復合巖土地層隧道開挖引起土體變形的計算方法

楊海濤,晏 莉,嚴志偉,張文杰

(1. 長沙理工大學 土木工程學院,湖南 長沙 410114; 2. 西南交通大學 隧道工程教育部重點實驗室,四川 成都 610031)

0 引言

地鐵施工常常遇到上軟下硬的復合地層,其整體表現是淺層為軟土層,深層為較堅硬的巖層,巖土層之間的物理力學性質相差較大,當隧道開挖后淺層軟土易發生較大的變形,給鄰近建筑物、地下管線帶來不可估量的危害[1]。因此,針對城市地鐵隧道施工穿越復合地層的變形進行研究分析有著十分重要的現實意義。

在復合地層開挖隧道預測地表變形的方法有很多種,如Peck經驗公式[2-3]、模型試驗法[4-5]、數值模擬法[6-7]、解析法。解析法相比其他幾種方法,由于成本低、計算精度高,且易于編程從而被廣泛運用,解析法是基于各種理論分析方法的統稱,其中用于隧道開挖預測地表變形最為常見的是隨機介質理論和復變函數理論。

隨機介質理論最早是波蘭學者LITWIN-SZYN[8]提出,并將其運用于礦山地表變形的預測,隨后經過我國學者陽軍生等[9]的發展,隨機介質理論開始運用于城市地鐵隧道引起的地表變形預測,然而大部分學者均是將復合地層視為一種隨機介質,忽視了巖土層物理力學的差異性。在隨后的研究中,湯伏全[10]、李濤等[11]將復合巖土地層視為2種不同的隨機介質,進一步探討了復合巖土地層中洞室開挖對地層變形的影響,然而在計算過程中忽略了上部土層對巖土分界面的荷載且并未考慮巖土層物理力學的本質差異。

VERRUIJT[12-13]利用保角映射將半無限平面內單個圓形洞室區域映射為一個圓環區域,最終求得隧道洞周受到均布荷載或徑向收縮變形條件下的圍巖應力和位移解。在此研究基礎上,LU等[14]基于復變函數理論,求解了淺埋隧道在隧道邊界開挖應力和地表自由條件的圓形隧道的解析解;FU等[15]利用復變函數獲得淺埋隧道在自重應力作用下且洞周發生非均勻變形的位移邊界解析解,并討論了隧道變形分量對位移場的影響;LU等[16]提出了利用傅里葉級數來分析淺埋隧道斷面發生非均勻變形的表達式,并分析了不同隧道斷面收斂變形參數和重力效應對于位移場的影響。從上述分析看出,在利用復變函數理論求解隧道開挖誘發地層變形的分析中,大部分學者是將巖土層視為一種均質線彈性體,忽略了復合地層物理力學的差異,其必然會對計算結果產生一定誤差。

綜上所述,目前針對復合巖土地層隧道開挖的理論研究相對較少,且鮮有學者考慮利用2種不同的解析方法聯合求解復合地層隧道開挖的問題?；诖?本文在前人研究的基礎上,根據隧道下穿復合地層的工況,提出一種求解復合地層隧道開挖的計算方法,首先利用復變函數獲得巖層在上部土層自重荷載和洞室發生非均勻變形條件下的解析解,獲得巖土分界面的沉降,隨后將分界面沉降曲線與分界面所組成的區域視為“不等厚層開挖”,利用隨機介質理論獲得最終地表沉降。將理論計算求得的結果與復變函數、隨機介質理論不采用巖土分層計算所得結果與2個工程案例進行對比分析,進一步驗證了該方法的合理性和準確性。最后討論了隧道不同收斂變形、隧道上覆巖土層軟硬比以及土層影響角對地層位移的影響規律。

1 問題描述

1.1 基本假設

為了簡化計算,復合地層淺埋單孔隧道力學模型采用如下基本假設:

1)隧道在縱向方向上無限長,符合平面應變問題;

2)巖層為均質線彈性體,土層為均質散體材料;

3)洞室收斂變形以及巖土分界面沉降均為小變形,對坐標的改變可以忽略不記。

直角坐標系下半無限平面復合地層隧道開挖問題的計算簡圖如圖1所示,其中h為隧道中心至巖土層分界面的垂直距離,H為巖土層分界面到地表的垂直距離,r為隧道開挖半徑,K、A分別為x1o1y1坐標系與x2o2y2坐標系的原點,B、G為無窮遠處,γ1為土層1的重度,E1為土層的彈性模量,μ1為土層的泊松比,γ2、E2、μ2為巖層的物理力學參數,R區域為巖層除隧道開挖以外的區域,且不包含土層的區域。

