基于螢火蟲-遺傳算法的機械臂軌跡時間優化

李甚霖，曾慶生，馮棟彥，夏廣健

（南華大學機械工程學院，湖南 衡陽 421001）

0 引言

隨著科學技術的迅速發展，工業生產正逐步走向自動化、智能化。機械臂是實現智能生產的有力工具，在焊接[1]、搬運[2]、機械加工[3]等方面已得到廣泛的應用。在實際應用中，為提高工作效率，往往需要對機械臂的運行軌跡進行優化。目前國內外學者和專家主要是以時間優化[4]、能量優化[5]、沖擊優化[6]和綜合優化[7]為目標展開研究，其中時間優化是研究和探討的熱門方向。

軌跡時間優化是在滿足機械臂約束條件的情況下盡可能地縮短運行時間，以提高機械臂工作效率。由于其計算量大、計算復雜，一般使用智能算法來進行優化。常用的智能算法有粒子群算法、遺傳算法、螢火蟲算法等。居鶴華等[8]使用3-5-3樣條函數進行軌跡規劃，在速度約束下，使用遺傳算法求解最優時間。Liu等[9]使用五次多項式規劃軌跡，在遺傳算法中引入精英保留策略和自適應機制來優化軌跡時間。郭鑫鑫等[10]使用3-5-3插值函數規劃機械臂軌跡，改進螢火蟲算法來優化軌跡。

基于以上研究，本文使用五次多項式進行機械臂末端軌跡規劃，將精英保留遺傳算法與螢火蟲算法結合，提出一種螢火蟲-遺傳算法，以加強遺傳算法局部搜索能力。使用此算法在運動學約束下優化軌跡的運行時間。使用MATLAB進行仿真實驗驗證該方法的有效性。

1 機械臂運動學分析

AUBO-i10是遨博公司研發的輕型6自由度協作機械臂，具有體積小、靈活度高的特點，其實物如圖1（a）所示。對機械臂進行運動學分析，需建立其運動學模型。首先建立機械臂各個關節的坐標系，如圖1（b）所示，采用改進型D-H參數法[11]建立各關節的坐標系。坐標系0為世界坐標系，坐標系1～6為關節1～6的坐標系。坐標系1～6的Z軸方向為各關節軸線方向；坐標系1、4、5和6的X軸方向分別為垂直于Z1和Z2、Z4和Z5、Z5和Z6方向，坐標系2、3的X軸方向為連桿方向。

圖1 AUBO-i10機械臂及其D-H坐標系

建立坐標系后即可得到機械臂的改進型DH參數，如表1所示。

表1 A UBO-i10機械臂D-H參數表（改進型）

表1中：αi-1為機械臂連桿扭轉角，ai-1為連桿長度，di為連桿偏距，θi為關節轉角。

為進行機械臂末端軌跡規劃，需知道機械臂基座坐標系到末端坐標系的變換關系，即坐標系變換矩陣。設第i-1個坐標系變換到第i個坐標系的變換矩陣為，則有

式中：C=cos，S=sin。

2 軌跡規劃

按軌跡所在空間可將軌跡規劃分為關節空間軌跡規劃和笛卡爾空間軌跡規劃。笛卡爾空間軌跡規劃可以直接按照用戶指定的路徑點進行規劃，但是運行時必須以實時更新的軌跡速度求出運動學逆解，計算量很大。關節空間的規劃方法非常便于計算，并且由于關節空間與直角坐標空間之間并不存在連續的對應關系，因而不會發生機構的奇異性問題[12]。因此本文選擇在關節空間進行軌跡規劃。

關節空間軌跡規劃常用的方法有三次多項式插值、五次多項式插值、多段多項式組合插值、B樣條曲線、NURBUS曲線等[13]。機械臂工作時的軌跡一般為點到點，由已有信息可知初始點和目標點的關節位置、速度，為減小機械臂的振動與沖擊，對關節加速度施加約束，指定初始點和目標點的加速度，則共有6個約束條件，因此采用五次多項式進行軌跡規劃。五次多項式表達式為

對θ（t）求一階導數、二階導數可以得到機械臂末端的速度、加速度多項式表達式：

由已知信息可知多項式的約束條件為：

將式（2）～式（4）代入式（5）可解得：

3 時間最優軌跡優化

使用五次多項式插值規劃所得的軌跡還不是時間最優的軌跡，要實現運行時間最短，還需對軌跡的運行時間進行優化。

3.1 時間優化模型

軌跡運動時間函數為

機械臂末端沿軌跡的運動時間與機械臂關節的運動速度成反比例關系，運動時間越少，則關節角速度、角加速度越大；但現實中機械臂的關節速度、加速度是有限的，為了不對機械臂造成損壞，關節位置、角速度、角加速度不應超過其臨界值。即：

3.2 基于螢火蟲-遺傳算法的軌跡優化

遺傳算法最早由美國密執安大學的Holland教授提出，起源于20世紀60年代對自然和人工自適應系統的研究，是模擬生物在自然環境中的遺傳和進化過程而形成的一種自適應全局優化概率搜索算法[14]，具有很強的全局搜索能力。

