考慮變荷載與非達西滲流的軟土一維非線性固結分析

胡 閩,曹文貴,崔鵬陸,徐 贊,李慧鑫,李兆帥

(湖南大學 土木工程學院,長沙 410082)

0 引 言

土體固結與土體變形和強度直接相關,土體的非線性固結是目前研究的熱點。傳統的非線性固結都需要通過測量土體的初始有效應力對土體的固結過程進行分析,且無法解決土體初始有效應力為0對其孔隙比造成的奇異性影響,同時,土體的固結還會受到非達西滲流[1-4]的影響。因此,考慮土體中的非達西滲流與土體非線性壓縮模型來解決以上問題有很重要的理論與工程意義。

多年來,土的一維非線性固結理論的研究已取得較大進展[5-9]。其中,Davis等[5]提出了孔隙比e與有效應力σ′的關系,在有效應力和固結系數沿土的深度不變的假定下給出了土體一維非線性固結的解析解。Xie 等[6-7]基于Davis 等[5]的假定考慮了變荷載,先后分析了單層和雙層地基的一維非線性固結。Barden等[8]給出了一維非線性固結有限差分解。Mesri[9]等提出了經典半對數關系,即e-lgσ′與e-lgkv(kv為土體滲透系數)關系,并得到了廣泛的應用。近期,Li等[10]依據試驗數據提出了e-lgav(av為土體壓縮系數)這一土體非線性壓縮模型,Li等[10]基于該壓縮模型推導的非線性固結方程及其漸近解對軟土正常固結過程中的土體孔隙水壓力進行了修正,減少了理論計算與試驗之間的偏差。同時,該關系式在描述土體的非線性固結過程中不僅無需測量初始有效應力,而且解決了傳統的e-lgσ′非線性關系在初始有效應力為0時對孔隙比造成的奇異性影響。吳思思等[11]基于Li等[10]提出的非線性壓縮模型對變荷載下土體的一維非線性固結進行了分析,詳細討論了影響土體固結過程的因素,但其并未考慮非達西滲流和變荷載對土體固結過程的影響。

實際上,在軟土地基中,非達西滲流更加符合土體滲流情況。已有研究表明,軟土中的滲流會偏離達西定律[1-3]。謝海瀾等[4]研究表明,非達西滲流相較于達西滲流,土體固結到同一固結度的時間明顯增長。目前,考慮非達西滲流的軟土一維非線性固結已取得諸多進展。劉忠玉等[12]、 糾永志等[13]在土體非線性變形的基礎上,分別考慮了非達西滲流及土體自重應力,對飽和黏土和Terzaghi的一維固結理論進行了修正。李傳勛等[14-16]基于Mesri[9]等提出的關系考慮了非達西滲流,對變荷載作用、軟土的結構性以及應力歷史對土體固結的影響進行了一系列的分析。但是以上研究均不可避免地需要測量土體的初始有效應力,在工程中應用不便。

綜上所述,本文從Li等[10]提出的e-lgav一維非線性壓縮模型和e-lgkv滲透模型出發,對正常固結的軟土考慮了變荷載作用與非達西滲流對土體固結的影響,推導出了土體的一維非線性固結方程,并通過有限差分法得到該固結模型的解答。隨后驗證了本文解答的正確性,最后對土體的固結性狀進行了詳細分析。

1 固結模型的建立

本文采用應用較廣的Hansbo非達西滲流模型,其v-i關系曲線如圖1所示,其中:v為滲透流速;i為水力坡降;i1為Hansbo滲流中的臨界水力坡降;i0為起始水力坡降;k為Hansho滲流中指數段的滲透系數;K為Hansho滲流中線性段的滲透系數;m為模型參數。地基固結模型如圖2所示,其中:H為地基厚度;av0為土體初始壓縮系數;kv0為土體初始滲透系數;z為土體深度。

