航天器姿態受限的協同勢函數族設計方法

岳程斐 霍 濤 陳雪芹 沈 強 曹喜濱

姿態控制是一個非線性控制問題,在航空航天、機器人等領域受到了廣泛關注和研究[1-2].用于描述剛體姿態的旋轉矩陣構成了三維特殊正交群(Three-dimensional special orthogonal group,SO(3)).作為一個無邊界的緊流形,S O(3) 不同胚于任何歐氏空間,這導致在S O(3) 上,不存在能夠使姿態全局漸近收斂到目標姿態的連續時不變反饋控制律[3].受此拓撲性質約束,使用光滑的反饋控制律能實現的最好結果是基于單一勢函數獲得幾乎全局的收斂性[4-5].而“幾乎全局”意味著該勢函數在SO(3)上存在一個測度為零的集合.該集合中的點稱為臨界點,當航天器初始姿態是臨界點時,勢函數無法控制姿態收斂到目標姿態.

為解決上述單一勢函數存在的臨界點問題,混合控制被引入姿態控制問題中[6-7].混合控制是一種具有滯回特性的切換控制系統,通過設計一族臨界點互異的勢函數,系統狀態可在不同的勢函數之間進行切換,從而改變系統狀態和臨界點的分布情況,實現姿態控制目標.具體而言,當系統運動到當前勢函數上不期望的臨界點時,會切換到另一個具有更低值且不處于臨界點的勢函數上進行控制.這一類勢函數被稱為協同勢函數族.當單位矩陣是公共臨界點時,稱此類協同勢函數族為共單位元的協同勢函數族.文獻[8]首次通過“角度擾動”方法構建了協同勢函數,但并未給出協同性的證明.文獻[9]進一步給出了協同性對勢函數參數的要求.文獻[10]給出了“角度擾動”方法中,協同勢函數族存在的充要條件,并將協同勢函數族應用到無角速度測量的航天器姿態控制系統中.以上文獻均需要對臨界點進行復雜計算.文獻[11]放松了“共單位元”要求,通過選擇固定的參考向量,設計出一族簡單協同勢函數族,但缺點是其物理意義不明確.此外,上述文獻都沒有考慮航天器姿態機動中的姿態約束.

在軌航天器姿態機動時,存在多種約束,其中一種典型約束是航天器的禁止或強制指向約束,即要求航天器在機動中始終避開或始終指向某個方向.例如,航天器光敏感器的指向應當始終避開明亮天體[12-13].指向約束下實現姿態機動的方案大致可分為基于規劃的跟蹤控制方法[14-15]和基于避障勢函數方法[13,16]兩種.基于規劃的跟蹤控制方法將原問題分解成2 個子問題進行單獨解決.首先,利用優化方法規劃出合理的姿態機動路徑;然后,設計跟蹤控制器跟蹤所給路徑.文獻[15]整體性地考慮了姿態約束、機動過程的指向安全裕度和力矩飽和問題,提出預設性能的“規劃+跟蹤”控制方法,系統性地實現了航天器姿態受限機動.此類基于規劃方法的姿態機動路徑具備可預見性,但缺點是結構復雜,優化算法和控制器性能都會影響到航天器的實際指向.相比之下,基于避障勢函數方法更加簡單和有效.該方法將目標姿態設計為極小值點,并將勢函數的梯度引入控制器設計,當靠近姿態限制時,勢函數值和梯度急劇增加,以此規避姿態限制.文獻[13]使用分數形式的避障勢函數,處理禁止指向約束問題;文獻[16]使用對數形式的避障勢函數解決了同時具有禁止和強制指向約束的姿態機動問題.然而,勢函數方法嚴重依賴勢函數的凸性假設,機動路徑不可預見且單一勢函數控制存在臨界點問題,航天器姿態可能會收斂到勢函數的極小值,而非目標姿態.

