概率語言術語集距離測度的改進及其應用

劉孟宇, 王惠文

( 云南師范大學 數學學院, 昆明 650500 )

0 引言

為了更好地通過定性的方式來描述實際生活中不能被定量表示的問題,1975年Zadeh[1]提出了模糊語言方法.由于模糊語言方法只能利用一個語言術語來評估語言變量,因此當決策者面臨具有高度不確定性的問題時,該方法存在較大的局限性.基于此,2011年Rodriguez等[2]提出了猶豫模糊語言術語集(HFLTS)的概念.由于該概念將猶豫模糊集[3]和模糊語言方法相結合,允許決策者使用多個語言術語同時評估語言變量,因此其很好地彌補了模糊語言方法的缺陷;但由于HFLTS將決策者給出的每個語言術語賦予了相等的權重,因而其決策結果存在一定的偏差.為了解決HFLTS存在的這一缺陷,2016年Pang等[4]提出了概率語言術語集(PLTS)的概念.由于PLTS允許決策者將每個語言術語賦予不同的權重,因此使用PLTS可以獲得更為準確的決策結果.

近年來,學者們已對直覺模糊集、猶豫模糊集以及區間模糊集等的距離測度進行了較多研究,但對PLTSs距離測度的研究相對較少.目前,對PLTSs距離測度進行研究的文獻主要有:2016年,Pang等[4]給出了PLTSs偏差度的定義;同年,Zhang等[5]給出了概率語言術語集距離測度的定義;2019年,Mao等[6]基于PLTSs偏差度定義了一種新的PLTSs歐氏距離,但是該距離測度公式的計算精度需進一步提高.基于上述研究,本文定義了一種新的PLTSs距離測度,并通過實例驗證了該距離測度的有效性.

1 基礎知識

1.1 猶豫模糊語言術語集(HFLTS)

定義1[1]設τ是一個正偶數,則LTS可表示為:

S={si|i= 0,1,…,τ}.

(1)

由式(1)可以看出,LTS是一個由固定數量的語言術語組成的有限參考集,其中,τ+1是S的基數,si(i=0,1,…,τ)是語言術語,并且si(i= 0,1,…,τ)通常以下標為基準進行升序排列.

例1給定τ=6,則LTS可表示為如下形式:

S={s0=極其慢,s1=非常慢,s2=慢,s3=中速,s4=快,s5=非?？?s6=極其快}.

定義2[2]若S={si|i= 0,1,…,τ}是給定的LTS,則HFLTS是S上的連續語言項的有序子集.

1.2 概率語言術語集(PLTS)

定義3[4]設S={si|i= 0,1,…,τ}是一個給定的LTS,則稱定義在S上的PLTS為:

(2)

其中:L(k)(p(k))是概率語言術語元(PLTE),L(k)(k=1,2,…,#L(p))是L(p)上的可能的語言術語,p(k)∈(0,1](k=1,2,…,#L(p))是與L(k)(k=1,2,…,#L(p))相對應的概率信息,#L(p)是L(p)中的元素個數.在下文中,僅考慮標準化的PLTS,即僅考慮概率語言術語元的概率之和等于1的情況.

2 概率語言術語集的距離測度

定義4[7]L1(p)和L2(p)是任意兩個PLTSs,定義它們之間的距離測度為d(L1(p),L2(p)),且d(L1(p),L2(p))滿足以下3個性質:①d(L1(p),L2(p))≥0;②若L1(p)=L2(p),則d(L1(p),L2(p))= 0;③d(L1(p),L2(p))=d(L2(p),L1(p)).

2.1 傳統PLTSs的距離測度

(3)

2.2 新的PLTSs的距離測度

(4)

其中:ω(ω∈(0,1))是權重參數.

定理1定義6中的距離公式滿足定義4中給出的PLTSs距離測度的3個公理性條件.

證明本文以標準化的漢明距離為例(λ=1)證明式(4)滿足定義4中的3個公理性條件.

1)非負性顯然成立.

2)因當L1(p)=L2(p)時,#L1(p)=#L2(p),所以顯然有:

3)由

顯然知有dgnd(L1(p),L2(p))=dgnd(L2(p),L1(p)),故對稱性成立.綜上,定理1得證.

由于s0.5τ是最模糊的語言術語,因此本文將定義6中的L1(p)與s0.5τ之間的偏離程度作為模糊性的參考.由此得到的L1(p)與{s0.5τ(1)}之間的漢明距離為:

將上式代入模糊熵生成函數(f(x)=1-2x)[9]中可得概率語言術語集的熵測度公式:

E(L1(p))=1-2dnhd(L1(p),{s0.5τ(1)})=

(5)

由式(5)中的模糊熵可知,其與文獻[10]中的混合熵的形式完全一樣;但本文定義的熵測度更為簡單,即不用再將基于距離的熵測度和基于偽距離的熵測度進行凸組合.以下舉例說明本文提出的距離測度的合理性和有效性.

例3L1(p)={s3(1)}、L2(p)={s5(0.2),s7(0.8)}、L3(p)={s1(0.2),s6(0.4),s8(0.4)}、L4(p)={s3(0.6),s7(0.4)}是定義在S={si|i= 0,1,…,10}上的PLTSs,請計算它們兩兩之間的漢明距離.

L1(p)={s3(0.2),s3(0.4),s3(0.4)};L2(p)={s5(0.2),s7(0.4),s7(0.4)};

L3(p)={s1(0.2),s6(0.4),s8(0.4)};L4(p)={s3(0.2),s3(0.4),s7(0.4)}.

