基于符號回歸的受彎破壞矩形RC剪力墻變形能力預測

馬 高, 王 瑤

(1. 湖南大學 土木工程學院,湖南 長沙 410082; 2. 工程結構損傷診斷湖南省重點實驗室(湖南大學), 湖南 長沙 410082)

0 引言

RC剪力墻作為一種常用的抗側力構件,在現代高層結構中得到了廣泛應用,現行規范大多基于承載力對剪力墻進行抗震設計。而WALLACE等[1]指出對于大多數剪力墻結構而言,這種設計方法并不經濟。MEDHEKAR等[2]指出在基于承載力的設計方法中,僅在設計結束后對位移予以檢查,缺乏對非彈性位移的關注。這可能導致剪力墻構件在較強的地震荷載下發生過大的變形,引起結構倒塌或導致結構的震后修復價值降低。針對基于承載力設計方法存在的缺陷,MEDHEKAR等[2]提出了基于位移的抗震設計理論。在基于位移的設計方法中,由于位移取代承載力成為設計過程中的控制目標,使得結構損傷得到控制,這一點在實際應用中得到了驗證[3]。

對于基于位移的設計方法,構件變形能力的計算尤為重要。我國抗震規范[4]雖然對剪力墻變形限值做出了規定,但并未給出剪力墻變形能力的計算公式。國內外不少學者基于試驗數據的回歸擬合得到了剪力墻變形的經驗或半經驗公式:錢稼茹等[5]基于集中塑性鉸模型與回歸分析得出受彎破壞剪力墻的極限位移角經驗公式;魯懿虬等[6]在考慮剪切位移對受彎破壞剪力墻總位移貢獻的基礎上,利用119個受彎破壞剪力墻試驗數據擬合了剪力墻極限位移計算公式;GRAMMATIKOU等[7]根據866個剪力墻試驗數據驗證并修正了BISKINIS等[8]基于回歸分析提出的RC構件極限位移角經驗公式。上述研究成果均是基于相關性分析和回歸分析,且大多是根據一定理論分析將設計參數多項式組合后再進行線性回歸。然而,由于線性回歸的局限性與剪力墻變形機理的復雜性,即便根據一定理論基礎將設計參數進行多項式組合,也很難完全分析出剪力墻極限位移與設計參數間的復雜關系。

這種機理復雜的非線性回歸問題適合采用機器學習方法進行分析。NGUYEN等[9]利用神經網絡建立了矮墻抗剪承載力預測模型,其精度高于現有的經驗公式。MANGALATHU等[10]利用機器學習技術對梁柱節點的抗剪承載力進行了預測。雖然機器學習模型具有較高的精度,而模型本身可解釋性較差是不能忽視的問題,造成設計人員難以從模型本身解釋設計參數對結構性能的影響。在此背景下,特征重要性與SHAP(SHapley Additive exPlanations, SHAP)法作為解釋工具開始獲得關注,如MANGALATHU等[11]利用特征重要性對剪力墻破壞模式分類模型進行了解釋;FENG等[12]根據SHAP量化評價了各個設計參數對剪力墻抗剪強度的影響。

雖然基于特征重要性和SHAP等解釋工具,機器學習模型可解釋性較差的問題得到了一定解決。但具有符號模型的經驗公式格式緊湊、可解釋性強,在制定設計規范與實際工程使用時具有很強的指導意義。KOZA[13]提出了基于符號回歸(symbolic regression,SR)的機器學習技術用于建立符號模型,該方法能夠在具備可解釋性、高泛化性的前提下建立具有較高精度的非線性符號模型。DAVIDSON等[14]在符號回歸的基礎上引入最小二乘法,增強了算法在搜尋符號模型中常數項最優解的能力。由于現有的符號回歸分析一般基于遺傳算法,該算法在處理高維數據時無法進行針對性的特征數量放縮,導致符號回歸在處理高維數據時效果不佳,往往會陷入局部最優。因此,本文運用SHAP進行特征選擇,剔除不重要的特征參數以降低數據維度。