圖1 復合地層隧道開挖模型Fig. 1 Tunnel excavation model in composite stratum

1.2 巖層隧道開挖問題求解

計算過程中考慮將土層與巖層分開計算,隧道在巖層開挖問題可視為半無限彈性平面開孔問題,計算簡圖如圖2所示。在巖土層分界面上施加均布豎向荷載qy和水平荷載qx,分別為上覆土層豎向自重應力和水平應力,其大小為:qy=-γ1H,qx=-k0γ1H,k0為側壓力系數。此外,洞室發生非均勻變形,施加位移邊界條件。最后,利用復變函數理論即可獲得巖層中隧道開挖后的圍巖位移和應力的解析函數,從而得到巖土分界面各點的沉降值。

圖2 巖層隧道開挖模型Fig. 2 Excavation model of rock tunnel

1.3 土層地表沉降的求解

隨機介質理論是將土體視為隨機介質,把巖土層變形分解成無限多個介質的變形,在求解地表變形計算公式時,地層選取整體坐標系xoy,變形部分采用局部坐標系ε、η,取長度、寬度方向為無限小單元,定義為dεdη,如圖3所示。根據隨機介質理論,在單元開挖dεdη的作用下,距離單元中心為X的地表沉降We(X)為[9]:

圖3 單元開挖示意圖Fig. 3 Unit excavation schematic diagram

(1)

式中:η為開挖單元距離地表距離;β與土層的影響角有關。

利用復變函數理論可以獲得隧道開挖引起巖土層分界面的沉降,將分界面沉降與分界面所圍成的區域記作M,如圖4所示。在整個變形范圍M內假定每個隨機介質均發生變形,利用疊加原理可以獲得最終地表沉降為:

圖4 復合地層沉降傳遞示意圖Fig. 4 Diagram of settlement transfer in composite strata

(2)

只要確定區域M的積分上下限a、b、c、d,代入式(2),即可獲得任意一點的地表沉降:

(3)

巖土分界面沉降曲線與隧道收斂模式、埋深等相關,因此關于區域M二重積分的上下限難以確定,參考文獻[11]可以利用拋物線擬合巖土分界面沉降曲線,即:

y=Ax2+Bx+C

(4)

式中的參數A、B、C均可由1.2節的巖土層分界面沉降值擬合得到。

巖土體的抗剪強度由內摩擦角φ和黏聚力c組成,而在隨機介質理論分析時未能考慮黏聚力這一因素,因此需要將黏聚力等效為內摩擦角,根據相關文獻[17]可以得出等效內摩擦角公式:

(5)

式中:γ1為土層的重度;H為土層的厚度;c為土層的黏聚力。

土層主要影響角β與土層的摩擦角有關。根據相關的經驗公式[18],可以將其寫為:

(6)

2 基本理論和求解

2.1 半無限平面開孔問題的求解

根據復變函數的求解方法可知,平面區域R的應力與位移可以表示為[19]:

σx+σy=4Reφ′(z)

(7)

(8)

(9)

式中:φ(z)、ψ(z)為平面區域R解析函數;G為剪切模量。

圖2所示的z平面區域通過映射函數可轉換為ζ平面中圓環區域,如圖5所示,其中映射函數為[12]:

圖5 保角映射后區域Fig. 5 Area after conformal mapping

(10)

由于φ(z)、ψ(z)在R區域內是解析函數,保角映射不改變函數的解析性,即在R′區域內φ(ζ)、ψ(ζ)也是解析函數,將φ(ζ)、ψ(ζ)展開為洛朗級數表達式:

(11)

(12)

式中a0,ak,bk,c0,ck,dk為待定系數,根據地表和隧道洞周的邊界條件確定。

2.2 根據邊界條件確定洛朗級數系數

在ζ平面上,地表邊界條件|ζ|=1可寫為:

(13)

式中Q(ζ)是以2π為周期的函數,將其展開為傅里葉級數的形式,如式(14)所示:

(14)

式中ek的具體表達式可參考文獻[20]。

聯立式(10)～式(12)和式(14),代入式(13)式可得:

(15)

(16)

(17)

洞室周邊總共產生的位移為ur,其中ur=u0+iv0,洞室邊界條件|ζ|=α可寫為:

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

由上述分析可知,只要確定ak、bk,利用式(15)～式(17)可以確定c0、ck、dk,那么半無限平面開孔問題的各點位移即可以通過式(9)求得,從式(19)～式(22)可知,只要確定a0及Ak的表達式,即可以獲得ak、bk的系數。Ak的表達式是由洞室收斂變形所決定的。