圖1 非達西定律的v-i關系曲線Fig.1 Curve of v-i in non-Darcy law

圖2 地基固結模型Fig.2 Foundation consolidation model

式(1)為變荷載表達式,當時間tt0時,荷載為恒載形式;當t0=0時,荷載形式變為驟加荷載。為便于工程應用,本文對土體的初始有效應力進行了簡化處理,假定土體初始有效應力不隨土體深度變化,即土體的初始壓縮系數和初始滲透系數不隨土體深度發生變化。

(1)

式中:q0和qu分別為初始荷載和最終荷載;t0為荷載加載完成的時間。

Li等[10]提出的非線性壓縮模型和傳統的非線性滲透模型分別為:

(2)

(3)

式中:e和e0分別表示土體的孔隙比和初始孔隙比;av和kv分別表示土體的壓縮系數和滲透系數;C和Ck分別為土體的壓縮指數和滲透指數,且C和Ck分別是土體e-lgav壓縮曲線的斜率和土體e-lgkv滲透曲線的斜率。

由壓縮指數定義[17]可得

(4)

由式(2)和式(4)可得孔隙比與有效應力的關系為

(5)

式中σ0′表示初始有效應力。

將式(5)代入式(3)可得滲透系數與有效應力的關系,即

(6)

土體單元體積應變ε為[17]

(7)

Hansbo[18]提出的非達西定律為

(8)

當i

(9)

式中:u為超靜孔隙水壓力;γw為水的重度。

由式(8)和式(9)可以得出

(10)

由式(10)可得土體單元體積滲流變化[5]為

(11)

假定土體單元滲流等于土體單元體積變化[19]可得

(12)

有效應力原理為

σ′=σ0′+q(t)-u。

(13)

結合式(2)、式(6) 、式(13)可得固結系數的表達式為:

(14)

(15)

式中Cv0是初始固結系數。其表達式為

(16)

將式(5)、式(6)、式(13)代入式(12)中可推導出考慮變荷載作用和非達西滲流的土體一維非線性固結方程,即

(18)

同理,i≥i1時土體的一維非線性固結方程為

(19)

2種情況下的固結方程求解的初始條件與邊界條件為

(20)

引入無量綱參數:U=u/qu,Z=z/H,Tv=Cv0t/H2,Tv0=Cv0t0/H2,Q=q(t)/qu,Q0=q0/qu。

將無量綱參數代入式(19)中,i

(21)

(23)

(24)

2 固結模型的求解

本文的固結方程式(19)很難求出其解析解,因此采用有限差分法對本文的固結方程進行求解。在Z-Tv平面劃分差分網格,b和j分別表示空間和時間節點,b=0,1,2,…,l;j=0,1,2,…,n。b=0和b=l分別表示土層頂部和底部的位置,j=0和j=n分別表示初始時刻和最終時刻。Δz表示空間步長,取步長0.01,Δt表示時間步長,取步長0.000 01。將式(21)差分可得

(25)

其中:

(26)

(27)

(28)

其中:

(29)

(30)

無量綱化后相應的初始條件和邊界條件為

(31)

這樣,式(25)與無量綱化后的初始條件和邊界條件構成了封閉的代數方程組,因此可以利用差分法對U進行求解。按孔壓定義的平均固結度Up為

(32)

可推出

(33)

按變形定義的平均固結度Us為

(34)

可推出

(35)

式中ef為最終孔隙比。

土體的沉降變形S為

(36)

可推出

3 實例分析與驗證

將李冰河等[19-20]提出的半解析法與本文利用差分法所得的數據進行對比,以驗證本文差分數據的正確性。

李冰河等[19]基于達西定律提出的半解析法,因此,需采用本文m=1時的特殊情況與李冰河等[19]的半解析法進行對比,并采用表1中給出的土體參數作為計算參數取值。圖3(a)分析了不同Tv下隨深度變化的超靜孔隙水壓力?？梢钥闯?取相同參數時,半解析法與本文所采用的差分法所得出的數據完全重合。從而驗證了本文差分法的正確性。

表1 Li等[10] 試驗測得的土體參數Table 1 Soil parameters measured in Li’s experiment [10]

