策略委托下古諾雙寡頭博弈的動力學行為

吳怡曉，褚衍東

（蘭州交通大學 數理學院，甘肅 蘭州 730070）

傳統的雙寡頭博弈主要集中于靜態均衡和純策略，而靜態均衡分析將會喪失大量有用信息。1978年，Rand最先研究了動態寡頭博弈，使得寡頭博弈隨著非線性理論的不斷發展及廣泛應用，從靜態分析上升為動態分析。Elsadany A A[1]引入一個具有外部效應的成本函數，基于相對利潤最大化問題討論了系統平衡點的穩定性，給出了系統通向混沌的兩條路徑。Peter H和Michael K[2]研究了在產品存在差異化的情況下，代理人在數量與價格之間選擇價格競爭時，企業的利潤以及消費者剩余會更高。Domenico D G 和Fabio L[3]研究了靜態博弈中，等彈性需求及策略委托下，從長遠來看，當兩家企業提供混合激勵合同時，企業將實現福利最大化。鐘德強和仲偉俊[4]采用二階段的博弈模型，研究了異質產品的Bertrand 競爭中，委托代理將會使企業間的競爭程度減小，增加企業利潤，同時會使得企業的兼并動力增強，且產品的差異化程度越大，兼并企業采取的激勵機制會越有效。唐要家和唐春暉[5]運用兩期靜態博弈模型，證明了企業策略對經營者的激勵作用十分重要，且當今企業制度的演化是市場競爭策略和企業內部激勵效應間相互權衡的結果。

利潤最大化是企業發展過程中追求的目標，在相同的行業間，企業在追求自身利益最大化的同時更希望能比競爭者獲得更多的利潤，即實現相對利潤最大化。因這種情況更加符合現實，因此，更多的學者將這一因素加入研究的對象中。Satoh A 和Tanaka Y[6]研究了Bertrand 競爭下，基于凸成本函數及同質商品的絕對與相對利潤加權和的最大化問題，研究表明相對利潤的權重與均衡價格的區間成反比。Li H 等[7]通過建立有研發溢出效應的動態模型，研究研發溢出參數對于企業的利潤與相對利潤的影響，給出系統通向混沌的兩條路徑，以及利用吸引盆分析了系統的多穩態行為。Huang Y M[8]等基于相對利潤最大化建立混合雙寡頭博弈模型，以調整速度和產品差異化程度為對象，分析系統的復雜性和全局性質。

動態博弈模型中，系統隨時間推移的過程中會產生非常復雜的動力學現象，因此一些學者利用分岔、分形以及混沌等非線性動力學的理論來解釋經濟系統的復雜性。Bischi G I[9]在研究中發現吸引盆具有相當復雜的結構，同時，證明了多穩態行為即吸引子共存，這種現象的產生與博弈之始的歷史選擇有關，即路徑依賴。Liu Y X 等[10]建立了等彈性需求和委托代理下的Cournot雙寡頭博弈模型，研究了彈性系數對于系統的影響，并討論在其他參數的影響下，系統的兩種全局分岔行為。Zhu Y L等[11]建立了Cournot-Bertrand 混合博弈模型，主要利用二維分岔圖對穩定區和穩定性條件進行分析，并討論吸引盆的拓撲結構以及吸引盆中洞的形成原因。Elsadany A A[12]建立了異質商品下的Kopel 博弈模型，對其中的復雜動力學行為進行了研究，并對系統施加了控制以延遲混沌現象的產生。

雖然大量研究者將Couront博弈模型進行變形，但現有文獻中基于策略委托的模型中大多是靜態的，且只對靜態模型的Nash 均衡點進行理論分析，因此其中產生的豐富動力學現象將會因為靜態博弈模型而被掩蓋。因此本文基于策略委托和相對利潤，建立動態Cournot 博弈模型，用數值模擬的方法結合非線性動力學理論，來研究模型中的不同參數對系統動力學行為的影響。

