直線共軛內嚙合齒輪傳動的齒形參數研究

楊曉東，崔建昆

（成都飛亞航空設備應用研究所有限公司，成都 611130）

0 引言

直線共軛內嚙合齒輪傳動，也稱為直齒共軛內嚙合齒輪傳動，最早由瑞士人Paul Truninger提出，用于內嚙合齒輪泵[1]。在直線共軛內嚙合齒輪傳動中，外齒輪的齒廓是直線，內齒輪的齒廓是與之共軛的曲線，由于其齒廓曲率小，接觸強度高，具有一些特殊的嚙合特性，作為內嚙合齒輪泵中的齒輪副使用時，可以得到困油容積小、流量脈動和噪聲小的效果[2-3]。

目前國內外對直線共軛內嚙合的研究都集中在其齒輪泵的應用方面，作為一種齒輪傳動形式，其嚙合原理和傳動性能的研究非常不充分，至今還沒有完整的齒形參數計算標準[4]。因此其應用范圍狹小，相關嚙合理論的研究也非常少見[5-6]。

近年來，由于直線共軛內嚙合齒輪泵的優良性能逐漸被工業界認可，并在伺服液壓系統等新興技術領域得到推廣運用，其產品研發和性能改進也受到企業的重視[7]，從而帶動對這種特殊齒輪傳動的深入研究，不少學者也開始探討直線共軛內嚙合齒輪副在機械動力傳動領域的應用價值[8]。本文通過對直線共軛內嚙合齒輪副的嚙合過程分析和齒形參數研究，定義了外齒輪直線齒廓的基本參數，建立了齒廓坐標方程，在此基礎上對齒廓上嚙合極限點、壓力角、嚙合線、直線共軛內嚙合齒輪傳動及其重合度等進行了系統分析，研究了齒廓線段與對應嚙合轉角之間的關系，提出了保證連續傳動條件下齒形參數設計方法，并通過工程實例驗證了齒形參數設計方法和直線共軛內嚙合齒輪副的嚙合性能，對拓寬其應用領域具有一定的意義。

1 外齒輪參數和齒廓方程

直線共軛內嚙合齒輪副中，外齒輪的齒廓是左右對稱的直線，其齒頂和齒根分別是一段圓弧，如圖1所示。

圖1 外齒輪直線齒廓

以外齒輪中心O1為原點建立坐標系O1X1Y1，外齒輪的齒廓方程可以通過多個幾何參數來建立，如齒輪的齒形角、分度圓弧齒厚、齒廓與齒輪中心的距離等。但是，從工程實用的角度，對于直線共軛內嚙合齒輪副，使用一個類似于漸開線齒輪模數的參數用于齒輪的幾何計算，更容易進行后續的分析研究，以及與漸開線齒輪進行性能比較。

在漸開線齒輪中，模數與分度圓有關，規定齒廓曲線在分度圓上的壓力角為標準值，是漸開線齒輪分度圓的一個重要特征[9-10]。對于標準漸開線齒輪，分度圓位于齒廓嚙合區的中間位置，可以有效地控制嚙合過程中壓力角變化范圍，保證齒輪的傳動效率。同樣，直線齒廓外齒輪上的壓力角在齒廓各點也不一樣，壓力角對傳動性能同樣會產生影響，仿照漸開線齒輪的參數設置，定義外齒輪分度圓上的壓力角為標準壓力角α，則齒頂半角公式為

式中，θ為外齒輪分度圓弧齒厚s所對應的圓心角，不考慮嚙合間隙的情況下，規定外齒輪分度圓上齒厚s等于齒間距e，因此

式中，z1為外齒輪齒數，則有

可見齒頂半角與齒數有關，壓力角一定時，齒數越小齒頂半角越小，兩者的關系如圖2所示。

圖2 齒形半角與齒數的關系

由于β不能為負值，因此對于給定的壓力角，齒輪會有一個最小的齒數，如當分度圓壓力角α為20°時，外齒輪的最小齒數為5，對應的齒頂半角β為2°，齒輪的形狀如圖3所示。