基于上述研究背景,本文基于符號回歸方法建立了矩形RC剪力墻的極限位移計算公式。首先收集了119個彎曲破壞矩形RC剪力墻實驗數據用以進行模型的訓練與測試。然后,訓練機器學習模型以計算各個特征參數的SHAP值,根據SHAP值進行特征選擇。將篩選后的特征參數進行符號回歸,建立了矩形RC剪力墻的極限位移計算公式,并與現有文獻模型進行對比分析。

1 剪力墻數據庫介紹

本文從文獻[7,15-26]篩選了119個發生彎曲破壞的矩形RC剪力墻試驗數據,所篩選的剪力墻均為矩形RC剪力墻,帶暗柱構造,不包含腹板配置鋼板、抗剪件、交叉斜筋等改進措施的RC剪力墻。

用于極限位移預測的特征參數為:墻高H、剪跨比λ、高厚比H/tw、軸壓比n、墻體豎向分布筋配筋特征值ρwvfy,wv/fc、墻體水平分布筋配筋特征值ρwhfy,wh/fc、暗柱縱筋配筋特征值ρcvfy,cv/fc、暗柱箍筋配筋特征值ρchfy,ch/fc,各參數具體分布如圖1所示。其中,n=P/(bhwfc),P為軸壓力,b為墻體截面寬度,hw為墻體截面高度,fc為混凝土圓柱體抗壓強度;ρwv為腹板豎向分布筋配筋率;ρwh為腹板水平分布筋配筋率;ρcv為暗柱縱筋配筋率;ρch為暗柱箍筋體積配筋率;fy,wv為腹板豎向分布筋屈服強度;fy,wh為腹板水平分布筋屈服強度;fy,cv為暗柱縱筋屈服強度;fy,ch為暗柱箍筋屈服強度;Δu為剪力墻承載力下降到峰值80%時的位移。

圖1 參數分布直方圖Fig. 1 Distribution histogram of parameters

2 機器學習預測結果與分析

2.1 模型的訓練與結果

本文選用了支持向量機(surpport vector machine,SVM)[27]、決策樹(decision tree,DT)[28]、神經網絡(artificial neural network,ANN)[29]、隨機森林(random forest,RF)[30]、XGBoost[31]等多種機器學習模型對矩形RC剪力墻的極限位移進行了回歸預測。受篇幅所限,對所使用模型的算法原理不做贅述。

數據庫中數據按7∶3的比例隨機劃分為訓練集和測試集,訓練集用于建立預測模型,測試集用于檢驗模型的預測性能。本文采用決定系數(R2)、均方根誤差(root mean square error,RMSE)、平均絕對差(mean absolute error,MAE)、平均百分比誤差(mean absolute percentage error,MAPE)衡量模型預測的準確性,各指標定義如下:

(1)

(2)

(3)

(4)

此外,在進行初步訓練時,模型出現了不同程度的過擬合現象。對于過擬合,一般解決方法有:交叉驗證[32]、正則化和增加訓練數據[33]。由于目前公開的試驗數據有限,本文首先主要考慮使用10折交叉驗證來確定模型的超參數并限制模型的過擬合的現象,模型訓練流程示意圖如圖2所示。經交叉驗證之后,多數模型的過擬合現象得到了有效控制,但XGBoost的過擬合現象仍然存在,故對其進行了正則化處理并限制其采樣率,有效降低了過擬合程度。

圖2 模型訓練流程示意圖Fig. 2 Schematic diagram of model training

預測模型在訓練集與測試集中的表現如圖3與表1所示。從各模型的預測結果來看,XGBoost的預測效果最好,模型在訓練集、測試集中均有較高的R2,RMSE、MAE和MAPE也處于較低的水平,預測值與試驗值基本吻合,離散性較低;SVM、ANN、DT這幾種基礎模型的預測效果要弱于RF、XGBoost這種集成學習模型的預測效果。