為解決上述問題,本文在考慮姿態約束情形下,基于旋轉矩陣設計用于混合控制的勢函數族,該勢函數族能夠對任意的初始姿態保證姿態收斂到目標姿態.本文的主要貢獻如下: 1)建立姿態禁止指向約束模型,考慮機動安全裕度,為每個指向約束設計軟約束區域.在該區域內,將分數/對數形式排斥勢函數引入協同勢函數設計中,設計保證全局收斂的避障勢函數.2)針對所設計的勢函數,給出軟約束區域內臨界點分布情況和勢函數參數的關系,指出當勢函數參數滿足給定不等式組時,航天器不會在避障過程中陷入非期望的臨界點.3)將上述勢函數引入控制器設計,實現姿態受限下的全局收斂.

本文內容結構如下: 第1 節對使用到的符號和性質進行說明,建立航天器的誤差姿態運動模型和姿態約束模型;第2 節給出基于“角度擾動”構建協同勢函數族的方法,將該協同勢函數與受限制姿態機動問題結合,分別討論分數形式和對數形式下,勢函數在軟約束區域內臨界點分布和勢函數參數的關系;第3 節以比例-微分控制為例,進行仿真驗證.

1 相關理論基礎

1.1 符號說明

本文以旋轉矩陣R作為姿態參數展開研究,旋轉矩陣形成的三維特殊正交群記作SO(3):={R∈R3×3|RTR=RRT=I,det(R)=1}.I∈R3×3是單位矩陣.SO(3) 以矩陣乘法作為群乘法時,是一個李群,其對應的李代數用 so(3) 表示,so(3) 的群元是三階反對稱矩陣,即so(3)={S∈R3×3:ST=-S}.對于任意向量x∈R3,定義線性映射[·]×:R3→so(3) 和它的逆映射 [· ]∨:so(3)→R3為:

對? R1,R2,R3∈SO(3),如果映射Φ:SO(3)×SO(3)→R≥0滿足:

則映射 Φ 被稱為S O(3) 上的度量.如果度量滿足Φ(RR1,RR2)=Φ(R1,R2),?R∈SO(3),則稱之為左不變的;如果滿足Φ(R1R,R2R)=Φ(R1,R2),?R∈SO(3),則稱之為右不變的.本文用到的SO(3)上的度量是角距離度量,即:

角距離度量是一種雙平移不變度量[17].利用平移不變性,角距離度量也可以寫為:

令集合D ?SO(3),如果連續可微的函數V:SO(3)→R≥0滿足:

1)? R∈SO(3)D,V(R)＞0;

2)V(D)=0.

則V被稱為S O(3) 上相對于集合D的勢函數.

1.2 性質與引理

本節介紹對后續分析有幫助的性質和引理.令A是一個實對稱矩陣,定義勢函數:

下面列出在本文中使用的引理.

引理1.令0＜α＜α+Δα＜π/2,x∈(α,α+Δα],則函數f(x)=2 sinx/(cosα-cosx) 的取值范圍為 [f(α+Δα),+∞).

1.3 問題描述

假設航天器本體系相對于慣性系的姿態用Rb∈SO(3) 表示,姿態機動的目標姿態用Rd∈SO(3) 表示.令ω表示航天器本體系下的角速度矢量,ω d表示期望角速度.假設慣性矩陣J是對角陣,則航天器的運動學和動力學方程為:

航天器姿態機動過程中存在各種限制,本文考慮一種幾何視場約束,即航天器上某個指向需要避開特定區域.如圖1 所示,圖1 中下標B表示本體系,下標I表示慣性系.令單位向量r∈R3表示與航天器固連的敏感指向,單位向量v∈R3表示慣性系下固定的不期望指向(例如明亮的星體),航天器在姿態機動過程中,單位向量r和v夾角應滿足:

圖1 姿態限制示意圖Fig.1 Illustration of attitude constraint

因此,本文中勢函數設計的目標是在所設計的勢函數指導下,航天器的姿態誤差Re趨向于I,同時始終滿足式(9).

2 協同勢函數設計

2.1 勢函數與臨界點

利用內積的定義和性質2),勢函數V(R(t)) 對時間的導數是:

例如,對于勢函數(4),有下列結果:

通過解上述方程可知,勢函數(4)共有4 個臨界點[8]:

式中,E(A) 表示A的所有單位特征向量組成的集合.

