法尼亞諾關于雙紐線弧長測量問題的研究

張巧艷，劉 茜

（西北大學 科學史高等研究院，陜西 西安 710127）

17 世紀后期，牛頓和萊布尼茨創建了比較系統的微積分[1]。積分沒有獨立的定義，它是作為微分的逆運算而存在的。微積分能處理各種特殊問題：求速度、做切線、求極大極小值、曲線在某點的曲率等問題可統一用微分法來解，而求曲線弧長、面積、體積、重心、距離等問題可用積分來解[2]。

當時對于曲線求弧長問題極難求解，包括橢圓與雙曲線的弧長問題，除了直線、圓及拋物線之外，第一個求得絕對弧長的曲線就是“半立方拋物線”y2=ax3。1657 年英國數學家耐爾（William Neil，1637—1670）求出了它的弧長。1670 年，牛頓在《級數與流數方法論》中也求出了半立方拋物線的弧長，他知道一般的求弧長公式，但在求橢圓弧長時，只是得到了無窮展開的級數[2]。

1694年雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli，1654—1705）和約翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667—1748）相繼研究了雙紐線的構造問題。雅各布·伯努利用彈性曲線性質來解決萊布尼茨在1689年提出的等時線問題，他得到微分方程，并對其進行積分，等式右邊就是曲線的弧元。然而，這并不完全令人滿意，因為它要求對等時線問題的解依賴于超越曲線，而超越曲線的方程只能通過對物體的彈性作假設來建立。因此，雅各布·伯努利提出了另一種等時線的構造，使用了一種全新的曲線——雙紐線（lemniscate），也稱伯努利雙紐線。它是一個代數曲線，而不是一個超越曲線。此外，約翰·伯努利也朝著同樣的方向前進，他也在尋找一條能夠修正旁心等時線的代數曲線。于是，伯努利兄弟以不同的方式得到了代數方程(x2+y2）2=a2(x2-y2)。它的形狀（圖1）是一個橫置的“8”，或者像一個打結的花邊，lemniscate 在法語中是一個絲帶結。如果用θ表示弦CP和r表示∠RCP，則可得到極坐標的曲線方程為r2=a2cos（2θ）。在曲線上被半徑圓截取的弧長用積分表示為。這很容易得到雙紐線的弧長和彈性曲線的弧長相等。

圖1 雙紐線構造示意圖

1698年，約翰·伯努利發現絕大多數曲線的弧長并不能用初等函數表示，但是這些曲線的弧長的和或差有可能可以用初等函數表示。他發現立方拋物線y=x3的兩段弧長的差是可積的，然后將這一結果推廣到一些高階拋物線、橢圓和雙曲線弧長的更一般問題上，但是他沒有給出證明[1]。

17世紀到18世紀，關于橢圓積分處理有三大類問題：（1）微分方程的幾何構造。當處理包含橢圓微分方程時，很自然地尋求用更簡單的曲線——圓錐截面進行求積構造。（2）不同曲線弧線的比較。通過修正或正交構造，將所研究的曲線的圓弧與圓錐截面的圓弧進行比較，當這些曲線與圓錐之間存在幾何關系時，將前者的測量與后者的測量進行比較。（3）同一曲線的弧的比較。曲線的測量不是修正或變換到橢圓（雙曲線）的弧，而是曲線本身的測量。第三類問題涉及將同一條曲線的不同弧線相互聯系起來，這些弧線可以從曲線的不同點去測量[3]。