表1 模型性能指標Table 1 Performance indexes of models

圖3 模型預測結果Fig. 3 Prediction results of models

2.2 基于SHAP的模型解釋與特征選擇

本文采用LUNDBERG等[34]提出的SHAP方法進行模型解釋。SHAP基于博弈論建立了一套計算各個特征參數Shapley值的方法,以量化各個特征參數在模型中的重要性。此外,SHAP還可以分析各個特征參數對單個樣本的影響。本文應用SHAP對2.1節中預測效果最好的XGBoost模型進行了相應分析,其結果如圖4所示。

圖4 XGBoost模型SHAP分析結果Fig. 4 Analysis results of XGBoost model with SHAP analysis results

根據SHAP分析結果可得出如下結論:

1)由圖4(a)可知,彎曲破壞矩形RC剪力墻極限位移的主要影響參數為:墻高H(mm)、剪跨比λ、軸壓比n、暗柱縱筋配筋特征值ρcvfy,cv/fc、暗柱箍筋配筋特征值ρchhfy,ch/fc。而高厚比H/tw、墻體豎向分布筋配筋特征值ρwvfy,wv/fc、墻體水平分布筋配筋特征值ρwhfy,wh/fc影響較小。

2)暗柱縱筋配筋特征值ρcvfy,cv/fc與暗柱箍筋配筋特征值ρchfy,ch/fc越高,其SHAP值越高,對剪力墻極限位移有積極影響?？紤]到彎曲破壞剪力墻破壞特征一般表現為受壓區混凝土壓潰或縱筋拉斷,這是由于暗柱配箍的增加能加強對暗柱混凝土的約束,暗柱縱筋配筋的增加能延緩暗柱縱筋的拉斷。

3)墻體豎向分布筋配筋特征值ρwvfy,wv/fc、墻體水平分布筋配筋特征值ρwhfy,wh/fc的SHAP值較低,腹板分布筋對于彎曲破壞剪力墻的變形能力影響較小。結合彎曲破壞剪力墻的破壞形態,破壞區域一般集中在暗柱區與塑性鉸區。這說明對于彎曲破壞剪力墻,加強腹板分布筋配筋率并不能有效提高其變形能力。

4)軸壓比n越高,其SHAP值越低,其對剪力墻極限位移有不利影響。這是因為隨著軸壓比n的增加,截面受壓區高度也隨之增加,導致剪力墻變形能力下降。剪跨比λ越高,其SHAP值越高,其對剪力墻極限位移有積極影響。

根據SHAP分析結果,用于符號回歸的特征參數為:墻高H(mm)、剪跨比λ、軸壓比n、暗柱縱筋配筋特征值ρcvfy,cv/fc、暗柱箍筋配筋特征值ρchfy,ch/fc。

3 符號回歸分析

3.1 方法簡介

符號回歸是由KOZA[13]提出的一種基于遺傳算法的回歸方法,用于建立參數間的符號模型,同時盡可能減小誤差指標。DAVIDSON等[35]在KOZA[13]的基礎上引入了最小二乘法,以增強算法搜索符號模型中常數項的能力。其中,符號模型是指字母與運算符表示的函數表達式。符號回歸不同于常見的回歸方法,其并不需要預先設定回歸公式的形式,而是通過遺傳算法的選擇、交叉、變異等步驟,以建立回歸模型。本文選取RMSE作為適應度函數的評價標準,適應度函數表現最佳的公式樹將進行交叉、變異組成新的子代,其過程包括:①隨機生成初始表達式,建立初始種群;②基于適應度函數表現選擇部分表達式進行交叉、變異,創造新的子代種群;③當迭代至設定代數時,終止程序,輸出適應度函數最優的表達式。程序中的交叉、變異過程示意圖如圖5所示。

圖5 程序內部交叉、變異操作示意圖Fig. 5 Schematic diagram of internal crossover and mutation operation of the program