盾構隧道洞周開挖一般由徑向收縮、橢圓化變形及整體下沉3種變形疊加而成[21],如圖6所示。圖中uε、uδ和uv分別為徑向收縮變形、橢圓化變形以及豎向變形。

圖6 隧道洞室變形模式Fig. 6 Deformation mode of tunnel cavern

關于隧道徑向收縮[12]、豎向沉降[22]以及橢圓化變形[23]的Ak解析函數均已給出,將各種變形對應的解析函數疊加,則可得:

(23)

2.3 復合地層隧道程序編制計算過程

由于α<1,因此可以得出,隨著k的增大,當k>N1(N1為某一較大正整數)時,Ak、A-k會趨于0;利用MATLAB語言編制以下計算程序,具體流程如圖7所示。

圖7 算法流程圖Fig. 7 Algorithm flowchart

1) 取任意虛數為a0的初始值,代入式(19)～式(22)可得ak、bk。

3) 將上述計算的a0、ak、bk代入式(15)～式(17)中可求得c0、ck、dk,即洛朗級數各項系數均已確定。

4) 利用式(9)求得巖土層分界面的沉降值,并利用式(4)對沉降值進行曲線擬合,最后求得積分區域M上下限a、b、c、d的大小。

5) 將地表任意一點代入式(3),即可獲得任意一點的地表沉降。

3 算例分析

為了驗證上述復合地層隧道開挖理論計算方法的可行性,本文通過選取2個工程實例來驗證分析。

3.1 算例1

選取大連5號線某地鐵區間上軟下硬隧道為例[24],隧道中心線距離地表約為20 m,襯徑外徑為6.2 m,區間隧道圍巖主要為強風化石灰巖,淺層主要以雜填土為主,整體表現為上軟下硬地層,各層巖土體的物理力學性質差異較大,具體剖面圖如圖8所示。其中巖土層的物理力學性質如表1所示。

圖8 復合地層剖面圖Fig. 8 Composite stratigraphic section表1 盾構下穿地層的主要物理力學參數Table 1 Main physical and mechanical parameters of shield tunneling under stratum巖土層厚度/m黏聚力/kPa摩擦角/(°)密度/(g/cm3)雜填土411101.80黏土718151.87強風化石灰巖1320302.21中風化石灰巖634352.35

本文采用巖土分層計算方法主要是針對巖層與土層這2種物理力學性質差異較大的巖土層,因此在實際計算過程中將不同巖層、土層物理力學參數加權平均后得到一種巖層和一種土層,其中隧道上覆土層彈性模量為36 MPa,土層主要影響角β為22°,重度為18.2 kN/m3,泊松比為0.37。巖層的彈性模量為200 MPa,重度為22 kN/m3,泊松比為0.25,地層損失率為0.96%。

利用本文所提出的巖土分層計算方法,獲得各點的地表沉降值,并將計算結果與實測數值和僅利用復變函數或隨機介質理論一種解析方法且不考慮巖土分層的計算的進行對比,在巖土不分層計算過程中,僅取巖土體一種介質的物理力學參數作為基本量,最后得到各種不同計算方法的地表沉降曲線,如圖9所示。

圖9 不同計算方法地表沉降值與實測值對比Fig. 9 Comparison of surface subsidence values with measured values by different calculation methods

由圖9可知,復合地層盾構單孔隧道開挖的地表沉降曲線呈“V”型分布,在隧道中心上方達到最大值,地表沉降實測最大值約為8.39 mm,隨機介質預測的地表沉降最大值為6.4 mm,復變函數預測最大地表沉降值為10.0 mm,而分層計算所得的最大地表沉降值為8.0 mm,可以看出分層計算與實測的差值僅有5%,而隨機介質理論和復變函數不分層所得的差值分別為19%和24%,由此說明在求解復合地層隧道開挖時,將上覆巖土層分為巖層與土層分別進行求解計算是十分有必要的。

3.2 算例2

選取貴陽地鐵2號線誠信路站—觀山西路站區間隧道548斷面為例[11],隧道采用暗挖法施工,隧道為雙洞單線結構,其中心埋深距離地表約為25 m左右,穿越地層主要為中風化大治組灰巖,淺層巖土層主要以素填土為主,具體隧道穿越剖面如圖10所示。其中各巖土層的物理力學性質如表2所示,將隧道上覆不同土層與巖層物理力學參數經過加權平均后得到如圖11所示。

表2 隧道下穿地層的主要物理力學參數Table 2 Main physical and mechanical parameters of tunnel underneath stratum