螢火蟲算法是劍橋學者Yang[15]受到自然界中螢火蟲個體發光會相互吸引的啟發而提出的一種元啟發式智能優化算法。該算法具有很強的局部搜索能力。

本文在精英保留策略遺傳算法的基礎上，將螢火蟲算法融入其中，使用螢火蟲算法進行變異操作，提出一種螢火蟲-遺傳算法，使用此算法對五次多項式插值所得機械臂末端軌跡進行時間優化。具體算法流程如圖2所示。

圖2 螢火蟲-遺傳算法流程圖

1）初始化種群。隨機生成M個個體組成初始種群，每個個體表示軌跡的運行時間，通過二進制編碼方式進行編碼，編碼長度為20，以保證可行解的精度為0.000 1。

2）適應度評價。為實現式（8）中的機械臂約束條件，使用罰函數對適應度函數進行處理。對不滿足約束條件的個體進行懲罰，降低其適應度，使其向可行域邊界靠近，隨著迭代而被剔除掉。

適應度函數為

式中：C為常數，λ為懲罰項。當機械臂關節的角位移、角速度、角加速度滿足約束條件時，λ=1，不影響個體的適應度；不滿足約束條件時，λ=-1，個體適應度變小。常數C保證受到懲罰的個體適應度不會超過可行域邊界。

3）選擇精英個體和子代個體。計算種群個體的適應度后將前10個適應度的個體作為精英個體保留，不參與交叉變異，防止優秀個體的基因被破壞。使用隨機遍歷抽樣法選擇M-10個個體作為子代進行交叉變異，補充種群數量并保證種群中基因的多樣性。

4）使用通常多點交叉法對子代進行交叉操作，以產生新的個體。

5）變異計算交叉操作后子代個體的適應度，與父代種群的平均適應度進行比較，低于父代平均適應度的個體通過螢火蟲算法向父代最優個體進行定向變異。具體步驟如下所示：

a.計算螢火蟲發光亮度。即計算每個個體的適應度。

b.計算距離。距離計算公式為

式中，xi、xj分別為父代最優個體和子代個體基因解碼后的數值，即運行時間t。

c.計算吸引力。一只螢火蟲的吸引力計算公式為

式中：β0為常數，表示最大吸引力，通常設置為1，γ為光吸收系數。

d.靠近過程。發光亮度低的螢火蟲會被亮度高的螢火蟲吸引而向其靠近，即變異。螢火蟲更新位置的公式為

式中：α為隨機項系數，（rand-0.5）為隨機擾動，以便跳出局部最優解。

6）精英個體和子代個體一起組成新的種群。

7）判斷是否達到終止條件，未達到終止條件則返回到步驟2），進入下一個循環，達到終止條件則算法結束，輸出最優解。

4 仿真實驗

4.1 軌跡規劃仿真

在MATLAB中使用Robotics Toolbox建立AUBOi10機械臂模型：將改進型D-H參數表中的數據導入Link函數來定義機械臂各個連桿的屬性，再使用SerialLink函數定義機械臂各個關節屬性，建立的機械臂模型如圖3所示。

圖3 AUBO-i10機械臂模型

設定機械臂起始點坐標為（-100，1000，300），目標點坐標為（600，-700，600），單位為mm。使用jtraj函數獲得五次多項式插值的機械臂末端軌跡，如圖4所示。

圖4 機械臂五次多項式末端軌跡

4.2 時間優化仿真

設定螢火蟲-遺傳算法的編碼長度、進化代數、種群大小、交叉概率、變異概率、運行時間取值范圍、光吸收系數和隨機項系數分別為20、100、100、0.7、0.01、[0 20]、0.8、0.5。機械臂約束條件如表2所示。

表2 機械臂各關節約束

按照3.2節中的螢火蟲-遺傳算法流程，分別對機械臂的6個關節進行時間優化。以關節3的優化為例將傳統遺傳算法、精英策略的遺傳算法和螢火蟲-遺傳算法進行對比，結果如圖5所示：傳統遺傳算法在第70代時收斂至最優解t=2.1411；精英遺傳算法在第60代收斂至最優解t=2.0908；螢火蟲-遺傳算法在第20代收斂至最優解t=2.0908。由此可知，螢火蟲-遺傳算法具有更好的優化效果。

圖5 軌跡時間優化結果

機械臂各個關節在螢火蟲-遺傳算法優化后得到的運行時間如表3所示。由于機械臂的各個關節在同一時間內完成運動，所以選擇其中最大的優化時間，則機械臂軌跡時間優化的結果為t=2.0908。

表3 各關節最優時間

將優化后得到的最優時間代入jtraj函數進行五次多項式軌跡規劃，得到機械臂各關節的角位移、角速度和角加速度隨時間變化的曲線，如圖6所示。關節位置、角速度和角加速度曲線光滑連續，且滿足表2中的約束條件，驗證了算法的有效性。

圖6 優化后各關節運動曲線

5 結論

1）將螢火蟲算法用于遺傳算法的變異操作，結合自適應遺傳策略，提出了一種螢火蟲-遺傳算法。在五次多項式規劃軌跡的基礎上，基于此算法提出了一種機械臂末端軌跡時間的優化方法。

2）使用MATLAB進行仿真實驗，最優時間由傳統遺傳算法的2.141 1 s降低到2.090 8 s，收斂速度也得到大幅提升，驗證了該算法的優越性。并將優化后的時間代入軌跡仿真，所得機械臂各關節的角位移、角速度和角加速度曲線連續光滑，且滿足機械臂各關節的約束條件，驗證了該優化方法的有效性。