圖3 α=20°，z1=5的直線齒廓外齒輪

仿照漸開線齒輪來定義模數，作為直線齒廓外齒輪的基本參數。

式中，p為外齒輪分度圓齒距。

齒輪的左側齒廓直線方程為

式中，r1為外齒輪的分度圓半徑。

從式（1）可以推導出直線齒廓外齒輪齒廓上k點的壓力角為

式中，θk為輪齒上過k點的弧齒厚所對應的圓心角。

可見齒廓壓力角隨著半徑的增加而減小，理論上當齒頂寬度為零時，最小壓力角等于齒頂半角β；而最大的壓力角出現在外齒輪齒根嚙合的位置, 與漸開線齒輪相比較，其壓力角沿齒高方向變化的趨勢相反，同時變化的幅度也小得多。因此可以預見，兩種齒輪的傳動特性也會有較大的區別。

2 直線共軛內嚙合傳動

直線齒廓外齒輪按照平面嚙合原理，可以和一個共軛的內齒輪組成內嚙合齒輪副,當滿足定傳動比條件時，兩個齒輪的運動相當于一對節圓的純滾動，節點P為兩個節圓的內公切點，位于內外齒輪中心O1、O2的連線上，如圖4所示。

圖4 直線共軛內嚙合齒輪副

齒輪的節圓半徑r1′、r2′可以根據傳動比i及實際嚙合中心距a′計算：

式中，z2為內齒輪齒數。

對于同樣一個直線齒廓外齒輪，可以在不同的中心距下與齒數為z2的內齒輪共軛，實現同樣傳動比的傳動，對應內齒輪齒廓可以通過共軛原理進行計算，不過在不同的中心距下得到的內齒輪共軛齒形是不一樣的，這一點與漸開線齒輪副有區別。

把內齒輪齒廓上壓力角為標準值的點也定義為其分度圓位置，如果嚙合時，直線齒廓外齒輪的節圓與其分度圓重合，由于嚙合的一對齒輪節圓壓力角相同，因此共軛內齒輪的節圓也與其分度圓重合，這種嚙合狀態定義為直線共軛標準內嚙合，兩個齒輪必須具有相同的模數，嚙合中心距為

由式（10）定義的中心距a稱為標準中心距。如果中心距大于或小于標準中心距，內外齒輪也可以嚙合，構成變位的直線共軛內嚙合。需要再次指出的是，由于不具備漸開線齒輪的可分性，不同中心距下嚙合的直線共軛齒輪副，內齒輪齒廓共軛曲線是不同的，因此直線共軛內嚙合齒輪傳動的變位問題的研究要復雜得多。

3 齒廓嚙合極限點

式（5）表述的外齒輪齒廓，是一條可以無線延伸的直線，但是實際上輪齒的高度是有限的，設計時需要合理選取該直線的一段作為輪齒齒廓，圖5所示的直線外齒輪齒廓，其齒頂最高不超過齒廓與對稱軸的交點A，由齒廓方程式（5）、式（6）可得

圖5 直線共軛內嚙合的齒廓嚙合極限點

其實，點A不一定就是內外齒廓嚙合時的極限點。經過直線齒廓上的任意一點M（xm，ym）作齒廓的法線，交節圓于P1點；將M點連同其法線沿齒廓向上平移，P1點也在節圓上向右移動，最終到達與節圓的切點Pc，此時齒廓上對應點C（xc，yc）為齒廓嚙合極限點，超過嚙合極限點的齒廓直線段沒有共軛曲線，可能在嚙合過程中發生齒廓干涉，因此在齒輪設計時，齒輪的齒頂不能超過C點。