1714 年，意大利數學家法尼亞諾（Giulio Carlo Fagnano dei Toschi，1682—1766）開始研究雙紐線相關的問題。他試圖在前人工作的基礎上，通過研究雙紐線弧長的測量方法來求解積分，他的工作為整個橢圓積分的建立做出了重要貢獻[2]。目前有關法尼亞諾關于雙紐線的工作的研究文獻主要有萊姆德（Raymond）的《法尼亞諾關于雙紐線橢圓積分的貢獻》[4]、斯瑞得哈（Sridharan）的《從彈性曲線到雙紐線》[5]以及周瑞宏的《法尼亞諾對橢圓積分的開創性貢獻》[6]等。這些工作主要是對雙紐線產生的歷史、曲線性質以及在不同坐標系下曲線表達式之間的相互轉換、雙紐線倍弧長公式中的代數關系等的討論，鮮少關注法尼亞諾用兩種不同的雙紐線弧長測量方法求解雙紐線積分以及成功得出雙紐線倍弧長公式的具體細節和原因。本文基于法尼亞諾1715 年至1718 年關于雙紐線的論文[7-11]，在“為什么數學”的研究范式下[12]，結合幾何圖示對法尼亞諾雙紐線的弧長測量方法以及雙紐線倍弧長公式發現過程進行剖析，這不僅有助于更清楚直觀地了解法尼亞諾在雙紐線弧長方面的工作，而且有助于全面了解橢圓積分的歷史發展過程。

1 基于圓錐曲線性質的雙紐線弧長的測量

1718年，法尼亞諾發表了兩篇題為《測量雙紐線弧長的方法》[9-10]的論文。在第一篇論文中，他嘗試利用橢圓和雙曲線的性質去測量雙紐線的弧長。在第二篇論文中，他首先用拋物線及其切線的性質再次嘗試測量雙紐線的弧長，其次利用等分第一象限雙紐線弧長的方法去測量其弧長。

當雙紐線半軸、橢圓曲線的短半軸和雙曲線的半軸相等時，且橢圓曲線不定弦與雙紐線不定弦取相同的值，可以找到第一象限與雙紐線不定弦相對應的正向弧與反向弧的積分表達式，這個表達式每一項都分別對應于橢圓曲線與雙曲線中的元素。這時將雙紐線正向弧與反向弧相加便是第一象限的弧長，再將其乘以4，便是整段雙紐線的弧長，通過適當的化簡便可得出等式的右邊為三項表達式之和，第一項是橢圓曲線弧長表達式，第二項是雙曲線的弧長表達式，第三項是關于半軸與曲線弦的代數關系式。

法尼亞諾用定理與推論將其過程進行展示推理：

推論1若雙紐線的弦CQ=z與橢圓的橫軸CH=z，并且在雙曲線LMP中，SO=t，并將其分別代入定理1中的等式中，則可推出

可見，由定理1 和推論1，他使得雙紐線的弦與橢圓的弦相等并設為z（圖2），雙曲線的弦設為t（圖3），并將其分別代入定理1 中的方程中，則推出了用橢圓弧和雙曲線弧所替換出來的雙紐線弧的表達式。

圖2 橢圓和雙紐線示意圖（摘自法尼亞諾論文集附錄插圖24）

圖3 雙曲線示意圖（摘自法尼亞諾論文集附錄插圖25）

推論2：若雙紐線的弦CQ=z與橢圓的橫軸CH=z，并且在雙曲線LMP中，SL=r，并將其分別代入定理2中的等式中，則可推出

同樣地，由定理2 和推論2，使雙紐線的弦與橢圓的弦相等并設為z（圖2），雙曲線的弦設為r（圖3），并將其分別代入定理2的等式中，則推出了用橢圓弧和雙曲線弧所替換出來的另一段雙紐線弧的表達式。

它是中國第一條以地方為主投資建設、技術標準最高的高速鐵路，也是國家“八縱八橫”高鐵網中“一橫”青島至銀川通道(青島—濟南—石家莊—太原—銀川)的重要組成部分,是該通道的最東端一段,與該通道已經開通的石濟高鐵、石太高鐵實現連通。濟青高鐵與膠濟鐵路、膠濟客專在濟南至青島間形成“三線并行”的鐵路交通運輸格局,將極大提升濟南至青島間運輸能力,對溝通山東省與三大經濟帶,推進國家級發展戰略實施具有重要意義。