對任意的勢函數V,都存在至少4 個臨界點[20],基于勢函數梯度的反饋控制律在靠近臨界點時,逐漸減小直至為零.為了實現全局收斂的結果,本文使用一族協同的共單位元勢函數進行控制.給定一個有限的指標集Q?N,{Vq}q∈Q是一族勢函數,如果單位元I是所有勢函數公共的臨界點,則稱這樣的一族勢函數為共單位元的勢函數.對于勢函數族{Vq}q∈Q,如果存在一個常數δ＞0,使得:

則稱勢函數族 {Vq}q∈Q是協同的.粗略地,“共單位元”意味著在這一族勢函數控制下,姿態有相同的收斂方向(單位元I);“協同”意味著在某個勢函數臨界時,存在另一個非臨界且取值更低的勢函數,如果切換為非臨界的勢函數進行控制,姿態將繼續向目標姿態收斂.

為了說明協同勢函數在姿態控制中的作用和切換邏輯,假設航天器的一條姿態軌跡經過2 個非期望臨界點的鄰域,這2 個臨界點分別屬于P1,A和P2,A,則勢函數隨時間變化曲線和切換時各勢函數與臨界點關系如圖2 所示,其中狀態N和M在第3 節定義.在單一勢函數P1,A(或P2,A)的控制下,軌跡在t1(或t2)時刻,進入勢函數所屬的非期望臨界點鄰域,此后基于勢函數梯度的姿態控制項將減小,甚至為零.為避免該問題導致收斂過慢,將在進入時刻進行切換.如圖2 所示,在t3時刻,姿態軌跡處于勢函數P1,A的非期望臨界點,勢函數停止收斂,此時存在勢函數P2,A在該點不臨界且其取值更低.因此,在混合控制中,根據勢函數差值在t2時刻提前進行控制切換,由P1,A跳轉到P2,A;同樣在t1時刻,由P2,A跳轉到P1,A,最終混合控制中勢函數的變化曲線如圖2 橙色粗線所示.

圖3 kPA(R) 取值范圍隨 Φ R 的變化曲線Fig.3 The change curve of the range of kPA(R) with ΦR

為了構建協同勢函數族,定義映射T:SO(3)→SO(3)為:

式中,k∈R,u∈S2.映射T的作用是對旋轉矩陣R左乘“擾動”旋轉矩陣,該“擾動”矩陣由指數映射生成,轉軸u和轉角kPA(R) 是待設計的軸角參數.因此,簡記Rc=T(R,k,PA,u)=RT R,其中RT是足時,協同勢函數族{Pq,A(R)}q∈Q“擾動”旋轉矩陣.令Q={1,2},q∈Q,當參數k滿可以按如下形式構建[8]:

2.2 受限制姿態控制的協同勢函數族設計

假設航天器初始姿態位于姿態障礙以外,航天器誤差運動模型和勢函數設計目標如第1.2 節所述.定義SO(3) 的一個子集為:

該子集定義了姿態限制的軟約束區域,進入該區域時勢函數將進行避障切換.為在全局收斂情況下完成受限制姿態機動,本文設計了如下形式的勢函數用于姿態機動問題:

式中,α+Δα＜π/2,Δα是待設計參數,Pq,A(Re)是針對目標姿態的吸引項勢函數,PO(Re) 是待設計的用于避開姿態障礙的排斥項勢函數,以分數形式的PO(Re) 為例:

式中,v d=RTdv;a和b是兩個正的參數,文獻[13,21-22]取a=1 或a=2,本文考慮更一般情況即只要求a＞0.在實際的姿態機動中,可能存在多個姿態限制,本文方法適用于單敏感軸多約束問題.具體來說,為每個指向約束設計了不相交的軟約束區域,當航天器姿態進入軟約束區域內,即敏感軸在慣性系下指向Rbr和禁止指向v夾角小于α+Δα時,切換為避障勢函數,因此只需討論單個約束下如何實現姿態機動即可.對于某個給定的姿態限制有下述引理成立.

