用“數”開好頭，為“式”鋪平路

浦敘德

初中代數板塊有“數、式、方程、不等式、函數”五個主題。因為數學知識之間有內在的邏輯，所以，我們最先學習的是數。小學數學中關于數的學習主要以正數和0為研究對象，到了初中引進“負數”的概念。正數、0、負數組成有理數，完成初中代數的第一次飛越；再到“字母表示數”，從特殊的數走向一般的式，便產生了代數式，完成了初中代數的第二次飛越。本章的主要內容是實數，可以清晰看出初中關于數的學習沿著“負數→有理數→無理數→實數”這一路徑發展。

一、核心知識及其關聯

本章共有4小節內容，分別介紹了平方根（算術平方根）、立方根、實數、近似數等知識，內容雖然簡單，但知識背后的內涵還是非常豐富的。在七年級的有理數學習中，我們通過對邊長為1的兩個正方形的分割，形成對拼接成一個新正方形邊長的探究，得到了其邊長[2]是無限不循環小數，即無理數的結論。事實上，對2進行開方運算求平方根，求得的結果是±[2]，而[2]是2的算術平方根?；仡櫱懊嬗欣頂档倪\算，有加、減、乘、除、乘方五種，其中加、減是互逆運算，乘、除是互逆運算，那么乘方必定也會存在一個互逆運算，這就是本章的開方運算。這樣，加、減互逆，乘、除互逆，乘方、開方互逆，六種運算就完備了。于是，我們就可以得到圖1的數系擴充和圖2的運算完備兩張關聯結構圖。

二、研究數的基本路徑

任何一個數學對象的研究都有其基本路徑，數的研究也不例外。在學習有理數時，我們首先明白了什么是有理數，認識了有理數的性質，對有理數進行了分類，再在此基礎上研究有理數的運算。在學習本章時，也是如此。我們先學習實數的概念，明白了實數的性質，有正負之分，在此基礎上，將實數按不同的標準進行分類。如實數可以按照正負性分成正實數、0、負實數，也可以分成有理數、無理數。有理數又可以分成正有理數、0、負有理數，無理數可以分成正無理數、負無理數。在分類的基礎上，我們可以對實數進行加、減、乘、除、乘方、開方運算，并且發現運算的結果還是一個實數。因為實數中有無理數，所以有時我們不需要精確的結果，于是在本章的最后我們還學習了近似數。

三、數式通性凸顯本質

初中代數五大主題，數是第一個頂峰，可以說開了一個好頭。但初中代數研究的重點在于式，方程、不等式、函數都可以看成是式的應用。數與式之間又構成了特殊與一般的關系，數為式的學習奠定了基礎，指明了方向。

例如，由數的分類到式的分類。有理數可以分成整數和分數，有理式就分成整式（單項式、多項式）和分式（下學期學習）；實數分成有理數與無理數，代數式可以分為有理式與無理式（下學期學習）等。又如，由數的運算到式的運算。整式的加減，就是合并同類項，法則是“把系數相加減，字母和字母的指數不變”，本質是把整式的加減運算轉化成數的加減運算；單項式乘以單項式的法則是“把系數相乘，相同字母的指數相加，只在一個單項式里含有的字母連同它的指數作為積中的一個因式”，本質是把單項式乘單項式運算轉化成系數的乘法和指數的加法運算，等等?？梢?，數與式的本質是相同的，這就是常說的數式通性，數學上通常把研究未知的式的問題轉化為研究已知的數的問題來解決。

通過以上分析，我們可以體會到，數學知識之間是有先后邏輯關系的，知識之間又是相互關聯的，前面知識的學習為后面未知知識的學習奠定基礎。因此，同學們在學習時千萬不要因為前面知識簡單而馬虎，也不要只學習知識的表象，要多從聯系、整體的視角來認識知識以及知識背后的數學本質。只有這樣，我們才能學到數學的精華，并且找到學好數學的最佳路徑。

（作者單位：江蘇省無錫市新吳區教師發展中心）