考慮中頻變壓器非理想幾何結構的通用漏感解析模型

郭 軒，鄭澤東，李 馳

（清華大學 電力系統及大型發電設備安全控制與仿真國家重點實驗室，北京 100084）

0 引言

變壓器漏感定義為只與一次繞組或二次繞組自身交鏈的，對互感磁通沒有貢獻的漏磁通所對應的集總參數電感［1］。其通常作為功率傳輸組件或諧振元件，對變換器的運行特性和效率特性產生較大影響［2?3］，因此需要對變壓器漏感進行精準建模。

變壓器漏感計算通常分為解析法和數值法，數值法指有限元仿真算法，通過求解小區域內麥克斯韋邊值問題得到整體問題的解，計算精度高，誤差通常在5 % 以下，但計算復雜度高，計算時間長［4?5］。而中頻變壓器優化設計往往需遍歷數萬乃至數百萬個設計點［6?7］，漏感數值計算法難以滿足設計要求，因而對于漏感計算的研究主要集中于解析建模計算。

變壓器漏感解析計算方法通常采取能量法，基于變壓器理想幾何結構假設，即漏磁場只存在沿窗口高度方向的一維分量，且沿窗口寬度方向漏磁場強度呈線性梯形分布。通過對原邊繞組、副邊繞組及原副邊繞組間絕緣區域漏磁能量積分后便可得到整體漏感［1，8?10］。該方法計算簡單，且對于理想幾何結構變壓器漏感的求解計算精度較高。文獻［11?13］基于以上方法，進一步考慮高頻條件趨膚效應和鄰近效應對磁場分布的影響，實現了高頻條件下理想幾何結構變壓器漏感的精準建模。但因絕緣要求等原因導致的變壓器非理想幾何結構（如原副邊繞組高度不等，繞組非密繞導致匝間距離對漏磁計算的影響不可忽略）會使得“漏磁場只存在沿窗口高度方向的一維分量”的假設不再成立，因而上述模型在求解非理想幾何結構變壓器漏感時誤差極大［14?17］。

目前對于非理想幾何結構變壓器漏感的解析計算研究集中于基于物理模型和基于數據驅動算法的公式推導。文獻［18］提出基于數據驅動算法的漏感求解方法，基于大量仿真數據，擬合復雜多項式的系數，進而通過復雜多項式預測非理想幾何結構變壓器漏感，實現較高的計算精度，計算誤差在10 % 以下。但基于數據驅動算法的漏感求解方法需大量數據（50 000 組及以上）進行訓練擬合，擬合復雜度較高，且無明確物理含義，難以適用于所有漏感求解情況。

對于基于物理模型的漏感計算，文獻［15?16］對于原副邊繞組高度相等，但變壓器繞組高度小于磁芯窗口高度的簡單非理想幾何結構，提出一種基于洛氏高度等效的漏感建模方法。在傳統理想幾何結構下一維漏感模型的基礎上引入修正系數。對于簡單非理想幾何結構求解精度較高，相比傳統一維漏感模型，計算誤差可由40 % 降至7 % 以下，但該方法對于原副邊繞組高度不等、繞組匝間距離不可忽略等更典型的非理想幾何結構不適用。文獻［19］針對原副邊繞組高度不等的非理想幾何結構進行基于疊加定理和洛氏高度等效方法的解析建模，相對傳統不考慮非理想幾何結構的一維漏感模型，計算誤差可由50 % 降至7 % 以下。但該模型只針對原邊繞組密繞、副邊繞組單層繞制的情況。而原副邊繞組多層繞制、原副邊繞組均為非理想幾何結構等更典型、更一般化的非理想幾何結構并未被納入考慮范圍。本文在文獻［19］的基礎上，提出一種更加通用的考慮非理想幾何結構的中頻變壓器漏感解析模型，考慮了原副邊繞組多層繞制的非理想幾何結構；此外，在原邊非密繞情況下，考慮了原邊匝間距離對漏磁場分布的影響，旨在進一步提升漏感解析建模的計算精度，為中頻變壓器優化設計提供理論基礎。

