流體問題中“柱狀模型”的建構實例

張祖志

(北京交通大學附屬中學)

一、背景介紹

流體是由大量的、不斷地做熱運動而且無固定平衡位置的分子構成的,它的基本特征是沒有一定的形狀并且具有流動性。流體有一定的可壓縮性,液體可壓縮性很小,而氣體的可壓縮性較大,在流體的形狀改變時,流體各層之間也存在一定的運動阻力(即黏滯性)。當流體的黏滯性和可壓縮性很小時,可近似看作是理想流體,它是人們為研究流體的運動和狀態而引入的一個理想模型,是液壓傳動和氣壓傳動的介質。

二、典例與評析

【典型示例1】如圖1所示高壓水槍噴口半徑為R,水速為v,水平地打在豎直煤壁上后形成半頂角為45°的錐面反濺,速度變為原來的三分之二。試求高速水流對煤壁的沖擊力。

圖1

圖2

【點評】這是一道涉及速度分解的二維動量定理的情境問題,如何建立起柱狀流體模型是解決這道題目的關鍵。

圖3

常見的流體問題還有電子流、光子流等粒子流組成的大量粒子的定向運動問題,下面以光子流的定向移動作為練習。

圖4

【點評】流體問題之所以難是因為研究對象不太明晰,先通過對均勻流體構建“柱狀模型”作為研究對象,使研究對象變得具體化,利用動量定理等規律使解決問題的過程變得程序化,從而有利于問題的快速準確解決。

流體問題研究對象一般為氣體或液體。這類問題的解決過程中常常涉及動量定理、動能定理,它需要學生利用微元思想通過受力分析和過程分析列出方程求解問題。但學生在嘗試一題多解的過程中,使用動量定理、動能定理求解同一題目,卻得出了不同的結果。其根本原因是對物理定律的適用條件和研究對象的范圍界定不夠準確造成的。下面采用流體力學的分析方法,選取研究對象,分別使用動量方程和能量方程得出相同的結果.通過對流體速度和壓強的分析,明確流體問題中的兩個典型誤區避免教學疏漏。

【典型示例2】如圖5所示,水上飛人娛樂活動是大家喜歡的一個項目,工作人員操控的噴射式懸浮飛行器將水向下噴出,可以使活動參與者懸停在空中。已知工作人員和參與者以及裝備總質量為M,噴嘴的面積為S,求噴嘴處水流的速度v。

圖5

【點評】兩種解題方法所得結果完全一致,但在使用解法二時,我們把水流噴出過程看作是初速度為零的勻加速直線運動的過程模型,才得出平均速度等于末速度的一半,如果沒有考慮到這一點,解法二容易出錯誤。

【變式練習2】小明在學習完動量定理后,想通過建構模型的方式加深對動量定理的理解和應用,他在家里制作了一個豎直向上的噴水的水柱,在水柱上方放置一質量為M的玩具,玩具穩定后懸停在空中,如圖6所示。水柱噴口橫截面積為S0,水從管口噴出瞬間速度為v0,水和玩具接觸部分可近似看作是平面且面積大小近似為S,水柱和玩具接觸后豎直方向速度減小為0,已知水的密度為ρ0,重力加速度為g,求:

(1)水柱口單位時間內噴出的水的質量;

(2)水柱和玩具接觸前瞬間的速度;

(3)玩具在空中懸停時小球下方距離地面的高度是多大?

圖6

【點評】在中學物理范圍內動量定理的適用對象是質點模型,流體問題中的研究對象往往不能看作質點。