引理5.對? Re∈E,ε=arccos〈Rdr,v〉-(α+Δα).

證明.旋轉矩陣R作用于單位向量后,會使單位向量發生旋轉.角距離的定義指出,旋轉前/后向量的夾角不超過旋轉矩陣R的角距離.對? Re∈E,敏感軸為了轉動到目標指向,轉角至少是 arccos〈Rdr,v〉-(α+Δα).因此引理5 成立.

集合E在引理5 中的性質如圖4 所示.對?Re∈/E,姿態的全局收斂性已經由協同勢函數族{Pq,A(Re)}q∈Q保證[23].為保證全局收斂,本文討論避障區域內勢函數族 {Vq(Re)}q∈Q臨界點分布情況.

圖4 引理5 的圖示Fig.4 Illustration of lemma 5

勢函數族{Vq(Re)}q∈Q在避障區域內無臨界點.在該勢函數族控制下,航天器可以避開姿態障礙從任意的初始姿態機動到目標姿態.

證明.為簡化書寫,對證明中多次出現的符號簡寫如下:

對? Re∈E,根據勢函數求導定義計算,可得:

利用性質1)和映射ψ的定義,有:

將Rc和式(28)代入式(26),可得:

1)對? Re∈E,證明‖y‖存在下限.

向量y的2 范數為:

利用性質3),有:

因此,對? Re∈E,勢函數PA(Rc) 存在最小值,即:

利用引理1,可知:

2)對?Re∈E,證明‖x‖存在上限.

將式(17)代入x,利用ψ(-B)=有:

利用范數三角不等式,有:

式中,uT[Reψ(ARc)]∈R,并且有:

式(38)可寫為:

利用性質4),有:

因此,可得‖x‖的上限為:

3)討論E內勢函數的臨界點.若:

則有:

對于? Re∈E,有:

首先,勢函數族{Vq(Re)}q∈Q在避障區域內無臨界點;然后,在姿態機動過程中,當慣性系下敏感軸指向Rbr和禁止指向v的夾角趨于α時,PO(Re)趨于無窮大,因此姿態機動過程可以避開障礙;最后,任給初始姿態Re(0),若該姿態是非臨界點,則在勢函數的控制下向單位元I收斂.若該姿態是臨界點,則Re(0) ∈/E,在協同性要求下,利用混合控制可實現向單位元I收斂[23].因此,航天器可以避開姿態障礙,從任意的初始姿態機動到目標姿態.

2.3 對數形式排斥勢函數的臨界點分析

在基于勢函數的受限制姿態機動問題中,除分數形式排斥勢函數(21)外,還有對數形式的排斥勢函數[16,24]:

式中,a、b、c是常數.在第2.2 節中,本文得出在考慮姿態受限情形下姿態全局收斂的參數設計要求(23).本節將證明對數形式排斥勢函數也可以經過相似推導得出參數設計要求,以此說明本文方法的可拓展性.

對于式(49),利用勢函數導數相關定義計算,可得:

因此,有:

取函數f(γ) 為:

因此,式(54)有最小值,利用和定理1 類似的推理方式,可得對數形式排斥勢函數的參數設計要求.

文獻[10,23]利用“角度擾動”方法構建協同勢函數族,將其應用在無約束的姿態機動控制中,實現了姿態全局收斂.本文將這種構造方法應用到受限姿態機動任務的勢函數設計中,實現了帶有禁止指向約束的姿態全局收斂.與其他處理受限姿態機動問題的勢函數方法[15-16,24]相比,本文方法的優點是不依賴勢函數凸性假設,可避開非期望的臨界點實現全局收斂;缺點是勢函數切換會造成控制律突變,不能處理強制指向約束.第3 節將通過仿真分析具體討論本文方法的優缺點.

3 方法驗證

本節將建立航天器姿態受限情形下的混合控制模型,利用第2.2 節提出的協同勢函數族{Vq(Re)}q∈Q進行控制,來驗證方法有效性.

