基于整數規劃模型的生產訂單分配及運輸的最優策略＊

黃朝陽，藺艷陽，李諾琳，吳興艷，韓鋒，張景勝

（北京聯合大學，北京 100020）

0 引言

提高經濟效益是企業現代化管理的根本任務，成本控制在使企業獲得更高的經濟效益上有著舉足輕重的作用。只有努力加強成本管理、優化資源配置、提高產品品質等，企業才能獲得長久發展的動力。隨著企業間的競爭越來越激烈，許多企業通過控制生產成本、物流運輸成本、儲存成本等，全方面控制成本，提升企業競爭力。想要獲得長期的效益，不能一味地降低人工成本與原材料成本，而是要從戰略的高度實施成本控制，在現有“產供銷”方案的基礎上進行創新和優化，合理提高生產力，調整訂單分配策略、物流運輸戰略、存儲戰略，使企業更快地適應新市場［1］。數學建模仿真所使用的Matlab、Simulink、SystemView 等軟件計算仿真功能強大，應用范圍廣泛，能完成數據和數值分析等工作，可以極大地提高教師使用軟件的靈活度和熟練度［2］，常被用作處理涉及大量數據的企業生產規劃與運輸管理問題。文章研究分析生產優化和物流運輸，探索使綜合成本最小的解決方案。

1 問題背景及簡述

在首屆北京市屬高校數學建模聯盟賽中，A題旨在引導大學生通過數據分析與建立數學模型解決綜合成本最小化的成本控制問題。A 題題干如下：某集生產端、供應鏈公司和銷售端一體的食品集團，隨著該企業不斷擴展業務范圍，近期的戰略重點開始轉向預制菜業務。隨著預制菜業務的迅速增長，沿用以往經驗進行的管理，有可能導致供大于求，造成資源浪費；有可能導致供不應求，丟失應有的市場份額。該企業為使預制菜業務更快地打入市場，實現盈利，需要結合生產能力和市場變化平衡供需矛盾，做到既不浪費，又可滿足市場需求，同時使公司效益最大化，則需要根據各產品的銷量高低、毛利率高低、市場最新競品情況等因素綜合定制各產品的需求量，確定各產品最終的要貨量、訂單分配以及物流運輸方案?，F要將15 種產品分別由5 個不同的工廠運往分布在不同城市的分倉中備貨，以供銷售端需求，其中供應鏈公司將會在第1 周收集銷售端第4 周、第5周的需求量并將訂單分配給5 個工廠，5 個工廠則需要根據要貨量在接下來的兩周中，即各廠總工作時間均不大于240 h 的情況下，生產出足夠的產品并運往各分倉。其中，各工廠生產工序中的設備具有并行性和可替代性，不同產品的產能存在相互制約的情況，并且對于成本問題，供應鏈公司要平衡需求與供應之間的矛盾，以最小綜合成本（生產成本+物流運輸成本）滿足銷售端需求的問題，即根據需求量和各公司產能情況，結合綜合成本，在最大化滿足需求量的前提下，將訂單合理地分配給5 個工廠。附件2 闡明各個工廠產能及其生產各個產品所需成本。附件3主要提供的數據為各廠到各分倉不同箱規產品的單盒平均物流運輸成本。附件4提供各產品運輸所要求的箱規及近2周在各倉的要貨量。由于設備產能存在瓶頸，當銷售端需求不能被滿足時，需要進行合理的調減測算，從而有效提升銷供產各方的溝通及決策效率，確定各產品的最終要貨量和訂單分配方案。并針對附件4中數據，分析并解決以下問題。

問題一：現根據附件2 的工廠產能情況，在不考慮成本的前提下，建立模型分析5 個工廠能否在2 周內完成附件4中要貨量的需求。

問題二：基于問題一可能出現的2 種不同結果，分別進行解決。若問題一中可以滿足需求，則需要在滿足綜合成本最小的情況下將訂單量合理分配給5個工廠；若問題一的結論是不能滿足需求，則需將要貨量適當等比例減小，以剛好達到產能能夠滿足要貨需求且剩余10%的要貨量的要求，在此基礎上，同時滿足綜合成本最小，并且訂制分配方案。

