新情境下的解析幾何綜合題命制

劉粲辰 劉子奕 王楨宇

摘要：通過一道新情境下解析幾何試題命制的過程，揭示解析幾何試題對于直觀想象、數學運算核心素養的培養價值，探索科學備考途徑.

關鍵詞：解析幾何；試題命制；數學運算

1 原創試題

圖1是一款新型多功能無人機，兼具航拍、監測、跟蹤、定位、巡邏等功能.無人機機架采用對稱排列結構便于抵消反扭距，所以旋翼多采用偶數對稱排列.其機架形狀的俯視圖可看作曲線Γ：x4λ2+y4λ2=2x2y2λ2+1（λ>0）的一部分（圖2）.

（1）求曲線Γ上一點到原點距離的最小值.

（2）過曲線Γ上一點P作兩條直線l3和l4，與已知直線l1：y=x和l2：y=－x，有l2∩l3=A，l1∩l4=B，l3∥l1且l4∥l2.同時l3，l4分別與Γ交于兩點C，D.曲線Γ是否存在無數個這樣的點P，使得SOAPB=S△CDB.若存在，請求出該面積的值；若不存在，請說明理由.

2 設計思路

命題的初衷是以解析幾何為載體，考查數學運算與直觀想象核心素養，把高考的導向考出來，把

教學的成果考出來，把學生的能力區分開，把學生的努力考出來.考查內容為雙曲線的圖形、性質、直線的平行與垂直、斜率、點到直線距離公式、面積公式、直線與圓錐曲線位置關系等，涉及的方法主要是坐標法，即用代數的方法研究幾何問題.由于設置了問題背景，因此需要學生通過閱讀材料提取信息，并完成解答.

3 試題命制過程

3.1 學習探究階段

命制思路來自于筆者研究的北京卷 “心形曲線”（圖3），它其實是兩個斜橢圓（圖4）的拼接，站在橢圓的角度去理解題目，可以清晰看到設計思路，且容易完成解答.將焦點在坐標軸上的橢圓轉化為斜橢圓，可以采用復數或向量的方法進行旋轉，這均是課本內容，學生較容易理解，而通過旋轉，可以將常規問題變得不常規，實現考查數學素養的目的.

3.2 類比遷移階段

拋物線經過旋轉可以變成我們熟悉的二次函數，在新教材人教A版選擇性必修一第133頁“探究與發現”中對該內容做過解釋，那么等軸雙曲線呢？等軸雙曲線旋轉過后就是反比例函數圖象，在平面直角坐標系中，“旋轉”的操作可以將解析幾何和函數有機結合在一起，甚至在某些時刻二者可以互相補充，合力解決問題.

3.3 模型確定階段

本題中研究的是等軸雙曲線，并將面積定值問題確定為考查方向，這是反比例函數中比較常見的定值模型，但將反比例函數旋轉變換后，對學生能力的要求就相應提高了.同樣，在真正的運算求解中，本題也將“坐標法”確定為考查重點，這是強有力的數學工具，更是解析幾何問題的核心.

最初確定方程為x2－y2=±2，然后推廣到更一般的形式，即本題中的方程.

3.4 情境創設階段

教育部《關于做好2021年普通高校招生工作的通知》指出：高考命題要堅持立德樹人，加強對學生德智體美勞全面發展的考查和引導.要優化情境設計，增強試題開放性、靈活性，充分發揮高考命題的育人功能和積極導向作用，引導減少“死記硬背”和“機械刷題”現象.

所以在題目確定完畢后，筆者決定為其選擇適合的情境，當時備選的是三個圖形（圖5），而無人機人盡皆知，背景公平，又有科技發展的導向性，于是選擇“無人機曲線”.

4 試題分析

本題作為一道解析幾何題，問題設置為兩問，但學生認識問題需要經歷三個階段.

階段1：方程解讀.

學生需要理解題意，能夠對曲線方程x4λ2+y4λ2=2x2y2λ2+1進行整理.如果完全遵從之前研究類似未知曲線的方法，僅從對稱性、特殊點等方向入手，又會被復雜式子嚇到，不敢化簡，則無法進行后續的研究.

敢于化簡該方程的學生，都不會遇到阻礙，尤其是有圖2的輔助，原本容易發生的丟正負號的錯誤也會大幅減少.

階段2：雙曲線基本性質.

題目配圖2已經提示了共軛雙曲線的特征，這一點從方程也可發現.第（1）問設置較為簡單，考查了雙曲線上的動點到原點距離的最小值問題，這是雙曲線的簡單性質，視學生水平也可以將原點改為焦點，則計算稍稍復雜一點.

第（1）問并非簡單意義的送分題，而是在考查性質的同時，給學生提供了坐標化的導向，這為第（2）問中面積的表示指明了方向.雖然題目背景較新穎，但考查解析幾何計算的本質沒有改變.

階段3：數學運算與直觀想象核心素養.

第（2）問是題目的主體部分，涉及點線較多，容易給學生造成心理壓力，但其算理是非常清晰的，根據題目設方程、聯立、求坐標、表示面積，并沒有需要思維跳躍的地方，這也是由本題設計的初衷即考查數學運算素養的命題目標確定的.

同時，第（2）問也給了數學素養較高的學生以空間，審題時畫出圖形后，如果能夠將試卷旋轉一下觀察就會發現，這是大家較為熟悉的反比例函數問題，口算即可完成.這需要學生有較強的直觀想象能力，也正是命題中常說的多想少算原則.詳見圖6、圖7中的思維導圖分析.