3.1 航天器混合控制模型

基于勢函數族 {Vq(Re)}q∈Q,定義下列兩個函數:

在混合控制中,系統狀態 (Re,ωe,q) 被分成M,N∈SO(3)×R3×Q兩個集合:

式中,δ為式(14)給定的協同間隙.令x=(Re,ωe),根據不同的系統狀態,當 (x,q)∈M時,式(7)、式(8)航天器模型可寫為連續模型:

當 (x,q)∈N時,可寫為切換模型:

即系統狀態位于集合M中時,勢函數指標不變,航天器的狀態遵循微分方程式(7)、式(8)連續變化.文獻[23] 指出,協同勢函數族的所有非單位元的臨界點都落在集合N中,此時航天器狀態不改變,勢函數指標發生切換,切換到非臨界且值最低的勢函數進行控制.設計比例-微分反饋控制律如下:

在該控制律下的穩定性分析見文獻[23].

3.2 參數設計和仿真結果

為了驗證避障和切換控制,本節進行了3 種仿真案例分析.仿真中,姿態限制假定為3 個,具體信息如表1 所示.針對這3 個姿態限制,勢函數中的參數 Δα分別為10°、5°和8°.假設航天器的轉動慣量矩陣J=diag{4,5,4.5}kg·m2.根據式(23) 要求,勢函數參數設計為w=[0.3,0.4,0.6]T,u=w/‖w‖,A=diag{0.3,0.4,0.6},k=0.25,a=0.7,b=1/20.在上述參數下,對于每一個姿態約束,不等式組(23)都能得到滿足.根據式(13)、函數(4),在上述參數下的奇異點為 CritPA={I}∪R(π,ei),i=1,2,3,其中ei是3 維空間R3的標準正交基.協同勢函數族{Pq,A(Re)}q∈Q的 6 個非單位元臨界點可根據式(17)確定,當姿態誤差處于這些臨界點時,指向r在慣性系下的指向以三角符號表示,見圖5～7.可以看出,這些指向都落在集合E之外.

表1 慣性系下姿態限制Table 1 Attitude constraints in the inertial frame

圖5 無切換下姿態機動仿真Fig.5 Attitude maneuver simulation without switching

控制器參數設置如下: 在案例1 中,設置δ=0.06,k p=1,k d=5,仿真時間為 6 0 s;在案例2 和案例3 中,設置δ=0.06,k p=1,k d=3,仿真時間為40 s.在3 個案例中,都假定航天器存在力矩飽和,力矩飽和值為0.5 N·m.

案例1.無任何切換

假設航天器的目標姿態、初始姿態誤差和航天器在本體下固連的指向分別為:

案例1 使用上述初始條件進行2 組仿真實驗,航天器的初始指向位于姿態約束CZ2 下方,目標姿態位于姿態約束CZ2 和 CZ3 之間.航天器初始姿態誤差Re(0) 位于勢函數P1,A(Re) 的臨界點鄰域內,2 組仿真沒有進行避障切換,分別在勢函數P1,A(Re)和P2,A(Re) 控制下,繞過CZ3 運動至目標姿態.在2 組仿真實驗中,向量r的指向軌跡如圖5(a) 所示,勢函數值變化曲線如圖5(b) 所示.第1 組仿真實驗從臨界點鄰域開始機動,機動路徑更長,在t＜20 s 時,勢函數基本保持不變;在t=50 s時,完成收斂.相比之下,第2 組仿真實驗從非臨界點鄰域開始姿態機動,機動路徑更短,勢函數收斂更快,在t=30 s 時,完成收斂.2 組仿真實驗的控制力矩和角速度誤差變化曲線如圖5(c)和5(d)所示.由于第1 組仿真從臨界點鄰域開始,導致收斂緩慢,因此圖5(c)的峰值出現時間晚于圖5(d).案例1 用于說明臨界點問題的極端情況,當姿態靠近勢函數的臨界點時,收斂變慢.根據式(10),若恰好處于臨界點,則會完全停止收斂.