企業采購、生產、倉管、銷售等各個環節的數字化和智能化可以有效地提升企業管理效率和效益，幫助企業降本增效，提高企業可持續競爭力［3］。針對企業生產優化和物流運輸使綜合成本最小化的問題，根據其“產供銷”一體化管理，結合滿足要貨量需求，生產工藝和工時及運輸要求的約束條件，建立以三維數據為基礎的整數規劃模型，利用Lingo 編程進行求解，可以同時得到最佳的訂單分配方案和物流運輸方案，使企業的綜合成本最小化，獲得最大的經濟效益。依據題目建立的模型，系統地分析、規劃供應和轉運的最優方案，在企業實際采購方面具有一定的參考價值。模型中分析問題、解決問題的方法與思想針對其他模型也可以使用。因此，可以將本生產成本分析模型推廣運用到其他企業［4］。

2 模型假設和符合說明

2.1 模型假設

本文模型假設如下：①生產工序僅考慮3個瓶頸工序，忽略其他工序；②在生產周期的2 周時間內設備正常運行；③忽略產品在運輸途中的損耗；④假設運輸量和要貨量相等；⑤不考慮同一產品在不同設備之間轉換的時間。

2.2 符號說明

基于整數規劃模型的相關符號說明見表1。

表1 基于整數規劃模型的相關符號說明

3 問題分析

在問題一中，5 個工廠能否在2 周內完成要貨量的需求時，要先考慮并分析產品加工的工作流程，根據附件中“熱加工工序上，當一個產品在幾類設備都有產能數據時，表示這個產品的工藝要求用這幾類設備按一定順序共同完成熱加工”可知，熱加工工序下6 種設備相當于串聯關系。同理，根據附件中提出的“在內包裝和速凍工序上，當一個產品在幾類設備都有產能數據時，表示這幾類設備具備可替換性，這個產品可以用這幾類設備中的任何一類完成該工序”，故可將內包裝工序中的4 種設備和速凍工序中的2 種設備分別視為并聯關系，詳細的生產順序如下：整體流程（如圖1所示）—產品8生產流程（如圖2所示）—產品4 生產流程（如圖3所示）。由背景信息可知，一種設備在單位時間內只能生產一種產品，但不同種設備可以在同一時間內生產不同產品，結合附件中所給的單位時間內每種設備的最大產能數據，只要在限制條件下生產量滿足需求量即可，故該問題的解決方案為在先不考慮成本的情況下，假設每一種產品的5 個工廠生產總量超過該產品的總需求量，以每一類設備生產所有產品所用總時間不能超過2 周的總工時240 h，每個工廠的每一種產品都要經過不可替代的部分熱加工工序，每個工廠的每一種產品都要經過可替代的內包裝工序，每個工廠的每一種產品都要經過可替代的速凍工序作為限制條件，以5 個工廠的最大總產量為目標，建立整數規劃模型，編寫Lingo［5］程序進行求解。

圖1 整體流程圖

圖2 產品8生產流程圖

圖3 產品4生產流程圖

關于問題二，已于問題一中得知其在規定時間內生產量可以滿足要貨量，因此需要同時考慮生產成本（包含固定成本和變動成本）與物流運輸成本。在滿足綜合成本最小的前提下，根據需求量同時得出5 家工廠的生產規劃及運輸到6 間倉庫的物流運輸方案［6］。層次分析法是一種計算簡便且適合于多目標、多準則的系統評價方法，有許多其他方法不可比擬的優點。為有效解決生產企業的生產與運輸問題，可以將這種分析方法的關鍵步驟與倉庫選擇決策問題相聯系，用于生產企業的倉庫選擇決策上，以建立倉庫評價的遞階層次結構，構建合適的層次結構模型［7］。根據綜合成本最小原則，由于其固定成本不變，故只需考慮變動成本及物流運輸成本，使該2項成本之和最小即可。保留問題一的限制條件，如某個工廠的各個設備生產15 種產品所花費時間ti，j，k之和均不能超過240 h。在此基礎上，再添加5家工廠所生產的某類產品實際運輸至某間倉庫的總數量滿足該倉庫對該類產品的需求，同時5家工廠所生產的某類產品總和應滿足實際運送至6間倉庫的數量，即生產量大于/等于實際運輸量，大于/等于要貨量等限制條件，同時建立以二維數據和三維數據為基礎的整數規劃模型，使用Lingo 編寫程序進行求解，得到最優的訂單分配策略和最佳物流運輸方案。