1 副邊繞組為非理想幾何結構的多層繞組變壓器漏感建模

非理想幾何結構會使變壓器部分區域產生漏磁場畸變，進而影響整體漏感的計算，此時變壓器漏磁場強不再滿足沿窗口寬度方向一維梯形分布的假設，見圖1，磁場畸變對漏感解析求解產生較大影響。此外，變壓器窗口內外漏磁場分布并不完全相同［17］。圖中：|H|為磁場強度模；左、右兩圖分別對應變壓器原副邊繞組高度相等及不等的情況。

圖1 變壓器原副邊繞組高度相等及不等時漏磁場分布Fig.1 Leakage magnetic field distribution of transformer with equal and unequal winding height of primary-side and secondary-side

因此，需綜合考慮非理想幾何結構引起的磁場畸變以及變壓器窗口內外磁場分布不均的情況。

典型多層繞組變壓器排布結構有2 種：第一種為副邊多層繞組相同層間（same arrangement，SA）排布，見附錄A 圖A1（a）；第二種為副邊多層繞組優先內層布滿（full inter-layer arrangement，FI）排布，首先將內層密繞繞滿之后再繞外層，見附錄A 圖A1（b）。圖中：dwp、dws、dins分別為原邊繞組寬度、副邊繞組寬度、原副邊繞組間絕緣距離；hwp、hws分別為原、副邊繞組高度；dk1、dk2分別為副邊多層繞組相同層間排布、多層繞組優先內層布滿排布下原副邊繞組高度差的一半；λl為縱向磁場寬度，λl=dwp+dws+dins；s1、s2分別為高度更低的繞組與左側、右側磁芯柱的距離。

對于副邊多層繞組相同層間排布的結構，原邊、副邊繞組高度不等，沿窗口寬度方向的安匝數不平衡，此時采用傳統Dowell 模型會引起較大誤差。對此，本文基于疊加定理將漏磁場分解為安匝數平衡的縱向漏磁場和橫向漏磁場的矢量和，如圖2 所示。圖中：λ1、λ2為2段橫向磁場寬度。

圖2 副邊多層繞組相同層間排布下漏磁場矢量疊加Fig.2 Vector superposition of leakage magnetic field with same arrangement structure of secondary-side multi-layer winding

圖2（a）中原邊繞組單位高度磁動勢為NpIp/hwp，副邊繞組單位高度磁動勢為NsIs/hws，且磁動勢只存在于區域2中，其中原邊繞組磁動勢NpIp等于副邊繞組磁動勢NsIs。首先為保證縱向磁場沿x軸安匝平衡，在圖2（b）中將副邊繞組延展至與原邊繞組相同高度，總磁動勢不變，此時區域1 — 3 中副邊繞組單位高度磁動勢為NpIp/hwp，進一步地，為了保證分解后的磁動勢分布與圖2（b）中磁動勢分布相同，引入虛擬繞組，在圖2（c）中令區域1、3的單位高度磁動勢為-NpIp/hwp，令區域2 中的單位高度磁動勢為NsIs/hws-NpIp/hwp，圖2（b）和圖2（c）疊加后，仍可保證區域1 和區域3 的單位高度磁動勢為0，區域2 中單位高度磁動勢為NsIs/hws。此時圖2（b）中磁場沿x軸安匝平衡，磁場強度只有y軸分量，圖2（c）中磁場沿y軸安匝平衡，磁場強度只有x軸分量。

由于圖2（b）中的縱向漏磁場與圖2（c）中的橫向漏磁場正交，可以分別計算兩部分漏磁場能量后標量疊加，以得到整體漏磁場能量?？v向漏磁場和橫向漏磁場磁動勢分布曲線如圖2 所示，由于合適的利茲線線徑選取，交流效應對漏磁場分布的影響可以忽略，因此縱向磁場磁動勢分布為梯形分布，橫向磁場磁動勢分布曲線為三角分布。

對于繞組高度小于窗口高度的非理想幾何結構，需要采用洛氏高度等效的方法，將不同路徑的磁力線轉換為全部平行于磁芯窗口高度方向的磁力線，并且各磁力線具有相同的計算高度heq［20］，如圖3所示。圖中：hw為繞組高度；dw為繞組寬度；deq為繞組洛氏等效寬度。洛氏高度等效方法此前已被Mogorovic 用于縱向漏磁能量計算，但未考慮橫向漏磁和窗口內外磁場分布不同的影響［13］。