1 模型建立

假設兩家企業分別為企業1 和企業2。qi(i=1,2)表示第i家公司的產量?？紤]一個有預算約束的消費者效用函數

消費者預算約束條件為

其中a表示市場需求規模，c為邊際成本，本文考慮兩家企業具有相同的邊際成本。b表示兩家公司所生產產品的差異化程度，b∈[0,1]，b越趨近1，則產品的差異化程度越小，b越趨近0，則產品的差異化程度越大。M表示消費者在該產品上的預算。通過求解具有約束條件的極大值問題，可得兩家企業的逆需求函數為

考慮一個反映外部性的相互依賴的成本函數[1]

其中di(i=1,2) 是反映外部性的一個參數。為更好地解釋di的意義，令bi=b+di(i=1,2)[1]，bi亦代表產品的差異化程度，其中bi∈[0,1]，bi∈(0,1) 時，兩家企業生產的產品是不完美的替代品，而當bi=1 時，兩家企業生產的產品完全可以互相替代。如果bi=0，那么q1和q2往往是獨立的，在這種情況下，每個參與者都表現為壟斷者。

由以上假設可知企業i的利潤為

為提高公司的運行效率，本文考慮兩家企業均雇傭專業的代理人來管理公司，且企業主均與各自的代理人簽訂一份利潤與收入的激勵合同，以此來要求代理人在公司利潤與自身利潤之間做出權衡。則在此合同下，代理人i的目標函數為

其中αi表示企業i目標函數的利潤權重系數，且滿足αi∈[0,1] 。αi越趨近1，表示企業的代理人越將公司的利潤最大化作為目標，相反，越趨近0，表示代理人越追求自身利益最大化。除此之外，在實際市場環境中，追求相對利潤最大化比追求自身的絕對利潤最大化更加符合人性[1]，因為兩家寡頭中的任何一方都希望自己在競爭過程中完勝對方。從而，每家企業代理人的相對利潤Mi(i=1,2) 可以看成是其自身的目標函數mi(i=1,2) 與其競爭對手的目標函數mj(i=1,2)且i≠j之差。因此企業代理人i的相對利潤Mi的表達式為

則企業代理人i的邊際相對利潤為

由于競爭過程中參與者不會將信息完全公之于眾，因此競爭對手不可能完全知曉市場及其他競爭者的信息，因此假設兩家企業的管理者都是有限理性的，即管理者會根據t時期的邊際目標來調整t+1 時期的產量，即，企業i在t+1 時期的產量增加；，企業i在t+1 時期的產量減小。則

其中vi表示企業i對其產量的調整速度（vi＞0）。

將式（8）帶入式（9）可得二維動態博弈模型式（10）。

2 均衡點的局部穩定性分析

為簡化計算，令

在模型（10）中，令qi(t+1)=qi(t)，求得模型的四個均衡點分別為

當A1＞0，A2＞0，2A1-A2B＞0，2A2+A1B＞0 時，上述均衡點才有意義。

E1是系統的平凡均衡點，這意味著兩家企業都破產并退出市場；E2、E3是系統的邊界均衡點，邊界均衡點意味著一方企業破產，另一方成為市場上唯一的寡頭壟斷者，即整個市場被一家企業壟斷。兩家企業在達到Nash均衡狀態時，并不意味著此后的市場狀態將平靜如水，因為Nash均衡點只是局部穩定的，因此均衡態是短暫的，如果任何一家企業做出微小的策略調整，Nash 均衡點的穩定性將發生改變，系統可能隨之產生復雜的動力學現象。因為，因此E4為系統唯一的Nash 均衡點。

系統在任意一點()q1,q2處的Jacobian矩陣為

命題1E1是一個不穩定的結點。

證明：將E1帶入式（12），得到系統Jacobian矩陣

很明顯，矩陣J(E1)是一個對角矩陣，對應的特征值由對角項給出，λ1=1+v1A1，λ2=1+v2A2，由調節速度v1、v2和輔助變量A1、A2的非負性可知，λ1＞1，λ2＞1。因此，E1是一個不穩定的結點。