3.2 訓練過程與結果分析

將2.2節中篩選過后的特征參數用于符號回歸。與2.1節類似,將數據集按7∶3的比例劃分為訓練集與測試集,將訓練集與測試集上的模型性能表現進行對比以驗證其泛化能力與可靠性。在選擇最終的最優表達式時,主要考量如下因素:①性能指標,即R2、RMSE、MAE、MAPE;②公式復雜程度,一般以公式樹的長度衡量;③量綱平衡?；谏鲜鲈瓌t,本文得到的剪力墻極限位移計算公式為:

(5)

其在訓練集與測試集上的表現如圖6與表2所示。從符號回歸模型的形式來看,其滿足量綱平衡原則,公式形式也較為簡潔。模型在訓練集、測試集、整體數據集上均有較高的R2,且其R2與RMSE評價指標均比較接近,證明其泛化性能較好。

圖6 符號回歸模型預測結果Fig. 6 Prediction results of symbolic regression model表2 符號回歸模型性能指標Table 2 Performance indexes of symbolic regression model數據集R2RMSEMAEMAPE訓練集0.7114.2210.8437.88測試集0.7213.149.7828.46整體數據集0.7213.810.5135.02

3.3 參數分析

為直觀分析各特征參數在符號回歸模型中對剪力墻極限位移的影響,本文對其進行參數分析。對某個參數進行參數分析時,其余特征參數取其在數據集中的平均值。同時,為對比符號模型與一般機器學習模型間的差異,將本文3.1節的XGBoost模型參數分析結果與符號回歸模型進行對比。

由圖7可知,在符號回歸模型與XGBoost模型中,各個參數對剪力墻極限位移的影響趨勢比較接近。墻高H、剪跨比λ、暗柱縱筋配筋特征值ρcvfy,cv/fc、暗柱箍筋配筋特征值ρchfy,ch/fc對剪力墻極限位移有積極影響,軸壓比n對對剪力墻極限位移有負面影響,分析結論與2.2節SHAP分析結果基本一致。然而符號回歸模型與XGBoost模型在部分參數的部分區間上存在較大差異,例如對于墻高H兩者在[0,900]區間差異較大。從評價指標上看,XGBoost模型精度高于符號回歸模型,但從實際物理意義角度考量,XGBoost模型結果沒有符號回歸模型合乎實際。因為在其他參數不變的情況下,Δu應隨著H的減小而減小,且當H趨近于0時Δu也應趨近于0。結合數據庫中參數分布分析,這可能是因為數據集中H的范圍為[900,4572],導致XGBoost模型在[0,900]區間上的精度不足。這也驗證了符號回歸模型的泛化性能要比XGBoost模型高,可解釋性更強。

3.4 與現有模型的性能對比

為驗證符號回歸模型的預測能力,本文選用已有文獻中較為典型的計算模型進行對比分析。

1)錢稼茹等[5]模型

(6)

式中:θu為極限位移角;ξ為截面相對受壓區高度;λ剪跨比。

2)魯懿虬等[6]模型

(7)

εcu=260ρε1+ε0.85

(8)

ε1=εc0[1+5(fcc/fc0-1)]

(9)

lp=0.2hw+0.044Hw

(10)

(11)

式中:η為軸壓比系數,當0≤n≤0.1時,η=1;當n>0.1時,η=5n2+0.95;ξ為截面相對受壓區高度;λ為剪跨比;εcu為約束混凝土極限壓應變;ρ=∑Asc/[s(bcx+bcy)],Asc為約束區箍筋2個方向的總面積;s為箍筋間距;bcx、bcy分別為箍筋約束區2個方向的長度;ε1為約束混凝土峰值應變,εc0取0.002;fcc為約束混凝土峰值應力;fc0為普通混凝土峰值應力;lp為塑性鉸長度;hw為截面高度即剪力墻寬度;Hw為墻高;Δs為剪力墻剪切位移;Δf為剪力墻彎曲位移;εm為截面中部應變;φ為剪力墻底部曲率可由平截面假定計算。