圖10 隧道地層剖面圖Fig. 10 Profile of tunnel crossing strata

圖11 復合地層剖面圖Fig. 11 Composite stratigraphic section圖12 不同計算方法地表沉降值與實測值對比Fig. 12 Comparison of surface subsidence values with measured values by different calculation methods

各種不同巖土層物理力學參數經過加權平均后,隧道上覆土層彈性模量取24 MPa,土層影響角β取為40°,重度為17.7 kN/m3,泊松比為0.37。巖層彈性模量為64 MPa,重度為21 kN/m3,泊松比為0.2,地層損失率取為1.5%。

與3.1節算例采用同樣的計算方法,得到隧道上覆巖土不分層計算值和巖土分層計算值,并將3種計算結果與實測值進行對比,如圖12所示。

由圖12可知,各種計算方法所獲得的地表沉降曲線均呈現“V”型分布,最大值出現在隧道正上方,隨機介質理論預測最大地表沉降為19.9 mm,復變函數預測最大地表沉降為28.5 mm,采用分層計算方法獲得地表沉降為最大值為22.8 mm,而地表沉降實測值為24.81 mm,通過對比可知,2種不采用分層計算方法所得的結果與實測值差值分別為20%和15%,采用分層計算獲得的地表沉降計算值與實測值差值僅為8%。通過上述2個案例得出,針對復合地層隧道的開挖問題的復雜性,在計算求解過程中有必要對地層進行分層考慮,否則計算精度將有所降低。另外通過對比圖9、圖12可知,2個算例的分層計算地表沉降曲線有所差異,相比而言,算例2的地表沉降曲線更為平緩,主要原因是:由于算例2隧道上覆土層的主要影響角大于算例1隧道上覆土層的影響角,在利用隨機介質理論求解地表沉降時,隨著土層影響角β的增大,地表沉降曲線變得更為平緩,同時可以看出,由于算例2采用暗挖法施工,地層損失率大于算例1,地表沉降量也明顯大于算例1。

4 參數敏感性分析

隧道開挖后,斷面收斂變形、上覆巖土層軟硬比以及土層影響角tanβ對地層變形有著重要的影響,故本文以隧道收斂變形模式、上覆巖土層軟硬比及土層影響角作為基本參數,得出各參數對地表變形的影響分布規律,當研究某一參數對地表沉降的影響時,其余參數條件不變。

4.1 不同收斂變形對地層變形的影響

Park提出4種典型單洞收斂變形模式[25],如圖13所示。4種洞室變形模式分別對應式(23)為:

圖13 隧道洞周4種變形模式Fig. 13 Four deformation modes around tunnel

(24)

為了分析洞室不同收斂變形對地層變形的影響,以上述4種洞室變形為位移邊界條件,最終獲得巖土分界面和地表的變形,如圖14所示。同時將各洞室收斂變形條件的地表沉降與巖土層分界面沉降進行差值運算,獲得兩者相對變化規律如圖15所示。

圖14 不同收斂模式對地層變形的影響Fig. 14 Influence of different convergence modes on formation deformation

圖15 不同深度沉降差值變化的相對規律Fig. 15 Relative law of settlement difference variation at different depths

由圖14可知,洞室不同收斂變形獲得的地層位移曲線均呈現“V”型分布,且沉降槽寬度基本保持一致,然而沉降最大值并不一致,4種位移邊界條件在巖層分界面沉降最大值分別為22.37、19.62、18.85、16.6 mm,最大相差5.77 mm,而地表沉降最大值分別為11.41、13.06、12.42、15.35 mm,最大相差3.94 mm,由此說明距隧道開挖面的距離越遠,隧道收斂變形對其沉降變化的影響就越小。由圖15可知,在-5 m

4.2 不同軟硬比對地層變形的影響

在實際工程中,由于隧道穿越上覆地層并非始終保持不變,因此為了研究不同上覆地層對地表變形的影響,本文將隧道中心到巖土層分界面距離硬層厚度h與巖土分界面到軟層厚度H的比例定義為α即“軟硬比”,其中巖層的彈性模量E2為150 MPa,等效摩擦角φ2為50°,泊松比μ2為0.2。軟土層的彈性模量E1為30 MPa,等效摩擦角φ1為12°,泊松比μ1為0.38。為了計算方便,考慮軟層厚度H不變,即:

(25)

隧道收斂變形假設以BC-4為洞室位移邊界條件,隧道半徑不變,且土層的摩擦角不變,通過改變隧道上覆硬層厚度h,獲得了不同軟硬比條件下的地層變形曲線圖,如圖16所示。并將不同軟硬比α的地表沉降與巖土層分界面沉降進行差值運算,最終獲得兩者相對變化規律如圖17所示。

