到達之后立即進站，從而與實際相符。表3 列示了采取客流控制車站的乘客總量。乘坐上下行列車到達東單站的乘客中，換乘乘客占比分別設置為0.82 和0.78。對采取客流控制的車站，設置乘客在站外、站內等待時間均不超過4 min；對不采取客流控制的車站，因乘客到達之后可立即進站，因而設置乘客在站外等待時間為0 min，站內等待時間不超過4 min。

表3 乘客數據Table 3 Passenger data

設置進站等待時間范圍的劃分方式中，集合N中的元素數量 |N|=8，首個時間范圍的上限=0.5 min，相鄰時間范圍的間隔時長為0.5 min，第|N|個時間范圍的上限=4 min 。權重系數α1=1.0，α2=0.9，α3=0.8。數值實驗的個人計算機配置Intel Core i5 3.40 GHz CPU 和16 G RAM。CPLEX 12.6 求解器在31 min 內求得gap 為0 的最優結果。

優化后，上行方向乘客全部實現進站乘車；下行方向乘客尚有809人和533人分別滯留在站外和站內。圖7(a)和圖7(b)分別以實際運行圖和等效運行圖展示了優化模型所得列車跳站和客流控制方案。圖7(b)中，實心和空心圓點分別表示下行、上行方向列車在東單站跳站，矩形內的數字分別代表上下行方向因列車跳站而滯留在站內需經東單站換乘和將在該站出站的客流量(人)。通過圖7(a)和圖7(b)可知，上下行列車交替在東單站跳站，共7列列車跳站開行。相對于列車站站停和既有客流控制方案，優化模型可使上下行列車載客量增加2954 人；優化模型所得乘客進站等待延誤時間、換乘延誤時間分別為19372 min 和7961 min，相對于既有方案相應數值47151 min 和9581 min，分別降低了58.9%和16.9%。

圖7 優化后列車跳站與客流控制方案Fig.7 Train skip-stop and passenger flow control scheme obtained from model optimization

優化所得乘客站內等待時間為37931 min，既有控制方案則為28547 min。兩點原因導致優化后乘客站內等待時間增加。首先，優化后進站乘客數量增加，相應地增加了3572 min的乘客站內等待時間；其次，列車跳站導致圖7(b)中矩形內標注的每位乘客等待時間延長了2 min，總計增加了5812 min的站內等待時間。一般地，無論平峰時段還是高峰時段，乘客平均需要付出大約列車開行時間間隔1/2 的站內等待時間，其屬于乘客的必要等待時間，僅因列車跳站延長的乘客站內等待時間的5812 min 屬于延誤時間。優化后部分乘客需要在站內多等待2 min，因而列車跳站對乘客出行造成了一定程度的影響。

基于以上論述，延誤時間包括所有乘客的進站等待延誤時間，列車跳站導致的乘客站內延誤時間和換乘延誤時間。因而，優化后乘客總延誤時間為33145 min，相對于既有方案的相應數值56732 min，降低了41.6%。

表4 列示了優化前后上下行列車最大載客量。相對于列車站站停和既有客流控制方案，優化方案的上行方向所有列車、下行方向前5 列和第7列列車最大載客量增加，而下行方向第6列列車最大載客量減少。這一現象的出現，是因為增加列車載客量將相應增加進站的換乘客流量，但列車跳站所延遲乘車的換乘客流量是有限的，限制了列車載客量的進一步提高。為避免東單站站內滯留客流量超過安全容量，客流控制措施減少了下行方向第6列列車最大載客量。

表4 上下行方向列車最大載客量Table 4 Maximum passenger capacity of up and down trains

圖8(a)和圖8(b)分別展示了既有方案和優化方案所對應的換乘客流到達東單換乘站的過程。通過對比可知，優化方案延緩了換乘乘客到達東單站的時間，從而減少了滯留在東單站內的換乘客流量和乘客換乘延誤時間。

圖8 換乘客流到達東單站的過程Fig.8 Process of transit passengers arriving at DD station

5 結論

本文構建了地鐵線路列車跳站開行與客流控制協同優化模型，極小化乘客在始發站和換乘站的延誤時間，并以北京地鐵5號線早高峰為背景設計了數值實驗，實驗結果表明：

(1)相較于列車站站停開行和既有客流控制，優化所得方案在14 min 內使列車運載乘客增加了2954 人，并使乘客在站外延誤時間、換乘延誤時間和總延誤時間分別降低了58.9%、16.9%、41.6%。

(2)增加列車載客量將相應增加進站的換乘客流量，但列車跳站所延遲乘車的換乘客流量是有限的，限制了列車載客量的進一步提高。實際運營中，可在換乘站疏解壓力開始下降前，選擇少量列車在換乘站跳站開行，在實現最佳優化效果的同時，減輕對乘客出行的影響。