基于小波變換的全息圖壓縮編碼比較研究

付 泰，陳艾帥，胡 磊，桂進斌，吳佳雪，王曉詩，許路昕

（昆明理工大學 理學院，云南 昆明 650500）

引言

全息三維顯示作為一種真三維顯示技術，近年來成為三維顯示領域的研究熱點問題，被認為是未來最有前景的顯示技術，同時將促進全息通信技術的發展[1]。記錄三維場景的全息圖包含了龐大的數據信息，其對通信的帶寬及存儲要求更高，全息視頻圖像壓縮編碼是促進全息三維顯示及全息通信技術發展的必要工作[2]。由于全息圖像素間的無關性，使用傳統的二維圖像壓縮方法對全息圖進行壓縮，會導致全息圖的壓縮效率低和再現像失真，因此，全息數據壓縮很有必要。

許多學者對全息數據壓縮進行了研究[3-4]。近年來的國際研究[3]將全息壓縮編碼主要方法分為基于標準、基于量化、基于變換和其他特殊方式?；跇藴实膲嚎s方案中，XING Y 等[5]針對相移全息的問題，提出了一種基于JPEG2000[6]的自適應矢量提升方案，該方法壓縮后的三維物體的重建質量優于傳統方法。JIAO S 等[7]將JPEG 結合深度學習對純相位全息圖進行壓縮，采用深度卷積神經網絡來減少JPEG 壓縮全息圖中的偽影，該方法在減小原始全息圖數據量的同時保證了重構圖像的質量?；诹炕膲嚎s方案中，SHORTT 提出[8]了將k-means 聚類分析應用到全息圖的非均勻量化技術上，將聚類中心定位到距離質心最遠的數據向量來處理空簇，獲得了40 的高壓縮比?；谧儞Q的壓縮方案中，NAUGHTON 等[9]將離散余弦變換(DCT)用于全息圖壓縮，再量化將不同區間的系數，然后通過編碼進一步壓縮。CHEREMKHIN P A 和KURBATOVA E A[10]提出了一種利用Meyer 和反向的雙正交小波壓縮離軸數字全息圖的方法，通過閾值處理和量化對小波分解系數進行有損壓縮，采用實部/虛部和振幅/相位壓縮保證重建質量同時提高壓縮比。HAJIHASHEMI V[11]提出了一種基于小波變換的數字全息系統(物面)HEVC 改進方法，利用小波變換減小復雜目標波場實部和虛部的大小，再結合最近鄰插值和小波在圖像大小調整中的不相似性來保持全息圖的細節，實現了保持且略微提高信號保證度的同時，降低了BD 比特率。近年來許多學者還提供了利用深度學習的壓縮全息圖方案，HOU S 等[12]提出了一種量子激勵神經網絡中用于壓縮CGH（computer-generated holograms，計算機生成的全息圖）的優化初始權重方案，采用量子激勵神經網絡結構+帶殘差學習深度卷積網絡并行對全息圖像進行壓縮，并且用優化的初始權重生成策略來加速壓縮過程，該研究能夠有效地降低壓縮噪聲，提高壓縮CGH 的重建圖像質量。KO H 等[13]提出了一種基于深度學習的純相位全息圖圖像壓縮網絡框架DeepHolo，該網絡通過數據增強技術以端到端的方式進行訓練，并且以最小化輸入全息圖的熵為目標，BD(Bj?ntegaard-Delta rate)速率增益超過了最新壓縮標準視頻編碼39%。在上述全息圖壓縮研究中，使用小波變換獲得了不錯的壓縮比和再現質量，通過小波變換多分辨率分析的特點，能夠將全息圖的高頻和低頻信息分離，方便對其進行有效的頻域閾值，減少全息圖像冗余。在小波變換中有很多小波基，研究如何選擇小波基對全息圖進行壓縮編碼，具有指導意義。