圖3 洛氏高度等效示意圖Fig.3 Equivalent diagram of Rogowski height

窗口內外漏磁場能量分別計算的思路源于文獻［17］，但所提模型為半解析數值模型，非解析模型。

本文解析模型對于窗口內外磁場計算方法相似，窗口內縱向漏磁場能量Wσ，l，IW，pu和窗口外縱向漏磁場能量Wσ，l，OW，pu的計算公式為：

式中：μ0為真空磁導率；heq，l，IW為窗口內洛氏等效高度；ρl為縱向洛氏系數，見附錄A 式（A1）；h為窗口高度。式（1）和式（3）的區別主要在于等效的計算磁場高度不同，式（1）中的計算磁場高度為洛氏高度和窗口高度的較小值，而式（3）中的計算磁場高度直接為洛氏高度hwp/ρl。

窗口內橫向漏磁場能量Wσ，t，IW，pu和窗口外橫向漏磁場能量Wσ，t，OW，pu的計算公式分別為：

式中：λi為第i個區間（橫向磁動勢兩零點之間為一個區間）磁動勢曲線中相鄰兩零點間的距離；Fi為第i個區間的磁動勢最大值；n為區間數；ρt，IW、ρt，OW為洛氏系數，分別見附錄A 式（A2）、（A3）。式（4）和式（5）的區別主要在于ρt，IW和ρt，OW不同。

整體漏感Lσ主要由Wσ，l，IW，pu、Wσ，t，IW，pu、Wσ，l，OW，pu、Wσ，t，OW，pu構成，計算公式為：

式中：lIW、lOW分別為窗口內、外漏磁場區域的平均長度；I1為激勵電流值。傳統不考慮非理想幾何結構的Dowell 模型正是由于忽略了橫向磁場，導致計算非理想幾何結構變壓器漏感時產生較大誤差。

對于副邊多層繞組優先內層布滿排布結構，副邊繞組層間高度不同，沿窗口寬度方向其安匝數不平衡。此結構下，縱向及橫向磁場磁動勢分布曲線如附錄A 圖A2所示。對于縱向漏磁場能量計算，其磁動勢分布曲線仍然是線性分布，但不再是梯形分布。對于橫向漏磁場，只需考慮最外層繞組區域產生的漏磁場能量。多層繞組優先內層布滿排布下的縱向漏磁場能量計算公式為：

式中：Ns-in、Ns-out分別為副邊繞組內、外層匝數。式（8）、（9）相較于式（1）、（3）的主要區別在于副邊繞組區域的磁場能量需分段計算。

多層繞組優先內層布滿排布下的橫向漏磁場能量計算公式仍如式（4）、（5）所示，但其中Fi為：

文獻［19］給出了一種使得非理想幾何結構下變壓器漏感最小的優化排布方案，即當副邊繞組各匝間距離相等，且副邊繞組距磁芯頂部和底部的距離為匝間距離的一半時漏感最小。但文獻［19］并沒有針對多層繞組變壓器展開進一步討論。

對于附錄A 圖A1 所示的多層繞組變壓器，其使漏感最小的最優排布結構如附錄A 圖A3 所示。相較于圖2 和圖A2 所示的集中繞組排布，主要區別在于橫向磁場磁動勢，副邊繞組相同層間結構的優化排布下橫向磁場磁動勢Fi如式（11）所示，副邊多層繞組優先內層布滿結構的優化排布的橫向磁場磁動勢Fi如式（12）所示?？梢詳抵底C明，圖A3（b）所示繞組排布對應漏磁場能量小于圖A3（a）所示繞組排布對應漏磁場能量。

2 原副邊繞組均為非理想幾何結構的變壓器漏感建模

本文所建立的模型假設變壓器原邊繞組密繞，即原邊繞組匝間距離可以忽略。但在變壓器實際繞制過程中，原邊繞組高度通常小于變壓器窗口高度，使得原邊繞組匝間距離不可忽略。此時，變壓器漏感計算需要考慮原邊繞組處產生的橫向漏磁場能量。疊加定理視角下的縱向磁場與橫向磁場分解如圖4 所示。橫向漏磁場能量由原副邊繞組處等效的虛擬繞組共同產生。