由上式計算得:dnhd(L1(p),L2(p))= 0.36,dnhd(L1(p),L3(p))= 0.36,dnhd(L1(p),L4(p))= 0.16,dnhd(L2(p),L3(p))= 0.16,dnhd(L2(p),L4(p))= 0.20,dnhd(L3(p),L4(p))= 0.20.由以上結果可以看出,利用上述公式計算任意兩個PLTSs之間的距離時具有一定的缺陷性,即有時難以準確區分出任意兩個概率語言術語集之間的距離.

方法2利用定義6中的距離公式計算例3.將公式中的λ和ω分別設為1、1/2,于是由此直接進行計算得:dnhd(L1(p),L2(p))=0.36,dnhd(L1(p),L3(p))=0.32,dnhd(L1(p),L4(p))=0.16,dnhd(L2(p),L3(p))= 0.144,dnhd(L2(p),L4(p))= 0.216,dnhd(L3(p),L4(p))= 0.208.由上述結果可以看出,定義6中的距離測度能有效克服文獻[10]中距離測度所存在的不足.

3 實際應用

為了證實本文提出的距離公式的合理性和有效性,本文采用TOPSIS方法對文獻[11]中的例子進行分析.該實例解決的是可信網絡社團擴張的問題,即:在新節點{x1,x2,x3,x4}中選擇出最優的一個節點加入社團.對新節點進行綜合評判的屬性標準為態度、行為、意志、誠信、責任,其中屬性評價的語言術語集為S={s0,s1,s2,s3,s4}.專家基于各個標準對每個節點進行評價的結果見表1.

表1 概率語言決策矩陣

步驟1根據專家提供的決策信息構造決策矩陣,結果如表1所示.

步驟2 確定PLTSs的正、負理想解[12].

由以上可得PLTSs的正、負理想解分別為:x+=(s4(1),s4(1),s4(1),s4(1),s4(1)),x-=(s1(1),s1(1),s2(1),s1(1),s2(1)).

步驟3 確定各個屬性的權重.首先在式(5)中分別取ω為0.1、0.2、…、0.9來計算表1中的各PLTSs的熵測度.計算結果顯示,利用不同ω值計算得到的熵測度幾乎相同,因此本文在此取ω= 0.5對PLTSs進行計算,所得結果為:

步驟4 計算各個備選方案與正、負理想解之間的加權距離,其計算公式為:

dnhd(xi,x+)=ω1dnhd(Li1(p),L1(p)+)+ω2dnhd(Li2(p),L2(p)+)+…+

ωndnhd(Lin(p),Ln(p)+).

(6)

dnhd(xi,x-)=ω1dnhd(Li1(p),L1(p)-)+ω2dnhd(Li2(p),L2(p)-)+…+

ωndnhd(Lin(p),Ln(p)-).

(7)

利用式(6)和式(7)計算得:dnhd(x1,x+)= 0.3605641,dnhd(x2,x+)= 0.1851517,dnhd(x3,x+)=0.3102368,dnhd(x4,x+)= 0.2103486;dnhd(x1,x-)= 0.2856572,dnhd(x2,x-)= 0.4610697,dnhd(x3,x+)= 0.3359845,dnhd(x4,x-)= 0.4358727.

步驟6 根據CI(xi)值的大小進行方案排序.排序結果為x2?x4?x3?x1.

由排序結果可知,最優節點為x2,并且該排序結果與文獻[11]的排序結果完全一致,由此表明基于改進距離測度的TOPSIS決策方法是可行的.

4 比較分析

為了進一步驗證本文方法的可行性,將本文方法與文獻[4]中提出的基于距離測度的TOPSIS方法進行比較分析(仍以文獻[11]中例題為例),具體步驟如下:

步驟1 規范化表1中的數據,結果如表2所示.

表2 規范化后的概率語言決策矩陣

步驟2 確定各個屬性的權重.為了便于比較分析,將各個屬性權重的取值與上述步驟3中的權重取值保持一致,即仍取:ω1= 0.1554,ω2= 0.2001,ω3= 0.1597,ω4= 0.2294,ω5= 0.2554.

x+=({s2,s1.5,s0.88},{s2.34,s1,s0.46},{s3,s0.88,s0},{s4,s0.78,s0.44},{s3,s1.5,s0.44}),

x-=({s1.04,s0.22,s0},{s1.5,s0.52,s0},{s2,s0,s0},{s1.08,s0,s0},{s2,s0,s0}).

步驟4 計算各個備選方案和正、負理想解之間的偏離度.計算公式為:

由上式可得:d(x1,x+)=0.88,d(x2,x+)=0.56,d(x3,x+)=0.73,d(x4,x+)=0.66,d(x1,x-)= 0.46,d(x2,x-)= 0.78,d(x3,x-)= 0.65,d(x4,x-)= 0.65.

步驟6 根據CI(xi)的值對方案進行排序.排序結果為:x2?x4?x3?x1.

由以上結果可知,利用本文方法得到的最優節點x2不僅與第3部分中所得的最優節點完全一致,而且與文獻[4]中的方法(基于傳統距離測度的TOPSIS方法)所獲得的結果也完全一致.該結果說明,本文提出的基于改進距離測度的TOPSIS方法不僅能有效保留原始的概率語言信息,而且還可有效提高排序的準確度;因此,該方法可為解決模糊多屬性決策問題的排序方案提供良好參考.