圖3 本文解與李冰河解對比Fig.3 Comparison between the solution of the present study and Li Binghe’s solution

采用表2土體參數作為計算參數取值,與李冰河等[20]的沉降解答進行對比,本文解答仍取m=1的特殊情況。如圖3(b)所示,施加荷載為驟加荷載時,本文解答與初始有效應力σ0′為100 kPa時的李冰河等[20]解答基本重合,該對比也驗證了本文解的正確性。

表2 固結性狀分析所采用的土體參數[21]Table 2 Soil parameters used for consolidation behavior analysis[21]

4 固結性狀分析

基于以上驗證結果的正確,現以頂面透水及底面不透水地基模型為例,分析非達西參數m和i1、加載速率以及初始壓縮系數av0和壓縮指數與滲透指數的比值C/Ck對土體固結過程的影響。外荷載取用單級等速加載的形式,所需土體計算參數如表2所示。

4.1 非達西參數對土體沉降的影響

已有研究表明[4],非達西滲流相比于達西滲流會對土體的固結有明顯的滯后效應。而這種滯后效應與本文中非達西參數m和i1有關。如圖4所示,隨著m和i1的增大,Tv=0.4時土體相同深度的超靜孔隙水壓力會越大,這說明m和i1的增大,會導致土體中超靜孔隙水壓力消散越慢。

圖4 非達西參數m和i1對超靜孔隙水壓力的影響Fig.4 Influence of non-Darcy parameters m and i1 on excess pore water pressure

圖5表明,隨非達西參數m和i1的增大,非達西滲流的平均固結度Us會越加偏離達西滲流情況下的平均固結度Us,如圖5(a)所示,具體表現為m和i1越大,土體中超靜孔隙水壓力消散越慢,導致土體沉降速率越慢。這表明非達西滲流是土體沉降發展過程中不可忽略的因素之一。如圖5(b)所示,Tv=0.6時,m=1.25,i1=2.5參數下的非達西滲流的平均固結度Us為72%,達西滲流的平均固結度Us為82%,兩者偏差達到10%。需要說明的是,m和i1的變化并不會影響土體的最終沉降量,但m和i1的變化會影響土體的沉降速率。原因在于:根據式(36),地基的最終沉降量只與初始孔隙比和最終孔隙比相關。

圖5 非達西參數m和i1對平均固結度Us和地基沉降變形S的影響Fig.5 Influence of non-Darcy parameters m and i1 on average consolidation degree Us and foundation settlement deformation S

經過分析,非達西參數m和i1的增大會導致平均固結度Up的固結速率變慢。圖6為Us和Up對比。兩者規律相同,但Up始終要慢于Us,即沉降的發展始終要快于孔壓的消散,這與謝康和等[22]闡述的觀點一致。

圖6 Us和Up對比Fig.6 Comparison between Us and Up

4.2 初始壓縮系數和壓縮指數與滲透指數的比值對土體沉降的影響

固定非達西參數m=1.25及i1=2.5。采用表2 中的土體參數分析了初始壓縮系數av0對平均固結度Us和地基沉降變形S的影響,如圖7所示。

圖7(a)反映出av0會影響平均固結度Us的發展,具體表現為av0越大,土體的沉降越快。而且av0會影響土體的最終沉降量,如圖7(b)所示,av0越小,土體的最終沉降量越小。

圖8分析了不同壓縮指數與滲透指數的比值下平均固結度Us和地基沉降變形S的變化曲線。仇超等[23]的研究表明,壓縮指數C與滲透指數Ck都會影響到土的沉降過程。滲透指數Ck越小,土體的滲透性就越弱,因此就導致土體的沉降速率會更慢;壓縮指數C越小,會導致土體的沉降速率越快。固定參數m=1.25及i1=2.5,qu取值100 kPa。圖8表明,C/Ck的比值越大,土體的沉降速率會越慢。這與仇超等[24]的結論一致。同時,C/Ck值的變化不會引起最終沉降量的變化。