4 模型的建立與求解

4.1 問題一模型的建立與求解

4.1.1 模型的建立

在問題一中，先不計利潤，只考慮滿足要貨需求，以5個工廠的最大總產量為目標，即

約束條件包括以下方面：

每一種產品的生產總量必須超過該產品的總需求量，即

每一個設備下所有產品加工所用總時間不能超過2周的總工時240 h，即

每個工廠的每一種產品都要經過不可替代的部分熱加工工序，熱加工工序所需每個設備的加工量都必須大于該工廠生產該類產品的產量，即

每個工廠的每一種產品都要經過可替代的內包裝工序，只要可替代工序設備的總加工量都必須大于該工廠生產該類產品的產量，即可滿足要求，即

同理，每個工廠的每一種產品都要經過可替代的速凍工序，速凍工序所需設備總加工量都必須大于該工廠生產該類產品的產量，即可滿足要求，即

此外，由于現實生產問題存在生產數量必須達到一定值的要求才能生產，故在建立模型時運用0～1規劃進行約束，經過對所給數據進行分析，可知某工廠生產某產品時，其最小生產量應不少于8 000件，為方便編程，對生產量的上限進行約束，需要取一個最大生產量達不到的值，該處取值為999 999 999，則該約束條件為

此外，所有變量只能取非負整數。因此，建立如下整數規劃模型。

目標函數：

約束條件：

所有變量都取非負整數。

4.1.2 問題一模型的求解

為方便編程，在算法上做以下處理：將內包裝工序和速凍工序中設備不生產某類產品時，單位時間產能空缺的位置補充為0，表示該設備下該產品的產量為0；熱加工工序中的設備不生產某類產品時，相當于該類設備不啟動，也就不用消耗工時，單位時間產能空缺的位置補充一個很大的數，假設該加工能力很大，消耗工時就會很少，程序中補充為999 999 999。

編寫Lingo程序［5］，主要運行結果見表2。

表2 各工廠能生產各類產品的數量

各分倉總要貨量總計為180多萬件，通過建模運算后，得到在規定時間內滿足對各產品需求量的情況下，最大產量可以達到435 多萬件，遠遠大于總要貨量，其中每個工廠在規定時間內生產的各產品數量（見表2），如X（1，3）=27 356，表示在第一家工廠生產第三類產品的量為27 356 件，其余以此類推。綜上，5 個工廠能在規定時間內可以滿足總要貨量需求。

4.2 問題二模型的建立與求解

4.2.1 問題二模型的建立

通過解決問題一可知，企業能完成要貨量需求，因此第二問研究如何分配生產訂單及合理制定物流運輸方案，使綜合成本最小化。

綜合成本=生產成本+物流運輸成本，全資工廠的生產成本=變動成本+固定成本，委外工廠的生產成本為各產品生產量×單件采購成本的和，即生產成本為

物流運輸成本為運輸量與單位運價的乘積之和，單盒物流運輸成本主要與產品的包裝規格和運輸路程有關，即物流成本為

使目標最小化，即

約束條件要保留問題一中的所有約束，再通過物流運輸的量保證各分倉的每一種產品均達到要貨量要求，即

此外，由于現實運輸中對運輸的數量也有一定的要求，故在建立模型時同樣運用0～1 規劃對運輸量進行約束，綜合運輸車輛的最大容量、各倉庫的實際需求量及各工廠的生產量，結合運輸費用應盡量減小的原則，得出某工廠運往某分廠的某產品時，單類產品最小運輸量應不少于1 500 件，為方便編程，對運輸量的上限進行約束，需要取一個最大運輸量達不到的值，該處取值為999 999 999，則該約束條件為

