一類2+1維群體平衡方程的尺度變換群分析及自相似解

林府標，王 騫，張千宏

(1.貴州財經大學 數學與統計學院，貴州 貴陽 550025；2.貴州師范大學附屬中學，貴州 貴陽 550001)

0 引言

群體平衡方程[1-4]廣泛用于固體物的破損過程、細胞種群的生長過程、聚合過程、 結晶和沉淀過程、基因調控過程、分散相系統、環境和工程學、農業工程學、生物醫學工程學、血液學、制藥工程學、生物化學、分子生物學、形態結晶學、細胞生物學等.

群體平衡模型在實體應用領域，關鍵是缺乏精確求解的技術和理論，而偏微分方程目前已提出多種解析研究途徑[5-6]，因此，研究方法常采用數值離散方案，如矩方法、蒙特卡羅方法等[1-4].既有聚合又有破損過程的群體平衡方程[1-2]可寫成

(1)

式中：x為微粒的尺寸坐標；t為時間；f(x，t)刻畫t時刻種群密度分布；v(x，t)描述尺寸為x的微粒在t時刻破損的平均數量；b(x，t)刻畫微粒在t時刻破損的頻率，代表單位時間內正在破損的部分；p(x|y)刻畫尺寸為y、破損尺寸為x的微粒的粒度分布，滿足

其值由實驗觀測或破損過程的實體模型決定.聚合核K(x，y)刻畫尺寸為x和y的微粒對聚合的頻率，滿足

K(x，y)=K(y，x)≥0.

γ次齊次核[1-2]

K(λx，λy)=λγK(x，y)，

(2)

廣泛應用于實體科學工程領域，其中，γ，λ均為常數，γ是齊次的度.如數學上易處理的齊次核[1-4]為

(3)

式中，ki(i=0，…，4)為正常數.選取v(x，t)、p(x|y)和b(x，t)分別為

(4)

式中，ν，κ，p均為常數，κ>0，p≥0.若令y=xs，用式(2)可得

(5)

因此，用式(4)和式(5)，方程(1)可寫成

(6)

方程(6)的解析解法和精確解既重要又缺乏，經典李群方法[7-9]不能用于研究方程(6)，需用改進的李群理論[10-11]，但此方法最大困難和障礙是求解決定方程[12-14].受前人的工作[10-11]和文獻[12-14]的啟發，該文用尺度變換群方法研究方程(6)的群不變量、自相似解、精確解、約化方程.

1 尺度變換群

假設方程(6)接受的尺度變換群為

(7)

其中，a，λ1，λ2，μ均為常數，式(7)對應的無窮小李對稱算子為

(8)

依據式(7)的假設，變換群式(7)將方程(6)的任一解f=f(x，t)變成同一方程

(9)

的解.因此，將式(7)代入方程(9)，由式(2)，得到

(10)

注意f=f(x，t)是方程(6)的任一解，由方程(10)推出

λ2=-λ1p，μ=(p-γ-1)λ1.

(11)

類似于式(7)，可以驗證方程(6)接受平移變換群

(12)

定理1方程(6)的不變群的部分生成元，構成一個2維的子李代數L2=span{X1，X2}，并有下列一組基

(13)

定理2設用改進的李群分析法，獲得方程(6)的不變群的全體生成元，構成的李代數為L，則有L2?L.

2 自相似解

2.1 情形K(x，y)=k0

針對K(x，y)=k0，用式(2)，得到γ=0.算子X1，p≥0對應的群不變量為J1=x，J2=f.因此，方程(6)的解可以寫成

f(x，t)=φ(x)，

其中，φ(x)滿足約化方程

其中，φ(z)滿足約化方程

可以驗證

是方程(14)的解.因此，方程(6)的精確解為

f(x，t)=exp(-α(t+τ0))φ(z)，z=xexp(-α(t+τ0))，

其中，φ(z)滿足約化方程

(15)

可以驗證

是方程(15)的解.因此，方程(6)的精確解為

2.2 情形K(x，y)=k1(x+y)

針對K(x，y)=k1(x+y)，用式(2)，得γ=1.算子X1，p≥0對應的群不變量為J1=x，J2=f.因此，方程(6)的解可以寫成

f(x，t)=φ(x)，

其中，φ(x)滿足約化方程

其中φ(z)滿足約化方程

f(x，t)=exp(-2α(t+τ0))φ(z)，z=xexp(-α(t+τ0))，

其中φ(z)滿足約化方程

2.3 情形K(x，y)=k2xy

針對K(x，y)=k2xy，由式(2)，可知γ=2.算子X1，p≥0對應的群不變量為J1=x，J2=f.因此，方程(6)的解可以寫成

f(x，t)=φ(x)，

其中，φ(x)滿足約化方程

其中，φ(z)滿足約化方程

(16)

可以驗證

是方程(16)的解.因此，方程(6)的精確解為

f(x，t)=exp(-3α(t+τ0))φ(z)，z=xexp(-α(t+τ0))，

其中，φ(z)滿足約化方程

f(x，t)=φ(x)，

其中，φ(x)滿足約化方程

其中，φ(z)滿足約化方程

f(x，t)=φ(z)，z=xexp(-α(t+τ0))，

其中，φ(z)滿足約化方程

f(x，t)=φ(x)，

其中，φ(x)滿足約化方程

其中，φ(z)滿足約化方程

f(x，t)=exp(α(t+τ0))φ(z)，z=xexp(-α(t+τ0))，

其中，φ(z)滿足約化方程

3 結論

尺度變換群方法不但可以用于方程(6)，而且獲得了自相似解、精確解及約化方程.用此方法研究一個新的群體平衡方程，不需要很棘手地求解決定方程.若L=L2成立，則本文所有結果均為完全的，否則僅為非完全的.能否直接用改進的李群技術[11-14]研究方程(6)的全體生成元，判斷L=L2正確與否，值得在今后的研究中思考.