歷階而上:APOS理論下初中數學概念的階段教學與研究

何 蕾

(江蘇省蘇州外國語學校 214500)

1 問渠哪得清如許——問題提出,開啟概念教學盲點

概念教學是數學教學的核心所在,國內外專家從多學科角度,對數學概念教學提出了許多理論．斯根普(Skemp R．)認為,事物的理解有兩種模式:工具性理解和關系性理解．盛興林指出,結構主義理論探究了其在高中數學概念教學中的有效落實[1]．李彩虹和李祎基于APOS理論、多元表征理論及辨識教學理論整合了概念教學設計．自20世紀APOS理論創立以來,基于該理論來研究數學概念教學的論文逐漸增多,呈上升趨勢,是近幾年數學教學的熱點話題之一,該理論也成為概念教學的主流理論(圖1)．

圖1 知網APOS概念教學主題發文趨勢圖

通過文獻梳理(圖2)發現,目前關于數學概念教學的研究集中在具體到單一數學概念課教學設計的制定,而關于數學概念階段教學的研究不多．APOS理論的四個學習階段是合理的,揭示了學生學習數學概念的認知心理和思維過程,這與當前我國新課程所倡導的理念相一致,但對于章節階段教學、整體大單元階段教學如何深化概念教學沒有給出明確的策略．

圖2 知網APOS概念教學主題學科分布

2 為有源頭活水來——APOS理論,支撐概念教學研究

美國數學家杜賓斯基等提出了APOS理論,四個字母分別表示理解數學概念的四個階段:活動階段(Action),過程階段(Process),對象階段(Object),圖式階段(Schema)[2]．學生通過親身體驗、直觀感知,觀察出一類事物的共同特征,從而簡潔并準確地抽象出數學概念.經過前三階段循序漸進的學習,此時的概念是學生認知結構中形成的包含實例、抽象過程、定義描述、類比其他概念的核心圖式(圖3)．

圖3 APOS理論四階段模型

3 萬紫千紅總是春——理論應用,助力概念教學創新

APOS理論已經廣泛應用于函數、抽象代數、數論等多個高等數學領域．此理論指明了學生建構數學概念的學習層次,同時為教師的數學概念教學提供了具體的教學策略．基于此理論,本文以概念教學所處三種不同階段為案例,搭好階段之“階”,歷階而上,對該理論下的概念教學進行分析和研究,明確教學策略．

運營中心成立三年以來,王棣實現了他的第一步戰略目標,就是成功把西王玉米胚芽油打造成為了中國玉米油第一品牌。

公元1世紀,《九章算術》用文字描述的文辭代數階段,文字描述晦澀難懂.后來數學家開始用字母或者符號來表示數量,標志著縮略代數階段的到來．歐洲“代數學之父”韋達,第一個系統地使用字母表示已知數、未知數及其乘冪,標志著符號代數階段真正的開始,為近世代數學的發展奠定了理論基礎．從具體數字到抽象符號,是人類對數的認識的第一次大飛躍．

3.1 身臨情境,感悟文化美育,探求概念本質

數學是美麗的．在教學實踐中,教師應結合數學課程內容,創新教學設計,對學生進行數學美的熏陶和教育,引導學生用數學眼光去欣賞世界．在生活情境中,用數學方法去理解世界,從而探求數學概念的本質．以蘇科版九年級下冊第5章第5節“用二次函數解決問題”為例．蘇州作為著名的江南水鄉,橋梁建筑遍布,為學生提供了廣泛素材,使學生身臨其境,感悟姑蘇千年文化底蘊,從數學角度感悟蘇城之美,經歷活動之“階”．

·環節3 數形結合

通過幾何畫板實踐,將任意三角形繞任意一點旋轉任意角度即為旋轉的本質意義．將旋轉任意角度變為旋轉180°所成圖形就是中心對稱圖形;將任意一點移到三角形一邊中點旋轉180°,即得到平行四邊形;將任意三角形變為直角三角形,將一個直角三角形繞斜邊中點,旋轉180°即得到矩形;一個等腰三角形繞斜邊中點旋轉180°即得到菱形;一個等腰直角三角形繞底邊中點旋轉180°即得到正方形．

師生共同尋訪古跡,欣賞了千年古建蘇州寶帶橋、新建的斜港大橋和石湖三岔橋．聞名中外的蘇州寶帶橋初建于中國唐朝,拱形近似于拋物線,是一座53孔石拱橋,如長虹臥波,雄跨于大運河之上.與之交相輝映的是2015年建成通車的斜港大橋(圖4)．石湖三岔橋又名雙曲拱橋,大跨低拱,結構非常合理,看起來造型輕盈(圖5)．

圖4 蘇州寶帶橋和斜港大橋

問題1千年古建蘇州寶帶橋、新建的斜港大橋和石湖三岔橋都是拋物線型的拱橋建筑.三座橋結構造型差異較大,將它們的“橋拱”按照比例縮小后發現,三橋拱形均形似拋物線．其中斜港大橋橋拱形狀與二次函數拋物線最為近似.那么在數據上有什么關聯呢?