由式（2）（4），可推出雙紐線的弧長為

即雙紐線的弧長是可以用橢圓曲線弧與雙曲線的弧及三者的軸長與弦長之間的代數表達式來替換的。

但是當z=a時，雙曲線的SO將變得無窮大，使得弧也變得無窮大，因此似乎用這種方法測量雙紐線的弧長遇到了困難。他在注釋中也指出：“不能說是完美地發現了這條曲線的測量方法?！盵9]法尼亞諾的嘗試在取特殊值時無法用上述表達式來計算雙紐線弧長。在第二篇關于雙紐線的論文[10]中他嘗試運用與第一篇相同的變換思想，進一步研究雙紐線弧長的測量，利用雙紐線的弦與拋物線曲線以及其某點處切線建立等式關系，利用這種弦與弧的對應關系去測量雙紐線的弧長。

首先，法尼亞諾在論文[9]中展示了4個關于參數代換與其微分方程的定理，并對其賦予幾何意義（圖2）：

在雙紐線中，法尼亞諾給出了每個弦所對應的正向弧與反向弧的積分表達式，而對應于拋物線他也給出了與割線所對應的弧長積分以及切線的表達式。通過定理3-6 中應用于曲線之間的代換，他展示將上述定理應用于幾何中的示例，對定理中的微分方程進行積分，雙紐線的每段弧長都可由右邊的拋物線弧長與切線線性表示，他在注釋中這樣寫道：

讀者已經能使用前4 個定理來擴展拋物線來推導出測量雙紐線的其他方法，在必要時會省去或添加適當的常數來完成方程。此外，他們能夠從這些定理中推導出一些全新的真理，關于弧之間的比較等。我很高興地提到，由于拋物線的大小在幾個方面取決于前面4 個定理的雙紐線的弧長，而雙紐線的大小又取決于雙曲線和橢圓曲線，因此拋物線的大小在幾個方面又取決于上述兩個曲線。[10]

因此，通過利用圓錐曲線弧長代換雖然沒有真正測量出雙紐線的弧長，但利用變換思想，法尼亞諾成功得到拋物線與橢圓和雙曲線間的相互轉換。

2 基于等分法的雙紐線弧長的測量

法尼亞諾雖然沒有成功利用圓錐曲線測量出雙紐線弧長，但發現積分看起來非常相似，于是他想到類比圓弧的研究方法，將圓弧分割為任意等份，得到整個圓弧的長度。所以他便想到等分第一象限的雙紐線并利用弦與弧之間的代數關系去尋找新的測量方法，這樣或許可以測出雙紐線的弧長。

在第一篇論文[9]后半部分，法尼亞諾研究了雙紐線內部弦與弦的代數關系，以及弦所對應的弧之間的比較，成功將第一象限的雙紐線弧長進行了二等分。

如圖4 所示，結合定理7 及推論3，他發現，第一象限雙紐線的兩條不定弦若存在一個代數關系，則可使與第一條弦對應的正向弧與第二條弦對應的反向弧相等，只要使兩條弦相等就可得到二等分弧。由此方法，他成功將第一象限雙紐線的弧長進行了尺規減半。

圖4 等分雙紐線弧長示意圖（摘自法尼亞諾論文集附錄插圖29）

對第一象限雙紐線弧長的三等分以及五等分是在法尼亞諾第二篇論文[10]的后半部分，他依舊利用雙紐線內部弦與弦的代數關系去分析。

如圖4所示，為了方便代換，法尼亞諾將半軸的值a換為1，在二等分的基礎上，他又找到第三條弦與第一條弦的代數關系，使得與第一條弦所對應的正向弧是第三條弦所對應的弧的2倍，依舊使第一條弦與第二條弦相等，這時就將第一象限的雙紐線三等分了。

五等分第一象限雙紐線弧則是結合了二等分弧以及三等分弧的方法：

法尼亞諾找到第四條弦與第三條弦之間的代數關系，使得與第三條弦對應的正向弧是第四條弦所對應的反向弧的2倍，這時便成功將第一象限的雙紐線弧長進行了五等分。在找同時滿足z和r的值時他寫道：