嚙合極限點C的坐標可由下式計算：

圖4中，N點為直線齒廓上過嚙合極限點C的法線與坐標軸Y1的交點，有

將式（11）代入式（14），得

很明顯，C點的位置不僅決定于直線齒廓本身的參數，還與與齒輪副的傳動比及中心距有關。對于相同模數和齒數的直線齒廓外齒輪，其嚙合極限點的位置與齒頂半角β有關，β越大，極限點位置越高，當C點與A點重合時，可得

仿照漸開線齒輪的參數設計方法，直線齒廓外齒輪齒頂圓半徑與分度圓半徑之差為齒頂高：

由于長度CN的計算比較方便，齒輪參數設計時，可以采用如下限制條件：

圖4中，外齒輪齒槽兩側的直線齒廓，在齒根相交于B點。顯然齒廓工作時嚙合點不能在B點以下，B點為直線齒廓上齒根的極限位置，外齒輪中心到B點的距離為

定義直線齒廓外齒輪分度圓半徑與齒根圓半徑之差為齒根高：

式中，c*為頂隙系數。

4 嚙合線及其特性

根據上一節的分析，直線齒廓外齒輪可以選擇齒廓直線上BC點之間任意一段長度作為齒輪的齒面輪廓線，與共軛的內齒輪形成內嚙合傳動。但是在實際工況條件下還要考慮連續傳動要求，重合度應不小于1。較大的重合度可以提高傳動的平穩性，提高承載能力，但是在一些特殊的場合，如內嚙合齒輪泵中，重合度過大會引起嚴重的困油。

嚙合線是齒輪副嚙合過程中，嚙合點在固定坐標架中的軌跡，可以通過齒廓法線法來進行求解。嚙合線可以表達齒輪副的嚙合特征，還可以用于共軛齒廓的計算以及重合度的分析。

齒輪傳動的重合度主要與輪齒的高度有關，漸開線齒輪的重合度與齒高的關系近似于正比例關系，因為其嚙合線為直線。因此，在齒形設計時，選擇不同區段的漸開線作齒廓，齒輪高度基本上沒有太大的差別。但是對直線共軛內嚙合傳動的嚙合過程分析發現，其重合度與齒高的關系與漸開線齒輪完全不同。

如圖6 所示，過節點P作外齒輪齒廓g1的垂線，垂足為嚙合點m，顯然m點位于嚙合線上。

圖6 嚙合過程中的坐標變換

設點k1為直線外齒輪齒廓上的任意一點，其在坐標系O1X1Y1中的坐標為（x1，y1）。齒廓在k1處的法線與外齒輪的節圓交于點P1。如果k1要成為接觸點，須將外齒輪相對于初始位置逆時針地轉過角度φ1，使點P1與節點P重合，這時點k1在固定坐標系O1XY中對應的位置k（x，y）即為嚙合線上對應點的坐標。

圖6中：

而

為求得嚙合線上對應點的坐標，k1點的旋轉變換為：

直線共軛內嚙合傳動的嚙合線形態如圖7所示，從齒輪齒根位置開始，嚙合線一直比較平直，但是到接近齒輪的齒頂位置，嚙合線的彎曲程度加大，與漸開線傳動有很大的區別。圖7中ψ為一對輪齒從進入到退出嚙合時外齒輪轉過的角度，如果增加外齒輪齒頂圓半徑ra1，輪齒之間本來應該結束的嚙合過程將由于嚙合線的彎曲而大大延長。

圖7 直線共軛內嚙合的嚙合線

圖8是嚙合過程中，直線齒廓外齒輪齒輪齒高與對應的嚙合轉角之間的關系曲線，在靠近齒頂位置曲線開始向上偏轉，也說明靠近齒頂位置的輪齒高度，對重合度的貢獻相對于齒根部分齒廓要大。

圖8 齒輪嚙合轉角角度與齒高的關系

直線共軛內嚙合傳動的這種特性，對齒形設計的意義在于，從滿足傳動重合度要求出發，當工作齒面在直線BC 靠近齒根段時，需要的齒高要大一些，如此設計的齒輪副，在內嚙合齒輪泵中可以得到比較大的排量而避免出現困油現象；而如果工作齒面在直線BC靠近齒頂段，用比較小的齒高就可以滿足連續傳動的要求，從而可以在行星傳動中采用短齒來解決內嚙合傳動的干涉問題，同時提高輪齒彎曲強度。