圖8 不同C/Ck值下平均固結度Us和地基沉降變形S關于Tv的關系曲線Fig.8 Relation curves of average degree of consolidation Us and foundation settlement deformation S with respect to Tv under different C/Ck values

4.3 加載速率對土體沉降的影響

采用表2中的土體參數,固定非達西參數m=1.25及i1=2.5,qu取值100 kPa,對變荷載下不同加載速率下的土體沉降進行了分析,如圖9所示?？梢钥闯鯰v0的減小會導致荷載的加載速率變快,進而導致沉降速率加快。此外,加載速率的變化不會導致最終沉降量的改變。

圖9 不同加載速率下土體的沉降曲線Fig.9 Curves of soil settlement under different loading rates

4.4 加載形式對土體沉降的影響

4.4.1 二級加載

圖10(a)為各加載形式荷載變化示意圖。圖10(b)反映了圖10(a)中不同加載形式下土體的沉降趨勢。固定非達西參數m=1.25及i1=2.5,固定土體參數av0=1.222×10-3kPa-1,C/Ck=0.5以及最終荷載qu=100 kPa。單級等速加載完成時間為Tv2=0.1。二級中第一級加載時間為Tv=0至Tv1=0.05,加載到q1=50 kPa;第二級加載時間為Tv2=0.55至Tv3=0.6;從q1=50 kPa加載到qu=100 kPa。如圖10(a)所示。從圖10(b)中可以看出3種加載形式最終沉降量一致,其中驟加荷載下的土體沉降速率最快;單級等速加載次之,二級加載最慢。如Tv2=0.55時,驟加荷載下土體沉降量為12.3 cm;單機加載下土體沉降量為11.9 cm;二級加載下土體沉降量為6.4 cm。在實際工程中,外界因素的影響如改動設計、天氣惡劣等原因會導致停工,地基上的加載更加符合二級加載形式或多級加載形式[24],此時若直接簡化為恒載或單級加載形式,會一定程度高估其固結速率。

圖10 不同加載形式下土體沉降曲線Fig.10 Curves of soil settlement under different loading modes

4.4.2 預 壓

對于一些特殊的工程而言,比如公路的建設,通常會對土體進行預壓處理,進而減小路面施工后土體的沉降變形。預壓方式通常有3種,即等載預壓、欠載預壓以及超載預壓。3種預壓的加載情況和使用參數如圖11(a)和圖11(b)所示,最終荷載qu=100 kPa。加載的完成時間為Tv1=0.1,預壓的完成時間Tv2=0.75。欠載預壓q1=80 kPa,超載預壓q2=120 kPa。需要說明的是,在該分析中假定卸載預壓荷載和增加路面澆筑荷載均為瞬間完成。3種不同預壓方案的沉降如圖11(b)所示,可以看出預壓方案的不同會導致土體的沉降過程也不相同。在預壓完成時,超載預壓產生沉降最大。因此,在需要預壓的工程中, 應首選超載預壓的方式。

圖11 不同預壓情況下土體沉降曲線Fig.11 Curves of soil settlement under different preloading conditions

5 結 論

(1)與已有模型相比,本文所采用的模型無需測量土體的初始有效應力,只需測量土體初始壓縮系數,可更加方便地應用于工程中。

(2)土體固結過程中的非達西滲流的影響不容忽視。非達西滲流參數m和i1越大,土中超靜孔隙水壓力消散越慢,土體固結越慢。特別地,當m>1.25且i1>0.8時,非達西情況相對于達西情況沉降固結度的偏差最大已超過10%。

(3)初始壓縮系數av0越小,C/Ck值越大,土體的沉降速率越慢;av0越小,土體的最終沉降量也會越小。

(4)土體的沉降速率與外荷載的加載速率、外荷載形式相關。外荷載加載速率越快,土體沉降速率越快。實際工程中要考慮加載形式的影響,若直接簡化為恒載或單級加載形式,會一定程度高估其固結速率。