3)GRAMMATIKOU等[7]模型

(12)

(13)

(14)

式中:ast取0.0158,aw,r取5/8,aw,nr取1;w為受拉鋼筋配筋特征值與腹板縱筋配筋特征值之和;w′為受壓鋼筋配筋特征值;ρd為斜筋配筋率;a為約束區有效因子;sh為箍筋間距;bo、ho為約束區2個方向的長度;bi為約束區縱筋間距。

4)WALLACE等[36]模型

(15)

5)ACI 318-19[37]規范

(16)

式中:c為受壓區高度;l為剪力墻寬度。

6)ALLOUZI等[38]模型

(17)

(18)

式中:λ為剪跨比;Vmax為抗剪承載力;Kw為剪力墻初始剛度;Kfl為抗彎剛度;Ksh為抗剪剛度。

7)DEGER等[39]模型

(19)

式中:ρcv為暗柱縱筋配筋率,單位為%;bo為暗柱厚度;tw為腹板厚度。

表3與圖8為式(5)與各經驗公式在本文測試集上的對比結果。其中Δu_exp為剪力墻極限位移的試驗值;Δu_pre為剪力墻極限位移的預測值;Cv為Δu_exp/Δu_pre的變異系數。從對比結果來看,本文提出的模型具有更高的精度,(Δu_exp/Δu_pre)mean接近1,且離散性較低,變異系數為0.32。用于比較的經驗模型R2均小于本文模型,預測效果較差。

表3 符號回歸模型與各經驗公式間的預測性能對比Table 3 Comparison of prediction performance between symbolic regression model and empirical formulas

圖8 各模型計算值與試驗值對比Fig. 8 Comparison between calculated values and test values of each model

在文獻模型中,ALLOUZI等[38]模型具有最高的R2,(Δu_exp/Δu_pre)mean為1.23,計算結果較為保守,變異系數較大(Cv=0.42)。DEGER等[39]模型預測效果最差,(Δu_exp/Δu_pre)mean為0.51,計算結果顯著偏大。被歐洲規范采用的GRAMMATIKOU等[7]模型預測效果較美國規范ACI 318-19規范[37]更好,ACI 318-19規范[37]計算結果偏于保守。

4 結論

基于已有的試驗數據,建立了一個含有119個彎曲破壞矩形RC剪力墻的試驗數據庫,提出了基于符號回歸預測彎曲破壞矩形RC剪力墻變形能力的方法。該方法首先基于數據庫訓練多個機器學習模型,通過SHAP法對機器學習模型進行解釋與分析,并基于SHAP值對特征參數進行篩選?；诤Y選后的特征參數進行符號回歸分析,提出了彎曲破壞矩形RC剪力墻極限位移計算公式。主要結論如下:

1)彎曲破壞矩形RC剪力墻的極限位移主要由以下參數控制:墻高H、剪跨比λ、軸壓比n、暗柱縱筋配筋特征值ρcvfy,cv/fc、暗柱箍筋配筋特征值ρchfy,ch/fc。高厚比H/tw、墻體豎向分布筋配筋特征值ρwvfy,wv/fc、墻體水平分布筋配筋特征值ρwhfy,wh/fc對極限位移的影響較小。

2)符號回歸模型與XGBoost模型中,各個參數對剪力墻極限位移的影響趨勢比較接近。但由于所使用數據集區間限制,XGBoost在[0,900]區間內的預測結果與實際情況不符,而符號回歸模型在此區間的預測結果更合乎實際,符號回歸模型較XGBoost模型具有更好的泛化性能。

3)與已有的經驗模型對比,本文提出的符號回歸模型具有最佳的預測精度與最低的離散程度。這是因為已有的經驗模型大多利用線性回歸結合一定力學模型的方法建立模型,對非線性關系預測效果較差,而符號回歸模型對非線性關系具有更強的預測效果。