另外，在整個嚙合過程中，嚙合點在齒面上移動速度變化也比較大，而靠近齒頂時，嚙合點的位置變化相對較慢，對于齒輪泵中的內嚙合齒輪副，可以利用這個特性來控制嚙合點位置，減小輸出流量脈動?？傊?，相對于漸開線齒輪，直線共軛內嚙合傳動的齒形參數設計有更大的靈活性來適應不同傳動工況要求。

5 重合度

齒輪傳動的重合度分析需要計算一對輪齒從進入嚙合到退出嚙合過程中，齒輪轉過的角度，對于齒形參數設計，重合度主要取決于外齒輪和內齒輪的齒頂圓大小。

根據圖9中直線共軛內嚙合齒輪副之間的幾何關系，嚙合點k到外齒輪中心O1的距離為

圖9 直線共軛內嚙合齒輪副重合度計算

式中：ψ1為從初始位置開始，外齒輪的轉角，h為直線齒廓到外齒輪中心的垂直距離，計算公式為

嚙合點到內齒輪中心O2的距離為

齒輪副開始嚙合時，有

式中，ra2為內齒輪齒頂圓半徑。

而嚙合終了，外齒輪的齒頂退出嚙合時，有

分別將式（27）、式（28）代入式（24）、式（26），可求得一對輪齒進入和退出嚙合時外齒輪的轉角，進而計算出齒輪傳動的重合度。

6 工程運用實例

為了驗證本文的研究結果，取一對內嚙合齒輪泵中使用的漸開線內嚙合齒輪副，用直線共軛內嚙合齒形重新設計齒輪參數，保持齒輪的中心距離及齒頂圓半徑相同,兩種齒輪副的參數對照如表1所示。為了保證互換性，兩對齒輪副的齒輪的齒輪圓、齒根圓和中心距相同，計算結果表明兩種齒形的齒輪副的主要齒形參數接近，但在嚙合過程中的壓力角變化規律有較大差別。

表1 齒輪參數對照表

圖10為新舊齒形零件的對比照片，經過試驗測試，直線共軛齒形的齒輪副在原漸開線內嚙合齒輪泵中工作情況良好。

圖10 兩種齒形齒輪零件的對照

7 結論

1）在直線共軛內嚙合齒輪傳動中，直線齒廓外齒輪的壓力角取決于齒頂半角和齒數；齒頂半角越大，齒數越少，壓力角越大；對于給定的壓力角，存在一個最小齒數。另外，壓力角隨嚙合點半徑的增大而減小，最小壓力角等于齒頂半角。

2）直線齒廓外齒輪存在上下嚙合極限點，而齒頂的嚙合極限點有可能小于齒頂圓，造成部分齒廓不能參與嚙合，以及出現干涉現象。

3）直線齒廓外齒輪可以與一個共軛的內齒輪構成內嚙合傳動，內齒輪的齒廓曲線與中心距有關，其嚙合線為一條曲線，嚙合線在接近齒輪的齒頂位置彎曲程度加大，靠近齒頂位置的輪齒高度，對重合度的貢獻相對于齒根部分要大得多。

直線共軛內嚙合齒輪副加工并不困難，外齒輪類似于三角形外花鍵，可以在銑床或滾齒機上加工，并利用花鍵磨床磨削；內齒輪的加工，大批量生產采用拉削技術，生產效率高，精度容易保證，小批量加工也可以采用插齒?？梢灶A見，隨著直線共軛內嚙合傳動理論研究的深入，這種齒輪傳動方式不但可以在內嚙合齒輪泵中得到更好的運用，還有可能在行星齒輪傳動等領域得到推廣。