本文基于離散小波變換和圖像壓縮理論，使用小波閾值和量化的方法有損壓縮全息圖，對比分析使用不同小波基閾值對全息圖再現像質量和全息圖壓縮比的影響。分別對振幅型離軸數字全息圖和相息圖進行壓縮，通過仿真數據分析實驗使用不同小波基對全息圖的空域和頻域進行閾值壓縮處理，再進行數值全息重建。由于小波閾值只能改變全息圖系數矩陣的系數值大小，并不能減小數據量，因此對處理后的全息圖進行量化和用Huffman 編碼對數據進一步壓縮。

1 壓縮原理及步驟

1.1 振幅型數字全息圖及相息圖

為驗證方法的適用性，本文使用振幅型離軸數字全息圖和相息圖兩種全息圖進行測試。

離軸數字全息圖是使用與物光場有一定夾角的參考光記錄的數字全息圖[14-16]，如圖1 所示，激光照明位于 (x0,y0)平面的物體，物光波衍射到位于(x,y)全息記錄面上時復振幅分布為O(x,y)：

圖1 離軸數字全息圖記錄示意圖Fig.1 Schematic diagram of off-axis Fresnel digital hologram recording

與z軸負方向夾角為 θ的平面參考光R在全息圖記錄面相干涉，此時參考光的復振幅分布為R(x,y)：

全息記錄面上對應的光強分布I(x,y)表示為

式中：2πay和 ?0表示參考光波和物光波在全息圖平面的相位分布，參考光沿y軸方向空間頻率a=(sinθ)/λ。最后在CCD 接收面上記錄數字全息圖。

相息圖因其光軸方向只有單個重建像、衍射效率高受到高度關注，在三維顯示及光場調控中獲得廣泛應用。本文使用Gerchberg-Saxton(GS)算法生成相息圖[17-18]，利用空域和頻域之間正反傅里葉變換與空域和頻域的約束條件，反復迭代30 次，最后生成本文使用的相息圖。

GS 算法具體步驟如下文。首先對n-1 次迭代的結果進行傅里葉變換，并保持得到的頻域相位不變，振幅歸一化：

其次對歸一化頻域分布進行逆傅里葉變換：

最后保留逆傅里葉變換后的相位信息，將振幅分布替換原圖像振幅g0(x,y)，并將所得結果代入上一步驟，即對更新的值進行傅里葉變換：

1.2 基于小波變換壓縮原理

小波變換[19]是將一個信號分解成由基小波φ(t)經過移位和縮放后的一系列小波。由于連續小波變換，尺度和平移系數會連續取值，產生巨大計算量，且圖像為系數矩陣，因此本文使用離散小波變換，對信號f(t)進行離散小波變換的表達式如式（7）：

式中：〈〉表示內積；φj,k(t)表示離散小波函數。如圖2所示，從濾波的角度來看，小波分解是根據小波基函數及以對應的尺度函數得到相應的高低通濾波器（小波系數矩陣），將小波基對應的高通和低通濾波器在時域與圖像進行卷積，得到高頻系數HL、LH、HH 和低頻系數LL，再對低頻系數LL 多次小波分解，得到如圖2(b)所示的金字塔式結構，其中高頻系數描述了原始圖像的細節信息，低頻系數則描述了圖像的基本信息。使用不同的小波基進行小波分解得到的系數，在表示圖像的基本和細節信息時會存在差別，本文所涉及的全息圖壓縮是對各尺度上的信息進行處理，因此需要找到合適的小波基對目標全息圖進行表示。

圖2 二維小波分解Fig.2 Two-dimensional wavelet decomposition

目前4 種常用的不同類型的小波分別是：Haar、Daubechies、Symlet 和Biorthogonal 小波系[20-22]。

Haar 小波是最簡單的具有緊支撐的正交小波，因為它只有一階消失矩，所以不太合適逼近光滑信號?；瘮档亩x如（8）式：

而Daubechies 小波是實的緊支正交小波基。在任意給定的消失矩p下，滿足F0(ejω)，并通過小波函數如式(9)所示，求出低通濾波器h={h0,h1,···,h2p-1}，從而構建出Daubechies 小波。由于Daubechies 小波不具有對稱性(非線性相位)，所以對圖像分解和重構時會產生一定的失真。

Symlet 小波是雙正交小波，為通過對Daubechies 小波中F0(ejω)做選擇優化而得到的具有近似對稱的小波，在一定程度上減少了對圖像進行分解和重構時的相位失真，其具有p階消失矩和支撐長度[-p+1，p]。