顯然λ2＜1。

命題3（1）當0 ＜A1v1＜2 時，E3是一個鞍點。

（2）當A1v1＞2 時，E3是一個不穩定的結點。

證明：將E3帶入式（12），得到系統Jacobian矩陣

（1）當0 ＜A1v1＜2 時，|λ1|＜1，在這種情況下E3是一個鞍點。

（2）當A1v1＞2 時，λ1＞-1，在這種情況下E3是一個不穩定的結點。

命題4當系統參數滿足

時，E4是局部漸近穩定的。

證明：將E4帶入式（12），得到系統Jacobian矩陣

在這種情況下，用特征值的方法來分析E4的穩定性比較復雜，因此我們用Jury 判據來分析。首先計算出E4處的特征方程

根據Jury 判據，當系統的參數滿足下列條件時，E4是局部漸近穩定的，即

以上三個條件對應于特征值離開復平面中單位圓的三種方式。當P（1）＜0 時，J(E4)的一個特征值大于1，可能出現fold 分岔、跨臨界分岔或叉式分岔。當P(-1) ＜0 時，J(E4)的一個特征值小于1，可能出現Flip 分岔。當1-Det(J(E4))＜0 時，J(E4)有一對復共軛特征值位于單位圓之外，可能出現Neimark-Sacker分岔。

3 數值模擬

上一節從理論角度較為詳細地討論了系統（10）所對應的均衡點在不同條件下的類型，并且通過Jury 判據給出了系統（10）唯一的Nash 均衡點E4的穩定條件。下面將從數值模擬的角度，利用單參數分岔圖、雙參數分岔圖、吸引盆等工具來展示數值模擬過程中系統出現的動力學現象，并解釋這些現象產生的原因及其背后的經濟學意義。

3.1 委托參數αi 對于系統穩定性的影響

固定參數a=1.862 7，c=1.230 2，d1=-0.771 5，d2=-0.185 6，υ1=1.759 7，υ2=2.045 4。圖1（a）（b）中，右側色卡上的不同顏色代表了不同周期，考慮到計算誤差問題，我們用黑色區域表示周期超過30以上狀態，包括擬周期、混沌等。圖1（a）展示了系統通向混沌的兩種不同路徑，結合右側色卡，即系統依次通過1周期、2周期、4周期的倍周期序列（Flip分岔）通向混沌；或者直接從1 周期的區域經過Neimark-Sacker分岔進入混沌區域。在周期1以及周期2 之間的準周期區域，即Neimark-Sacker 分岔周圍，動力學行為十分豐富，這些v-型島，稱為Arnold 舌。為了更方便地研究圖1（a）中白色方框區域的復雜動力學行為，將圖1（a）中的該部分放大，如圖1（b）所示。在圖1（b）中，白色數字表示與之相對應的Arnold舌的周期。不難發現，從下到上，大舌的周期呈奇數列遞增排列，即5-7-9-11-…。周期5 與周期7之間有三個小舌，分別為周期12、周期17與周期19，周期17與周期19的舌分別位于周期12的舌的兩側，周期12 的舌稱為周期17 與周期19 的父舌，周期17與周期19的舌稱為周期12的兩個子舌。我們發現，這種排列規律與Stern-Brocot 周期樹（圖2（c）所示）的排列規律一致，如圖2（b）中的Stern-Brocot 樹為Farey 樹（圖2（a））的衍生樹，Farey 樹是包含于Stern-Brocot 樹的一棵左子樹。將Stern-Brocot 樹中每個節點上的分子與分母相加可以得到與之相對應周期樹。除此之外，Stern-Brocot 周期樹中，下層子樹的周期和是上層主樹的周期數的三倍。同樣地，位于周期7 與周期9 之間的三個小舌也符合這種規律。隨著參數α1的減小和參數α2的增加，這些舌將會重疊在一起，最終進入混沌。隨著參數的變化，舌將會越來越窄，因此更高周期的舌的具體周期將很難識別，但由于這些舌具有分形的自相似性，可以推斷系統的更高周期的舌依然是按照Stern-Brocot 周期樹的排列規律排列的。