5 思維導圖

第（1）問的思維導圖（圖6）：

方程轉化性質分析距離表示化簡消元求出最值

第（2）問的思維導圖（圖7）：

6 從試題解答看思維層次差異

第（1）問所求的最小值為λ（過程略）.下面重點分析第（2）問的解法.

方法1：基于點線關系的解析法.

解：設點P（x0，y0）在Γ上半支，則y20－x20=λ.設直線l3：y－y0=x－x0，聯立x2－y2=λ，y－y0=x－x0，可得x2－（x+y0－x0）2=λ，解得xC=λ+（x0－y0）22（x0－y0），yC=λ－（x0－y0）22（x0－y0）.

同理，可得xD=λ+（x0+y0）22（x0+y0），yD=（x0+y0）2－λ2（x0+y0）.

由于CP⊥DP，因此S△BCD=12|BD|·|CP|.因為l1∩l4=B，于是聯立y=x，y－y0=－（x－x0），解方程組可得xB=x0+y02，yB=x0+y02.根據兩點間距離公式，算出|BD|=

x0+y02－λ+（x0+y0）22（x0+y0）2+x0+y02－（x0+y0）2－λ2（x0+y0）2，化簡，可得|BD|=λ2|x0+y0|.

同理，可得|CP|=2λ|x0－y0|.

所以S△BCD=12·λ2|x0+y0|·2λ|x0－y0|=λ22|－λ|=λ2.

又l3∥l1，l4∥l2，且l1⊥l2，所以四邊形OAPB為矩形.分別求出點P到l1和l2的距

離d1=|x0－y0|2和d2=|x0+y0|2，于是SOAPB=d1d2=λ2.

綜上所述，曲線Γ存在無數個這樣的點P，使得SOAPB=S△CDB=λ2.

上述方法1是學生容易選擇的解法，這也是解析幾何機械刷題的產物，并未注意觀察圖形結構以及合理簡化運算.下面通過兩個角度對方法1進行優化.

方法1-1：基于對稱關系的解析法優化.

解：設點P（x0，y0）在Γ上支，由點P與點C關于y=－x對稱，可得C（－y0，－x0），所以

|PC|=（x0+y0）2+（y0+x0）2=2|x0+y0|.

又由點P與點D關于y=x對稱，得D（y0，x0），所以|BD|=22|x0－y0|.

因為點P（x0，y0）在Γ上支，所以y20－x20=λ.

通過該式代換|BD|，|PC|，可以得到與方法1相同的結果，因無需聯立解方程組，所以計算過程要簡單很多，后同方法1即可.

方法1-2：融入證明的解析法優化.

解：設點P（x0，y0）在第一象限Γ的上支，因為l3∥l1，l4∥l2且l1⊥l2，首先由對稱性來證明面積相等.

因為S△BCD=12|BD|·|CP|且|PC|=2|PA|，|PB|=|BD|，

所以S△BCD=12|PB|·2|PA|=|PB|·|PA|=SOAPB.所以曲線Γ存在無數個這樣的點P，使得SOAPB=S△BCD.后同方法1，證明面積相等后，則可以選擇其中一個圖形計算面積，其對計算過程的優化是非常明顯的.

方法2：旋轉變換法.

人民教育出版社普通高中教科書必修第二冊第87頁講到了復數的三角表示及其幾何意義.據此可以通過復數乘法將圖8中的所有點順時針旋轉π4得到圖9，進而在圖9中研究該問題，可以大幅簡化運算.

解：根據復數乘法的幾何意義，可知點（x′，y′）逆時針旋轉π4后變成

22（x′－y′），22（x′+y′），代入x2－y2=±λ，得變換之后方程為y′=±λ2x′（如圖9）.

旋轉變換之后，l1和l2與坐標軸重合，且所求圖形面積不變，設P（x0，y0），則

SOAPB=|x0y0|=λ2.

因為C（－x0，y0），D（x0，－y0），結合S△CDB=S△OBC+S△OBD，可得

S△CDB=2×12|OB||DB|=λ2.

綜上所述，曲線Γ存在無數個這樣的點P，使得SOAPB=S△CDB=λ2.

7 試題測試反饋與分析

試題命制完成后，在我校高二年級的階段學情調研中進行了考查，測試結果如表1所示：

從試題的解答來看，大多數學生并未受到情境的干擾，能較快地整理出雙曲線方程，但題

干對于部分學生還是具有比較強的干擾性，這從大量的0分學生人數即可看出.從計算過程來看，思路比較明確，符合多想少算的原則，思維能力較強的學生能夠輕松求解，而“機械刷題”的學生將面對巨大困難.

從學生解答來看，選擇方法1的比較多，但只有極少數學生能夠完成運算，滿分學生大多都是通過方法1-1和1-2的方式簡化了運算，體現了較強的思維能力.對于方法2的旋轉變換，沒有學生選擇.當然，這和日常教學的導向有關，也和高考的考查方向有關，但是對于優秀的學生，還是要讓他們認識到這些特殊的變換對解題有幫助.同樣地，教學中也要經常呈現一些橢圓通過伸縮變換轉化成圓解決問題的例子，這些還是要讓優秀學生了解的.

以上是筆者對新情境下解析幾何試題命制的思考，從做題的學生角色轉換為命題的教師角色，切實感受到了視角不同帶來的思維躍升，因而對解析幾何有了新的理解，也逐漸嘗試在學習解題的過程中，觸摸試題的溫度，體味命題者的思想.這真是奇妙的歷程，或許更是學習的捷徑.

我愛數學，未來一起加油！