為了解決對稱性和對圖像分解產生的失真問題，引入了雙正交Biorthogonal 小波，它使用兩個對偶的小波分別用于圖像信號的分解和重構。在JPEG2000 壓縮標準中，默認的無損圖像壓縮使用的小波濾波器為(5-3)小波濾波器，即bior2.2 小波基，而有損圖像壓縮默認的小波濾波器為(9-7)小波濾波器，即bior4.4 小波基。

本文采用對全息圖小波閾值壓縮的方式壓縮全息圖數據，即對分解后的金字塔式系數矩陣選取合適的閾值，小于該閾值的系數全部歸零，從而增加系數中零的個數，達到信息量減少的目的，實現壓縮全息圖像數據。

1.3 全息圖的壓縮步驟

本文基于二維小波變換對全息圖進行壓縮，采用小波閾值、均勻量化和Huffman 編碼3 個步驟對全息圖進行壓縮編碼。

1）首先分別對全息圖空域數據和全息圖頻域數據進行小波分解，并對小波系數賦予閾值。分別對全息圖空域數據和全息圖頻域數據進行3 層小波變換，通過設定閾值方式，將小波系數中小于閾值的系數取值為零，大于閾值的系數保留。其中，小波閾值方法有全局閾值和分層閾值，這里選擇全局閾值，即所有系數使用同一個閾值進行系數處理。由于硬閾值處理能更多地保留真實信號的峰值特征，閾值處理時采用硬閾值方式，具體表達式如下：

2）其次對全息圖數據進行量化處理。對全息圖系數矩陣進行均勻量化處理，首先得到系數矩陣內值的取值范圍 [xmin,xmax]，然后依據取值范圍劃分為M=2N個區間，將系數矩陣分別量化為量化系數4、8、16、32 的全息圖數據，其中量化間隔為 Δ，如公式(11)所示。將系數矩陣中在相應量化間隔內的系數取為固定值，雖然會導致信息丟失，但是數據復雜度降低，量化方式簡單利于實現，且方便進行下一步Huffman 編碼。

3）最后對有損壓縮后的系數進行熵編碼。使用無損數據壓縮的熵編碼（Huffman 編碼），對上一步處理后的全息數據進行編碼，每種不同的像素值對應一種碼字，并將對應關系記錄在碼表中，最后全息數據全部被碼字所代替形成字符串。

壓縮方法的示意圖如圖3 所示。

圖3 全息圖壓縮流程圖Fig.3 Flow chart of hologram compression

2 仿真實驗

本文的測試圖像是反射式振幅型離軸數字模擬全息圖和計算機迭代30 次生成的相息圖。一般二維圖像的壓縮是針對圖像的空域進行有損壓縮處理的，由于全息圖的空域像素間相干性特點，全息圖頻譜中的高頻和低頻信息包含了原物場的大部分信息，使用小波變換對全息圖的頻譜進行閾值有損壓縮，與空域處理的結果作為對比。

采用的光源光波波長為632.8 nm，物到全息記錄面的距離為0.5 m，CCD 面陣尺寸為5 mm，參考光角度為0.78。模擬生成的離軸數字全息圖的具體步驟如下：

1）調入輸入圖像，將圖像的大小調整為512×512像素；

2）采用模擬物光場，并與一定角度的參考光相互干涉得到全息圖；

3）通過再現模擬算法得到全息再現像；

高職院校是軍隊優質兵員的戰略儲備基地，有義務、有責任做好大學生應征入伍工作，退役復學高職生就是學校征兵工作的最佳代言人。退役復學高職生參與學校征兵宣傳工作、入伍咨詢工作、軍營生活解讀工作、軍事訓練展示工作，具有明顯的優勢[3]。他們熟悉軍營，熟悉軍事訓練，能帶動更多的有志青年投筆從戎，為保衛祖國盡一份力，為部隊改善兵員素質、提高兵員質量做出應有的貢獻。