案例2.避障切換

在案例2 中,本文進行了2 組仿真實驗.在第1 組仿真實驗中,假設航天器的目標姿態、初始姿態誤差和航天器在本體下固連的指向分別為:

在第2 組仿真實驗中,假設航天器的目標姿態、初始姿態誤差和航天器在本體下固連的指向分別為:

在2 組仿真實驗中,目標姿態下向量r的指向相同,位于CZ2 和CZ3 之間;而位于CZ1 下方的起始指向不同.在第1 組仿真初值下,向量r的指向軌跡如圖6(a)中虛線所示,軌跡由CZ2 下方繞過CZ2,到達目標點.在繞過CZ2 時,存在1 次轉折,這是由于勢函數在t=6 s 時,進行了避障切換,規避姿態約束CZ2.勢函數隨時間變化趨勢如圖6(b)中虛線所示,在t=20 s 后,收斂到0,姿態機動完成.在第2 組實驗條件下,向量r的指向軌跡如圖6(a)中實線所示,軌跡穿過CZ1 和CZ2,到達目標點,分別在靠近CZ1 和CZ2 時有一次轉折.這是因為勢函數在t=1.6 s 時進行避障切換,規避CZ1;在t=7s 時進行避障切換,規避 CZ2.勢函數變化趨勢如圖6(b)中實線所示,在t=20 s 后,收斂到0,姿態機動完成.2 組仿真的控制力矩和角速度誤差變化曲線如圖6(c)和6(d)所示,每次勢函數切換都導致了控制力矩和角速度突變,控制力矩在切換時飽和.案例2 說明本文設計的勢函數在規避姿態約束上的有效性,以及切換控制對航天器狀態的影響.

圖6 避障切換下姿態機動仿真Fig.6 Attitude maneuver simulation when avoiding attitude constraints

案例3.臨界點切換

假設航天器的目標姿態、初始姿態誤差和航天器在本體下固連的指向分別為:

如圖7 所示,在上述初始條件下,向量r的初始指向位于CZ1 左下方,目標指向位于CZ2 和CZ3 之間.該指向從 CZ2 下方繞過CZ2,到達目標指向.航天器在12 s 前,基于勢函數P2,A進行姿態控制;在t=12 s 時,姿態靠近臨界點,滿足切換控制模型式(61)和式(62),勢函數發生切換,切換到值更低的勢函數P1,A進行姿態控制.如圖7(c)所示,控制力矩和角速度誤差在勢函數切換時突變.在t=25 s 后,勢函數收斂到0,姿態機動完成.案例3 說明本文方法在規避非期望臨界點時的一般情況,如圖2 所示,在進入非期望臨界點某一給定的鄰域時,就通過切換勢函數避開該鄰域.

圖7 臨界點切換下姿態機動仿真Fig.7 Attitude maneuver simulation when avoiding critical points

綜上所述,1)由上述仿真實驗可知,為了規避非期望的臨界點和姿態限制,勢函數的切換會導致控制力矩發生突變,該突變值上限受勢函數參數的影響,在勢函數參數選取時,應在滿足式(23)基礎上,兼顧力矩突變大小.2)控制器的參數選取應兼顧力矩和機動時間與最終指向誤差等收斂效果的需求.3)勢函數非期望臨界點的分布是其固有性質,僅與勢函數參數有關,與動力學或運動學的不確定性無關.但不確定性的存在會影響航天器對本文算法所給出的期望控制力矩的執行,進而影響航天器的實際機動路徑,此時無法保證航天器能夠規避姿態約束和非期望臨界點.

4 結束語

在姿態受約束情況下,基于旋轉矩陣設計可規避臨界點并實現姿態全局收斂的協同勢函數.為每一個姿態約束設計軟約束區域,在軟約束區域內,避障勢函數由相對目標姿態的吸引項和相對姿態約束的排斥項構成,當航天器姿態運動到該區域內,切換為避障勢函數.針對常見的分數形式和對數形式排斥項,討論了本文的避障勢函數的臨界點分布和勢函數參數的關系,給出了避障區域內不存在臨界點的參數要求.仿真實驗結果表明,航天器能夠在本文設計的勢函數控制下規避姿態約束,收斂到目標姿態.由于本文進行了勢函數切換,在切換時控制律不連續,未來將考慮如何改善控制律突變對系統的影響.