·環節2 躍然紙上

活動2在繪制美中建構數學．

問題2圖6為斜港大橋測繪圖.如果把斜港大橋拱形抽象成曲線AB,主橋寬抽象成線段AB,約為200 m,橋面到拱頂的高約40 m,據此,如何準確描述斜港大橋所呈現的這條拋物線?

天上的云靜靜地停那兒了。我摟著她，說：“呦呦姐，我想我們都瘋了?！眲e呦呦說：“人活著，就要瘋幾回，不然活著有什么勁呢？”

圖6 蘇州斜港大橋及測繪圖紙

·環節1 踏跡尋美

活動3在計算美中探求本質．

問題3將實際問題轉化為數學問題,抽象出了曲線段AB,學生自由建立直角坐標系,確定點A和點C的坐標,從而解得函數解析式,將另外一點B代入函數解析式,確定點B是否在經過點A和點C的拋物線上.

學生通常采用表1中的四種形式建立平面直角坐標系.選擇頂點位置不同,函數解析式也不同,但經過運算,點B在經過點A和點C的拋物線上．從欣賞千年古建蘇州寶帶橋和新建的斜港大橋入手,讓學生直觀感受到了橋拱的拋物線形狀,經過測繪、運算等手段探尋了橋拱的本質,經歷了過程之“階”．

表1 構建函數模型

3.2 借助畫板,實現圖形直觀,構建統一定義

(1)概念本質之探究

數學是研究數量關系和空間形式的科學．圖形的平移、翻折、旋轉與位似是初中平面幾何學習內容的四大重要變換,是研究特殊幾何圖形性質和判定的重要方法．根據幾何圖形變換過程,培養學生想象出變換前后圖形的對應變化．其中關鍵在于培養學生根據變換過程的語言描述刻畫出圖形,實現從幾何語言到圖形語言的跨越．發展學生推理能力和模型思想,讓學生根據圖形變換過程體悟、轉化、歸納,發現結論,證明結論．

(2)幾何畫板之協助

蘇科版教材八年級下冊第9章《中心對稱圖形》涉及大量幾何概念、特殊圖形性質和判定:圖形的旋轉,中心對稱與中心對稱圖形、平行四邊形、矩形等,概念間關聯薄弱,學生學習每個概念時都需要重新建構、辨析概念．教學中需要思考如何去突破概念間的束縛,化歸為同一類文字語言,探究特殊幾何圖形動態形成的本質,形成本章節中心對稱圖形概念的統一定義．

本章節以旋轉為基礎概念,課本定義是“將一個圖形繞一個定點轉動一定的角度,這樣的圖形運動叫作圖形的旋轉”．借助幾何畫板,從旋轉中心、旋轉方向和旋轉角這三個基本要素出發,對圖形變換進行研究,發現幾何圖形概念在幾何原理、文字描述兩方面都具備一致性,得出一般思想、一般結論．

(3)追本溯源之新論

長期疾病相關心理問題是影響糖尿病治療的另一重要因素。調查研究顯示，糖尿病18個月的相關心理痛苦的發生率為38%～48%，在不同程度上影響糖尿病患者的治療依從性、自我管理行為、血糖控制[8]。且針對住院的糖尿病患者的研究表明[2]，糖尿病新住院患者普遍存在不同程度的心理痛苦，患者的回避應對和屈服應對水平越高，心理痛苦程度越大。因此，可以從健康教育著手，提高患者對疾病的認識，消除不必要的恐懼和排斥，讓患者以正性的態度對待糖尿病，減輕心理痛苦，自然能改善治療效果。

隨著我國企業的改革和創新的不斷推進，公司的治理結構也不斷優化，要想從財務治理結構透視財務管理目標。還需要積極轉變企業的經營管理理念，在治理結構的優化過程中進一步提高對財務管理目標的關注，首先，企業的管理層要積極明確企業財務管理的重要性，并緊隨公司治理結構的調整，制定明確的財務管理目標，為財務管理工作的實施提供的導向。其次，也要積極加大對財務管理的關注。積極健全和優化企業的財務管理制度。協同企業的治理結構，切實保證企業財務管理工作和企業改革的有序開展。