原邊繞組區域產生的橫向磁場Hxp和副邊繞組區域產生的橫向磁場Hxs與整體縱向磁場Hy正交，而Hxp與Hxs方向相同或者相差180°。此結構下漏磁場能量密度W的計算公式如式（13）所示，式中HxpHxs項只存在于圖4所示陰影區域處，該區域被定義為洛氏磁場疊加區域。該區域等效磁場計算高度heq?cross如式（14）所示。洛氏區域左側有Hxs=0，右側有Hxp=0，當原邊、副邊磁場區域產生的橫向磁場方向相同時HxpHxs項取正，否則該項取負。

式中：ρt?ip和ρt?is分別為原、副邊第i個區間對應的橫向洛氏系數。

因此，對于原邊匝間距離不可忽略的情況，可以對整體縱向漏磁場能量Wσ，l、原邊繞組區域橫向漏磁場能量Wσ，t，p、副邊繞組區域橫向漏磁場能量Wσ，t，s以及如式（15）所示的洛氏磁場疊加區域漏磁場能量Wcross分別計算后進行標量疊加以得到整體漏感值。Wσ，l、Wσ，t，p、Wσ，t，s仍可以由第1 章給出的計算縱向漏磁場能量和橫向漏磁場能量的方法計算得到，區別僅在于橫向漏磁場磁動勢分布不同。最終漏感值由式（16）給出，相比式（7），額外考慮了原邊繞組橫向磁場能量以及洛氏磁場疊加區域漏磁場能量。

式中：V為體積。

結合圖4 和式（16）分析可知：Wσ，l，IW為窗口內縱向磁場能量，對應圖4（a）；Wσ，t，p，IW、Wσ，t，s，IW和Wσ，cross，IW分別為窗口內原邊區域橫向漏磁場能量、副邊區域橫向漏磁場能量和洛氏疊加區域漏磁場能量，對應圖4（b）；Wσ，l，OW為窗口外縱向磁場能量，對應圖4（c）；Wσ，t，p，OW、Wσ，t，s，OW和Wσ，cross，OW分別為窗口外原邊區域橫向漏磁場能量、副邊區域橫向漏磁場能量和洛氏疊加區域漏磁場能量，對應圖4（d）。

3 仿真與實驗驗證

本文基于EE 80／38／20 和EE 186／76／30 型磁芯搭建了多組樣機以驗證所提模型的準確性。實驗測試圖如附錄B 圖B1 所示，樣機實物圖如附錄B圖B2、B3所示。具體仿真和實驗參數如附錄B表B1所示，分號分隔不同磁芯型號下的繞組型號，仿真和實驗平臺分別基于COMSOL Multiphysics 5.4 和穩科精密阻抗分析儀6500B。

3.1 多層繞組漏感模型驗證

圖5 和附錄C 圖C1 分別展示了EE 80／38／20和EE 186／76／30 磁芯樣機多層繞組變壓器在不同繞組結構（多層繞組相同層間排布結構、優先內層布滿結構），不同絕緣距離下，漏感隨dk1和dk2變化的曲線以及理論模型的解析值與有限元仿真值之間的誤差比較。相較于有限元仿真，理論模型解析值的誤差最大值為7.5 %。

圖5 多層繞組變壓器漏感隨dk1和dk2變化的曲線及誤差比較（磁芯型號EE 80／38／20）Fig.5 Curves of leakage inductance of multi-layer winding transformer changing with dk1 and dk2，and error contras（tCore type is EE 80／38／20）

圖6給出了EE 80／38／20磁芯樣機，在不同繞組結構（多層繞組相同層間排布結構、優先內層布滿結構）下，優化排布，漏感隨副邊繞組匝數Ns變化的曲線（Ns不同，即dk不同）以及理論模型的解析值與有限元仿真值之間的誤差比較。相較于有限元仿真，理論模型解析值的誤差最大值不超過5 %。

圖6 多層繞組變壓器漏感隨Ns變化的曲線及誤差比較（磁芯型號EE 80／38／20，優化排布）Fig.6 Curves of leakage inductance of multi-layer winding transformer changing with Ns，and error contrast（Core type is EE 80／38／20，optimized arrangement）