這可通過定理8 和9 中的等式將字母z代替r來找到，從而推出，將u代入定理9 中，將產生另一個方程，除了z不包含其他未知數。如果假設z4=b，將產生一個新的八次方程。由于計算冗長，因此在本文中寫下來是多余的。在表示z4 值的等式中，相同數量的z4 將有兩個小于a4的真實值，這兩個值中較大的表示CT(z)的平方，因為通過化解得到的是u而不是z，會發現與那個非常相似的等式。已故侯爵H.P 在他關于圓錐形截面論文lib9.rop9中教導了構造八次方程的方法。[8]93

以此類推，法尼亞諾還發現了將雙紐線切割成給定數量的相等部分，再將每個部分分成兩個相等部分的方法。雖然法尼亞諾已經知道如何將第一象限的雙紐線弧長進行2×2m、3×2m、5×2m等分（其中m表示任意正整數）[10]，但他的等分是有限的，不能利用等分雙紐線弧長的方法完全測出其弧長，故而也沒有成功找到雙紐線弧長積分的解。

3 倍弧長公式的發現

法尼亞諾的嘗試雖未能如愿，但在此過程中他通過兩個類似于正弦積分代換，成功得出了雙紐線的倍弧長公式[14]。

這個替換沒有使積分合理化，因為又得到了一個平方根；于是，他又做了第二次替換，設，則有

雙紐線的倍弧長公式則為

1750年，法尼亞諾被提名成為柏林學院的成員，他的上述重要論文結集出版，總計1 000多頁。1751年12月23日，法尼亞諾的論文集交由歐拉（Leonhard Euler，1707—1783）審閱，卡爾·雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi，1804—1851）稱這一天為“橢圓函數理論的誕生之日”[16]。在法尼亞諾的眾多論文中，發表于1718年的題為《測量雙紐線弧長的方法》[9-10]的兩篇論文引起歐拉的注意。1756—1757年，歐拉在《不可求長的曲線弧的比較研究》[17]一文中基于法尼亞諾關于雙紐線的工作，在已經將雙紐線的四分之一部分的面積n等分后，又考慮怎么將它n+1 等分。歐拉指出他和法尼亞諾的工作對積分提供了一些有用的結果?；诜醽喼Z的工作，歐拉在文獻[18]中試圖尋找微分方程的代數形式的通解。歐拉在橢圓積分相關主題上發表了數十篇論文，也正是在這些工作中發現了橢圓積分的加法公式。加法公式的發現對橢圓函數后來的發展產生了深遠的影響[19]。

4 結語

在17 世紀至18 世紀關于橢圓積分處理的三大類問題中，法尼亞諾的研究是這些問題的一部分，他將其方法應用到了雙紐線的研究中。在雅各布·伯努利和約翰·伯努利工作的基礎上，法尼亞諾對橢圓積分的研究不僅具有明顯的幾何學傾向，還運用了代數與分析相結合的方式進行研究。在18世紀上半葉，法尼亞諾運用幾何與代數以及分析的方法對橢圓積分的研究標志著構造幾何逐漸在向分析方向延展。在1715—1718 年研究雙紐線弧長時，他嘗試利用微分方程的幾何構造的方法尋求用更簡單的曲線-圓錐截面測量雙紐線的弧長。通過修正或正交構造，利用不同曲線弧線的比較將雙紐線的弧與圓錐截面的弧進行比較，當這些曲線與圓錐之間存在幾何關系時，將前者的測量與后者的測量進行比較。但由于在取到特殊值時無法測出雙紐線的弧長，因此他便利用同一曲線的弧的比較去測量雙紐線本身的弧長，并類比圓弧的測量方法，想到了等分雙紐線弧長的方法，試圖將第一象限的雙紐線弧長進行無限等分得到整段弧長，進而求解積分。他成功將第一象限雙紐線弧長進行了2×2m、3×2m、5×2m等分（其中m表示任意正整數），但他的等分是有限的，因此他的第二次嘗試也沒有成功，沒有找到積分的解。幸運的是，他在這過程中發現了雙紐線的倍弧長公式，這對于1751年歐拉發現橢圓積分的加法定理具有重要影響。而加法定理貫穿了整個橢圓函數理論，可以說法尼亞諾關于雙紐線弧長的研究是橢圓函數理論的起點，他為橢圓函數理論的建立做出了重要貢獻。