4）有損壓縮編碼后的全息圖，再重復步驟3）可得壓縮后再現像。

相息圖的具體生成步驟如下：

1）調入圖像作為振幅信息，大小為624×678像素；

2）計算機生成隨機相位矩陣作為相位信息，大小為 624×678像素；

3）使用GS 迭代算法迭代30 次，得到原始相息圖；

4）傅里葉逆變換相位得到相息圖再現像；

5）有損壓縮編碼后的相息圖，使用步驟4）可得壓縮后再現像。

反射式的振幅型離軸數字與相息圖模擬生成的圖像如圖4 所示。

圖4 全息圖模擬Fig.4 Holographic simulation

比較壓縮后的全息圖再現像與原始全息圖再現像的峰值信噪比(PSNR)，原始全息圖的存儲字節大小與Huffman 編碼后數據流存儲大小比值為壓縮比。

2.1 離軸數字全息圖壓縮對比分析

本文對振幅型離軸數字全息圖的空域、頻域的實部和虛部以及頻域的振幅和相位分別進行閾值壓縮后編碼處理。為了測試不同樣式的離軸數字全息圖壓縮效果，本文分別對簡單圖像（“光”字）和復雜圖像（“京劇猴臉”圖）進行壓縮測試。

小波基閾值有損壓縮處理簡單圖像離軸數字全息圖如圖5 所示，可以看出壓縮后的離軸數字全息圖仍然保留干涉條紋信息。

圖5 離軸數字全息圖壓縮Fig.5 Compression of off-axis digital hologram

表1 展示了分別使用不同小波基壓縮離軸數字全息圖空域和頻域后得到的再現像PSNR 和全息圖的壓縮比。由于每種小波基都對全息圖的空域和頻域分別進行了小波閾值和4 個等級均勻量化，將各量化等級中每種小波系中最高的PSNR 和最高壓縮比C展現出來。

表1 離軸數字全息圖不同小波基閾值再現像PSNR 和壓縮比Table 1 PSNR and compression ratio of reconstructed image with different wavelet basis thresholds in off-axis digital hologram

從表1 中可以看出，壓縮后的離軸數字全息圖再現像質量會隨著量化等級的提高而提高，其中對頻域的實部和虛部進行壓縮得到的再現像質量最高，在均勻量化等級為32 時，PSNR 達到了26 dB以上，對離軸數字全息圖的空域壓縮中，在同種小波系中，haar 和db2 小波基能夠得到較好的再現像質量，其中使用db2 得到的再現像質量最好，量化等級為32 時，其PSNR 達到了25.80 dB；對離軸數字全息圖頻域的振幅和相位進行壓縮時，在同種小波系中，haar 和db3 小波基能夠得到較好的再現像質量，其中使用db3 得到的再現像質量最好，量化等級為32 時，其PSNR 達到了25.86 dB。

在保證較高再現像質量的同時，研究小波基對壓縮比影響。隨著量化等級的增加，壓縮比隨之降低，其中對全息圖頻域的實部和虛部壓縮時，得到的壓縮比高于對全息圖的空域或者頻域振幅和相位進行壓縮。對全息圖進行壓縮時，使用Biorthogonal 小波得到的壓縮比最高，能夠得到更高的壓縮比，如：bior2.2、bior3.9 和bior4.4 小波基。其中在全息圖的實部和虛部進行量化等級為4 的壓縮時，使用bior3.9 小波基，壓縮比達到了6.81。

各類小波基閾值有損壓縮處理簡單圖像離軸數字全息圖的最高壓縮比再現像和最高PSNR 圖像如圖6 所示。

圖6 簡單圖像離軸數字全息圖壓縮前后再現像Fig.6 Reconstructed images before and after off-axis digital holography compression of simple images

由圖6(b)和圖6 (c1)可看出，在空域小波閾值有損壓縮時，Daubechies 小波處理后的全息圖再現像會出現缺失，而Haar 小波能保證重建圖像完整，Haar 小波更適合用于空域閾值處理。

由以上測試結果可以得到如何選擇使用不同小波基壓縮簡單圖像離軸數字全息圖。為了更好地在不同壓縮全息圖情況下選擇合適的小波基，本文測試了小波基閾值有損壓縮處理復雜圖像離軸數字全息圖所得的再現像。如圖7，對于復雜圖像同樣有著較好的壓縮效率和較高的重建質量。