對于窗口內外漏磁場能量分別進行計算的準確性驗證，附錄C 圖C2 給出了EE 80／38／20 磁芯樣機在不同繞組結構（多層繞組相同層間排布結構、優先內層布滿結構）下，窗口內外漏磁場能量對應的單位長度漏感隨dk1和dk2變化的曲線，及理論模型與有限元仿真值之間的誤差比較。相較于有限元仿真，窗口內外理論模型的誤差最大值為6.4 %。

對于橫向磁場與縱向磁場分解準確性的驗證，附錄C 圖C3 給出了EE 80／38／20 磁芯樣機，橫向漏磁場能量、縱向漏磁場能量及整體漏磁場能量對應漏感隨dk1和dk2變化的曲線，及理論模型與有限元仿真值之間的誤差比較。相較于有限元仿真，縱向漏磁場能量和整體漏磁場能量誤差在5 % 以下，橫向漏磁場能量誤差在10 % 以下。

分別對附錄B 圖B2 所示的樣機進行短路實驗，測量不同結構、不同繞組排布下的漏感，結果如表1所示。由表可知，最大實驗誤差為6.5 %，本文所提模型有較高的計算精度。此外，相較于典型的多層繞組集中排布，優化排布下的漏感值可減小31 %。

表1 多層繞組變壓器樣機漏感實驗測量結果Table 1 Experimental results of leakage inductance of multi-layer winding transformer prototype

3.2 原副邊繞組均為非理想幾何結構下漏感模型驗證

圖7 和附錄C 圖C4 分別展示了EE 80／38／20和EE 186／76／30 磁芯繞制的變壓器，在原邊繞組非密繞結構下，變壓器樣機漏感隨dins和Ns變化的曲線。相較于Dowell 模型（計算誤差在50 % 以上）和文獻［19］中未考慮洛氏磁場疊加區域的模型（計算誤差為15 %），本文所提模型的計算誤差可降至4 %。

圖7 原邊非密繞結構變壓器漏感隨dins及Ns變化的曲線及誤差比較（磁芯型號EE 80／38／20）Fig.7 Curves of leakage inductance of transformer considering turns distance in primary-side changing with dins and Ns，and error contrast（Core type is EE 80／38／20）

本文所提模型的誤差來源一部分在于將繞組區域磁動勢視為線性分布，忽略了高頻效應對磁場分布的影響，雖然可通過合適的利茲線線徑選取來抑制高頻效應，但仍會造成一定誤差；另一部分在于洛氏高度等效方法是將不同路徑的磁力線轉換為全部平行于磁芯窗口高度方向的磁力線，并且各磁力線具有相同的計算高度，可極大地降低計算復雜度，但不具備底層物理意義，等效過程中也會造成一定誤差。此外，實驗測試過程中繞組匝間距離很難被精確控制，也會造成一定的測量誤差。

4 結論

本文針對基于EE 型磁芯及利茲線繞組的殼式結構變壓器，在保證適用頻率使得利茲線單股線徑小于趨膚深度的基礎上，基于疊加定理和洛氏高度等效方法計及了變壓器實際繞制過程中的典型非理想幾何結構對漏感計算精度的影響，提出一種通用的高精度漏感解析模型。

首先針對副邊繞組為非理想幾何結構的多層繞組變壓器的典型繞組形式（副邊繞組層間排布相同和優先內層布滿排布），一方面修正了縱向漏磁場磁動勢分布曲線，另一方面考慮了橫向漏磁場能量的影響，將一維磁場計算模型改進為二維磁場計算模型。在此模型的基礎上，通過改變副邊繞組排布實現了最小漏感的優化排布。

進一步，針對原副邊繞組均為非理想幾何結構的變壓器，在考慮副邊橫向漏磁場能量的基礎上，考慮原邊橫向漏磁場能量以及洛氏疊加區域的原副邊繞組耦合橫向漏磁場能量，將漏感模型完善為全面的二維多區域磁場計算模型。

本文所提漏感解析模型，一方面顯著提升了計算精度，另一方面相較于有限元計算，即使是二維有限元，計算效率也可提升5 個數量級。研究工作可以為中頻變壓器優化設計提供理論模型基礎，同時為中頻變壓器漏感調整提供了除調整繞組匝數及絕緣距離以外的新方法。

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