圖1 分岔圖與最大Lyapunov指數圖

圖2 六級二叉樹

Arnold 舌通常出現在Neimark-Sacker 分岔周圍，在舌與分岔的連接點處，Neimark-Sacker 分岔產生。即隨著參數α1的改變，不動點將在這個尖點處通過Neimark-Sacker 分岔失去穩定性。圖1 中展示了多種通向混沌的路徑，如從兩舌之間的擬周期狀態進入混沌，或者在舌內區域，通過倍周期分岔進入混沌。如圖1（c）與（d）分別展示了沿圖1（b）中白色直線α1=1.154α2-0.449 8的一維分岔圖和最大Lyapunov 指數圖。即隨著參數α1的增加，系統從混沌狀態通過倍周期減半的方式進入周期5 的v-型島，再通過準周期狀態進入周期1的穩態。圖1（d）中，α1≈0.858 3 時，系統對應的Jacobian 矩陣的兩個特征值分別為λ1=-1.785 4+0.645 6i，λ2=-1.785 4-0.645 6i，（保留四位小數）因此，系統在α1≈0.858 3 時發生Neimark-Sacker 分岔，而當α1∈[0.768 4，0.858 3]時，系統的Lyapunov指數在0周圍上下波動，由此可知，Arnold舌的出現意味著系統發生Neimark-Sacker分岔之后，并未直接進入混沌狀態，而是在經歷了一段時間的準周期狀態后才走向混沌。

當α1在區間[0.6，1]，同時α2在區間[0.7，0.8]時，系統將處于一周期的穩定狀態。通過以上分析可知，當兩家公司的管理者同時將公司的利潤最大化作為目標時，兩家企業的競爭將處于一個相對平穩的階段，在此期間，市場環境也將更加穩定。同時，經濟市場的穩定也將為企業提供更多機會，企業也會專注于提高產品質量和服務水平上，由此形成良性循環。

3.2 調整速度vi 對系統穩定性的影響

兩家企業的調整速度在相同的參數空間中對于系統的影響是相似的，為了簡便，我們只選取其中一個進行研究。在此選取v1作為主要研究對象。固定一組參數：a=3.074 5，c=3.478 5，d1=-0.052 8，d2=0.899 4，a1=0.627 9，a2=0.450 4。從圖3（a）可以發現，系統隨參數v1、v2的增加可通過兩種路徑進入混沌，即Flip 分岔以及Neimark-Sacker 分岔；在1 周期與2 周期之間有許多Arnold 舌，因此推測系統在此區域之間可能存在多穩態現象。將圖3（a）的白色方框區域放大（圖3（b）），大舌的周期依次為7-9-11-13-…。在周期7與周期9的舌中間，有三個小舌，分別為周期16、周期23與周期25，16周期舌是23周期舌與25周期舌的父舌，且這兩個子舌分布在父舌兩側。這些v-型區域周期數的排列規律依然符合Stern-Brocot 周期樹的排列規律。一維分岔圖可以看作是沿著二維分岔圖中某一特定直線對應的分岔。圖3（c）展示的一維分岔圖即圖3（a）中沿白色直線對應的分岔。對比圖3（d）發現在區間[2.178，2.223]內，不同初值條件下，系統最終的演化狀態會有很大不同。因此，企業在開始競爭時的不同選擇，最終將會導致企業走向不同的發展道路。同時，在此區間內，出現了間斷點，這種非常規的分岔行為也意味著系統可能在此存在吸引子共存現象，這種現象即上文中提到的多穩態。