圖7 復雜圖像離軸數字全息圖壓縮前后再現像Fig.7 Reconstructed images before and after off-axis digital holography compression of complex images

2.2 迭代相息圖壓縮對比分析

由于迭代相息圖只將光波的相位信息編碼到全息圖中，以相位信息表示圖像的振幅信息。相息圖的特點完全不同于離軸數字全息圖，對相息圖的壓縮更加困難，壓縮比和重建圖像質量會非常低，本文對相息圖進行了初步測試。對迭代相息圖的空域和頻域進行了與離軸數字全息圖相同的小波閾值有損壓縮和量化編碼測試操作。

由于相息圖的特殊性，本文只選用各類小波最常用的小波基處理相息圖。相息圖通過小波閾值和量化編碼處理后，得到的再現像PSNR 和壓縮比情況如表2 所示，各類小波閾值處理后量化系數為8 的再現像如圖8 所示。

表2 相息圖不同小波基閾值再現像PSNR 和壓縮比Table 2 PSNR and compression ratio of reconstructed images with different wavelet basis thresholds in phase hologram

圖8 小波閾值后相息圖再現像(其中1、2、3、4 分別為使用sym4、haar、db1 和bior3.1 小波基)Fig.8 Reconstructed images of phase hologram after wavelet threshold (1,2,3 and 4 uses sym4,haar,db1 and bior3.1 wavelet bases respectively)

通過對相息圖的頻域的實部和虛部進行壓縮，得到的再現像質量相對相息圖空域壓縮或者頻域的振幅和相位壓縮得到的再現像質量高。如表2 所示，對相息圖的空域進行壓縮時，Symlet 和Daubechies 小波能夠得到較好的再現像，當量化等級為32 時PSNR 達到28.197 9 dB 和29.768 4 dB；對相息圖的頻域實部和虛部進行壓縮時，Haar 和Daubechies 小波得到的再現像質量較好，當量化等級為32 時，其PSNR 達到了32.320 7 dB；對相息圖的頻域振幅和相位進行壓縮時，Symlet 和Daubechies 小波得到的再現像質量較好，其中Daubechies 小波得到了最好質量的再現像，當量化等級為32 時，其PSNR 達到了27.253 4 dB 和28.067 7 dB。

相息圖的壓縮比情況如表2 所示，對相息圖的實部和虛部進行壓縮編碼，得到的壓縮比高于對空域或者頻域振幅和相位壓縮編碼得到的壓縮比，并且使用Biorthogonal 小波得到的壓縮比存在明顯優勢，在量化等級為4 時，壓縮比達到了4.471 8，量化等級為8 時達到了3.105 0。

圖8 展示了相息圖小波閾值和量化前后的再現像。經過壓縮后的相息圖再現像出現了噪聲，其中對相息圖的振幅和相位壓縮得到的再現像噪聲較少，再現像質量最優，而對相息圖的實部和虛部進行壓縮得到的再現像質量最差，噪聲較多。

3 結論

本文基于離散小波變換和圖像壓縮理論，使用小波閾值和量化的方法有損壓縮全息圖，對比分析使用不同小波基閾值對全息圖再現像質量和全息圖壓縮比的影響。分別對振幅型離軸數字全息圖和相息圖進行壓縮，通過仿真數據分析實驗使用不同小波基對全息圖的空域和頻域進行閾值壓縮處理，再進行數值全息重建。經過測試分析，對離軸數字全息圖小波閾值有損壓縮后，Haar 和db5 小波基得到的再現像質量最高，其PSNR 達到了26.38 dB，使用sym2 和db2 小波得到的壓縮比最高，達到了6.68。對迭代相息圖小波閾值有損壓縮后，Haar 和Daubechies 小波得到的再現像質量最高，其PSNR 達到了32.32 dB，使用Biorthogonal小波得到的壓縮比最高，達到了4.47。經過對不同小波基壓縮全息圖分析后，為全息圖小波壓縮編碼中小波基的選擇提供新的思路，為小波變換壓縮全息圖用于顯示和成像提供參考。