因此建立線性規劃模型如下［5］。

目標函數：

約束條件：

所有變量都是非負整數。

4.2.2 問題二模型的求解

為方便編程，在算法上做了以下處理：內包裝工序和速凍工序中的設備不生產某類產品時，單位時間產能空缺的位置補充為0，表示該設備下該產品的產量為0；熱加工工序中設備不生產某類產品時，相當于該類設備不啟動，也就不用消耗工時，單位時間產能空缺的位置補充一個很大的數，假設該加工能力很大，消耗工時就會很少，程序中補充為999 999 999。編寫Lingo程序，程序運行主要結果見表3和表4。

表3 各工廠生產各類產品的數量

表4 各工廠生產的各類產品運輸到各個分倉的數量

Global optimal solution found.

Objective value：0.394 907 8E+08

Total solver iterations：95 917

表3、表4 給出在綜合成本最小情況下的訂單分配策略和物流運輸方案。例如，x（1，9）表示第1 家工廠生產第九類產品59 973件，y（1，9，2）表示第1家工廠運往第2 號分倉的第九類產品為7 973 件。按表2、表3所示結果進行生產和運輸，即為綜合成本最小的最優方案。

4.2.3 敏感性分析

敏感性分析用來評估輸入變量變化引起的最優值的變化百分比。當輸入變量變化時，不必重新解題就可以得到最優解的變化［8］。建立該模型的主要目標是實現企業經濟效益最大化，即探究各種因素對綜合成本的影響的敏感性。對單位成本bdcb、運輸單價dj、單位時間生產量c和總工時t總4個重要因素，上下變化幅度為1%～2%，對應的綜合成本的變化百分比如圖4所示。

圖4 變量敏感性分析

由圖4 可知，綜合成本zcb對于運輸單價dj、單位時間生產量、總工時t總的靈敏度低，因此綜合成本zcb相對于運輸單價dj、單位時間生產量、總工時t總的穩定性好。綜合成本zcb隨單位成變化的百分比數值相當，綜合成本zcb對于單位成本bdcb的敏感性不強，故綜合成本zcb相對于單位成本bdcb的穩定性也較好。

5 模型評價

5.1 模型的優點

模型有以下優點：一是類比物理學中的串并聯電路，形象理解不同的加工工序的本質區別；二是比較全面地分析問題，得到針對不同問題的整數規劃模型；三是合理參考運輸模型等典型模型；四是編寫Lingo程序時，對于無需經過的工序，將其生產能力賦一個極大的值，以方便編程，節省軟件運行時間，方便、高效地求解規劃問題。

5.2 模型的缺點

模型有以下缺點：一是忽略產品在各個工序間轉換的時間，得出的最大產能會高于實際最大產能；二是只考慮了3 個瓶頸程序，現實中的限制條件會更多。

6 模型推廣與展望

6.1 模型推廣

基于對此問題的理解與分析，問題一的模型還可以運用到各個廠家評估自己生產產品的產量能否在規定時間內滿足客戶的需求，如汽車、制藥等行業。問題二的模型還可以應用于快遞運輸行業，即商家根據客戶購買的物品從廠家那里購買之后用哪一種快遞運送給客戶的總成本最小。并且，可以解決網上超市一地多倉的訂單分配與物流的配送問題。

6.2 模型展望

由于題目中給的單位運輸價是盒/元，故建立的模型是按盒運送的，實際運輸貨物時是按箱運送的，不太符合實際運輸情況，但是可以根據不同企業具體運輸情況替換變量，進一步化為箱數進行運輸，讓箱數乘以容量恰好剛剛滿足倉庫需求量，此時計算運輸費用，能更好地優化模型，得到更準確的綜合成本。

7 結論

為使該企業獲得最大的利潤，本文依據集團產供銷一體化的經營管理模式，基于滿足要貨量需求的基礎，進一步詳細研究了生產端、供應鏈公司及銷售端中生產成本與物流運輸問題，同時結合生產工藝和工時及運輸要求的約束條件，建立以三維數據為基礎的整數規劃模型，從而確定了最佳的訂單分配方案和物流運輸方案，為其他相同或相似經營模式的公司提供有價值的參考模型，提高其決策效率和經濟效益。