在圖3（e）-（h）中，將利用吸引盆來驗證這種猜想，并在存在這種現象的情況下研究系統的演化規律，解釋其中的動力學行為。圖3（e）即當v1=2.186 9時，出現5 周期的吸引子與14 周期的吸引子的共存現象，它們對應的吸引域在圖中分別用深灰色和白色表示?；疑珔^域為發散軌跡組成的逃逸區域，即不可行區域（下同）。圖3（e）中，可行域中有許多形狀不規則的“洞”，它們層層嵌套在深灰色和白色吸引域中。當參數增加至v1=2.198 5時，深灰色區域中的吸引子通過Flip 分岔由5 周期變為10 周期，同時白色區域中的吸引子的周期數減小，由14周期減為9周期，如圖3（f）所示。此時，深灰色區域面積增大，星羅棋布地存在于白色區域中。隨著v1的進一步增加，深灰色區域中的吸引子將通過一系列的倍周期序列，演化成如圖3（g）所示的8 片混沌吸引子，同時其吸引域將占據可行域的大多數部分，白色吸引域中的吸引子則由9 周期變為之前的14 周期，同時其白色可行域的面積進一步縮小。當v1增加至2.206 6 時，周期9 的混沌吸引子變成圖3（h）所示的芒果狀吸引子，此時的可行域即將被深灰色區域所占據。若進一步增加v1的值，白色區域將消失。

因此，圖3（a）中Arnold 舌的出現也意味著系統在此參數范圍內存在多穩態現象，對應于圖3（c）中的非常規分岔行為。而經由圖3（e）-（h）數值模擬可知，這種現象確實是由于吸引子共存引起的。同時可發現，企業1的調整速度越大，會在市場競爭中失去越多的市場份額，不僅如此，過高的調整速度反而會促進競爭對手的發展。通過以上分析可知，當兩家企業都避免頻繁調整經營策略時，雙方都能在博弈過程中占據一席之地，從而在滿足自身利益最大化的同時實現共贏。

3.3 邊際成本c 對系統穩定性的影響

非線性動力系統中，在其他參數不變的情況下，不同的初始條件將會影響到系統的最終狀態。即給定不同的初值，在經過n次迭代之后，系統可能會收斂到一個不動點、多周期吸引子、不變環，或者是混沌吸引子。這種現象叫作“路徑依賴”，即當前或未來的狀態取決于過去所做出的決定，在非線性動力系統中反映為系統對初始條件的敏感性。

將參數固定為a=2.670 7，d1=-0.166 2，d2=0.827 7，α1=0.698 3，α2=0.898 4，v1=0.675 5，v2=1.107 1。當c=0.192 5 時，只有一種類型的吸引子，在圖4（a）中其吸引域的顏色為深灰色。圖中的白色區域為逃逸區域，即初值選在此區域中的點在經過n次迭代之后，最終將產生發散的軌跡。從圖4（a）可以看出，深灰色的吸引域內嵌套了許多白色區域，這些云朵狀的區域，稱為“湖泊”，它們將深灰色吸引域變為復連通區域。將圖4（a）中被矩形框起來的區域持續放大可以發現這些云朵狀的“湖泊”具有自相似結構，如圖4（b）（c）所示。雖然這些云朵狀的“湖泊”無限接近深灰色吸引域的邊界，但是它們始終沒有與深灰色吸引域的邊界相融合，因此，這些具有分形結構的“湖泊”形成了深灰色吸引域的弱分形邊界。當c=0.167 時（圖4（d）），出現了3周期的吸引子與吸引子共存的現象，不同于深灰色吸引域，此吸引域是不連通的，由3周期吸引子所在的直接吸引域（稱之為“大陸”），以及與直接吸引域不相連的部分（稱之為“島嶼”）組成。當c=0.156 9 時，3 周期的藍色吸引子由三個不動點變成了三個不變環，如圖4（e）所示。此時，系統（10）的Jacobian矩陣（保留四位小數）為