圖16 不同軟硬比對地層變形的影響Fig. 16 Influence of different soft-hard ratios on formation deformation

圖17 不同深度沉降差值變化的相對規律Fig. 17 Relative law of settlement difference variation at different depths

由圖16可知,當軟土層厚度H不變時,隨著“軟硬比”α的增加,巖土分界面沉降與地表沉降均隨之增加,并在隧道正上方達到最大值,表明隨著巖層厚度在復合地層中的比例增加,隧道引起的地層變形就越小。不同“軟硬比”的巖土分界面沉降影響半徑并不一致,隨著α的減小,影響半徑也隨之增大。由圖16(b)可知,地表沉降曲線形態隨著α的改變,曲線形狀也有所改變,主要表現為:軟硬比α值越小,靠近隧道軸線的地表沉降值變化就越緩慢,地表沉降曲線呈現“U”型分布,隨著軟硬比α的增大,靠近隧道中心線兩側的地表沉降變化越快,地表沉降曲線呈現“V”型分布。由圖17可知,不同軟硬比α所對應的地層豎向位移變化幅度有所不同,α越大,分界面與地表沉降差值的變化幅度就越大,反之亦然。分界面與地表沉降差值首先在隧道中心軸達到最大值,然后開始逐漸減小為零,隨后地表沉降大于巖層分界面沉降,并在距隧道中心某距離達到最大值,然后逐漸減小,可以看出,不同α值所對應的沉降差值大小不一樣,當α=1時,沉降差值最大14.67 mm,當α=2/5時,沉降差值最大4.72 mm,表明α越大地層差值的大小就越明顯。綜上可知,地層軟硬比對地層變形有著重要的影響。

4.3 不同tan β對地層變形的影響

由隨機介質理論可知,tanβ對土層變形有著重要的影響,在巖土分層計算過程中,利用復變函數求解巖土層分界面沉降時,不需要考慮巖層的影響角,因此本節主要分析不同上部軟土層厚度,同時改變土層有效摩擦角tanβ對地表變形的影響,此時兩者的巖土分界面沉降數值大小保持一致。

上覆軟土層厚度H分別為10、15 m條件下,考慮4種不同tanβ值計算得到的地表沉降曲線,如圖18所示。

圖18 不同tan β對地層變形的影響Fig. 18 Effect of different tan β on formation deformation

由圖18可知,土層影響角tanβ與上覆軟土層厚度對地表變形都有一定的影響,然而對比圖18(a)、(b)可知,土層影響角對地表變形的影響要大于上覆軟土層厚度,當tanβ=0.5時,改變上覆軟土層厚度,地表沉降最大變化為3.2mm,而當軟土層厚度不變時,改變土層影響角tanβ,地表沉降最大變化為6.1mm,說明改變土層影響角對地表變形影響較大。隨著tanβ大小的增加,當tanβ=1.4時,2種不同軟土層厚度的地表沉降變化僅有0.3mm,由此可知,當隧道上覆軟土層的影響角tanβ較小時,增加上覆軟土層厚度可以有效地減少隧道開挖對地表變形的影響,當tanβ較大時,增加上覆土層厚度對地表沉降的影響幾乎可以忽略,同時也可以看出,土層的影響角tanβ越小,地表沉降槽寬度越大,上覆軟土層厚度越大,地表影響半徑也明顯增大。

5 結論

1) 本文提出一種利用復變函數和隨機介質理論共同求解上軟下硬地層隧道開挖的計算方法,計算過程中充分考慮了巖層與土層之間的物理力學差異性,首先利用復變函數獲得巖層在巖土分界面作用軟土層自重荷載和洞室發生非均勻變形條件下的解析函數,從而求得巖土分界面的沉降,將巖土分界面沉降視為“不均勻等厚開挖”,然后利用隨機介質理論獲得土層的地表沉降。

2) 將本文計算方法所得結果與利用復變函數或隨機介質將巖土視為一種介質的計算結果共同與2個工程實測值對比分析可知,利用復變函數聯合隨機介質將巖土視為2種不同介質所得的計算結果與實測值吻合更好。

3) 復合地層隧道開挖的地層變形受隧道斷面收斂變形的影響比較明顯,不同收斂變形的影響半徑基本保持一致;上覆土層軟硬比對地層變形影響較大,主要表現為:軟硬比α越小,影響半徑則越大,在隧道中心附近沉降變化越緩慢,隨著α的增加,影響半徑則越小,地表沉降在隧道中心變化越快;土層的影響角tanβ越小,地表沉降槽寬度越大,地表變形越小,反之亦然。