圖4 吸引盆演化

其特征值為λ1,2=1.195 6±0.397 7i，此時特征值為復數且模大于1，這說明系統（10）通過Neimark-Sacker分岔失去了穩定性，因此，三周期吸引子由三個不動點變成了三個不變環。隨著參數c的持續減小，當c=0.144 時，該吸引子變成了三片混沌吸引子（圖4（f）），同時部分“大陸”與“島嶼”相連，這使得該吸引子的直接吸引域的面積增加。當c=0.124 1時（圖4（g）），混沌吸引子所在的吸引域繼續增大，同時混沌吸引子也即將與自身吸引域的邊界發生接觸，此時若進一步減小c的值，其吸引域將被深灰色的吸引域吞并。當c=0.122 時（圖4（h）），吸引子與其吸引域邊界發生接觸，混沌吸引子消失，其吸引域也隨之破裂。這是一種不同于局部分岔的全局分岔，即吸引子隨參數變化不斷膨脹，直到與自身吸引域的邊界發生接觸。當接觸發生時，吸引子會突然消失，同時其吸引域也會被摧毀，這種現象也稱之為“終極分岔”或者“邊界危機”。它揭示了當參數接近臨界值時系統狀態的突變，此時，系統的不穩定性將增強，因此現實生活中應將參數的范圍控制在合理范圍內以避免全局分岔的產生。在本模型中，應將邊際成本c的范圍控制在0.122 之后，即c＞0.122 時，系統不會發生全局分岔，即系統將處于相對穩定的狀態。但從圖4（h）可以看出，剛剛消失的混沌吸引子的吸引盆的輪廓依然存在，此時，這些區域是由許多之前存在于其中的排斥子組成的稠密集，這些點多數發散，且這些排斥子的初值經過n次迭代之后產生的軌跡并不屬于剛剛消失的混沌吸引子的吸引域，它們在分岔發生后可能收斂到新的吸引子或進入混沌狀態。因此可以說，這些排斥子在收斂到另外一個吸引域之前，在剛剛消失的混沌吸引子的吸引域里停留了太長時間。

通過以上分析，結合圖例可知，在該組參數下，企業1在競爭過程中的穩定域的面積始終都比企業2要小。邊際成本c越大，越有利于企業2的發展，而企業1 則會在與企業2 的短暫共贏后逐漸失去競爭優勢，率先進入混沌狀態，隨之將面臨破產或者被其他企業兼并的風險。這種現象的產生可能是新技術的產生使得企業1相對于企業2而言，無法引進更多專業技術人員進入企業，或者是因為公司的總資本不夠高，無法承擔因單位產品成本的增加而產生的經濟負擔。

4 結論

本文建立了一個基于策略委托和相對利潤的二維動態博弈模型。在兩家企業都是有限理性的情況下，研究了系統均衡點的類型，并給出了使得系統唯一的Nash均衡點局部穩定的充分條件。

數值模擬結果表明，系統的參數對于系統穩定性的影響至關重要，當參數發生微小改變時，系統的狀態可能會隨之發生巨大改變。研究發現，此模型中，兩家企業的委托系數越接近1，則系統的穩定性越好，表明當兩家企業的代理人都將企業的利潤最大化作為目標時，企業的發展就穩定。此外，兩家企業的調整速度會彼此牽制，調整速度越大，市場進入混沌狀態的時間點就越早，這就意味著其中一家企業將率先在競爭過程中面臨危機。同時，邊際成本對于兩家企業的發展也至關重要，本模型中，邊際成本越大，越有利于企業2的發展，這說明，企業1自身的資產水平或對市場新興技術的適應能力等不如企業2，因此在競爭中將面臨破產或被兼并。

本文運用單參數分岔圖、雙參數分岔圖以及吸引盆來展示系統在博弈過程中產生的動力學現象，并結合非線性系統理論，分析了單參數分岔圖中的間斷現象與吸引子共存即系統的多穩態行為有關。雙參數分岔圖展示了系統通向混沌的不同路徑，即Flip分岔或Neimark-Sacker分岔，并發現Neimark-Sacker分岔附近的分形舌的周期數符合Stern-Brocot周期樹的排列規律。最后利用吸引盆內部結構的變化來研究系統的全局分岔行為，即吸引子與自身吸引域的邊界發生接觸，終極分岔將產生。以上結論可以幫助決策者更好地理解企業之間的競爭策略，并為制定相關政策提供理論支撐。通過分析動力學現象，決策者可以更好地預測市場變化和制定相應應對措施，從而優化企業在市場競爭中的表現。文中所用到的數據為大量數值模擬的結果，后續研究應以實際市場數據為主，以增加可行性。