活動1在欣賞美中提出問題．

·表達之根——代數式

表2 中心對稱圖形的統一定義

3.3 尋根究底,完整框圖結構,深化體系發展

(1)開啟尋根之旅

需要展示的氣象要素包括規則格點和離散站點兩大類。規則格點資料原始數據形式由Micaps4類或13類等二維網格表示形式和Micaps2類的站點列表表示形式,Micaps4類或13類格式數據用自適應網格數據提取技術,根據顯示比例和展示的樣式尺寸自動計算出適合展示的網格密度,隨著地圖縮放自動調整。Micaps2類格式數據通過對各點坐標的分析計算出網格參數后轉換成網格形式再進行后續處理。離散站點由于站點密度分布不規則,無法采用規則格點方式自動計算,本平臺采用分級展示技術,根據站點級別/重要性等將站點分組,隨著縮放比例自動確定顯示哪些組,確保內容顯示完整性和版面的可讀性。

數學新概念的學習,就是一場尋根之旅和創新之旅的完美二重奏．“新概念”“新定義”題型是熱門話題,需要重視新知識的“根”,找到了根也就找到了新知識的生長點和延伸點．學生感悟到了新數學概念產生的必要性,才能激發學習數學新概念的思維需求[3]．初中代數主要包含數、代數式、方程和函數四大部分,各部分之間存在聯系,教學實施中應幫助學生構建完整的代數框圖結構．

·學科之根——數

數是數學學科的基石,是人類在生產生活中從具體事物中抽象出來的．古時候的結繩計數,就是最初的數字抽象概念．客觀上存在意義相反的兩種量,當被減數小于減數時,負數就產生了．隨著運算法則的發展,出現了加、減、乘、除四則運算以外的乘方和開方運算,產生了無理數,至此完成了初中階段實數范圍的數系擴充．

將旋轉作為圖形的一般變換方法,僅對旋轉對象層層深入,即可實現中心對稱圖形的層層遞進,完成中心對稱圖形統一定義的華麗蛻變．所呈現的概念性質顯明,原理一致,闡明了系列中心對稱圖形新的統一定義,經歷了對象之“階”(表2)．

③磨礦分級流程交叉影響，旋流器分級效率低，溢流濃度低，進而使球磨機循環負荷重，磨礦效率低。一段弱磁選及強磁選混合精礦濃度很低，使得一段旋流器的分級效率很低，在20%以下，一段旋流器溢流濃度僅2%；一段旋流器的分級效率很低使得二段磨球磨機負荷重，磨礦效率低，二段旋流器與磨機匹配性不好，分級效率不高，溢流細度-0.043 mm粒級含量僅在65%左右；

·建模之根——方程

需求計劃提報不嚴謹，隨意性較大，隨意變更時間或數量，從而導致部分材料數量過高與部分材料短缺同時發生，庫存積壓與短缺同時存在，成本上升但卻效率低下。設計變更多，實際工作中，設計變更是常態，而此時如果采購已經完成，勢必造成積壓?，F狀表明：因計劃調整、設計變更、工程剩余等需求計劃不準確是造成企業物資積壓的主要原因。

一般情況下，我們都是在兩個層面上談論核心素養問題的.一是一般意義的層面，二是學科意義的層面.本文討論的話題主要是建立在數學學科意義層面上的，即基于學科意義下的數學素養的培養路徑問題.

在解決實際問題需要比較兩個代數式關系時,產生了相等和不等兩種情況．有條件相等就是方程式,無條件相等就是恒等式．方程可以類比代數式的分類,分為有理方程和無理方程．同樣類比代數式的分類,有理方程可以分為整式方程和分式方程．對解方程的探究歷經千年,“負數”和“虛數”這兩個怪物的出現,嚴重影響了方程體系和解方程的發展之路．

漏電保護器的裝設場所；由于人手握住手持式或移動式電器時，如果該電器漏電，則人手因觸電痙攣而很難擺脫，觸電時間一長，就會導致死亡，而固定式電器漏電，如人體觸及，會因電擊刺痛而彈離，一般不會繼續觸電.由此可見，手持式和移動式電器觸電的危險性遠大于固定式電器觸電，因此一般規定，安裝手持式和移動式電器的回路上應裝設 RCD.由于插座主要是用來連接手持式和移動式電器的，因此插座式回路上也應裝設RCD.GB50096-1999 《住宅設計規范》規定，除空調機電源插座外，其它電源插座回路均應裝設RCD.

·預測之根——函數

利用二元一次方程表示兩個變量之間的對應關系,這就是最初的函數意識．當其中一個變量隨著另一個變量的變化而變化,形成了最樸素的函數概念．從常數到變數,是人類對數的認識的第二次大飛躍．用代數式中的字母表示變數,那么這個式子就是代數函數．初中主要研究一次(二次)函數,這兩個函數和二元一次(二次)方程有著密切的聯系,本質就是等量關系．

(2)顯現圖式之根——大單元框圖結構

[36] “Limits in the seas-No.143 China’s Maritime Claims in the South China Sea”, Office of Ocean and Polar Affairs, Bureau of Oceans and International Environmental and Scientific Affairs, U.S. Department of State, December 5, 2014.

從數到代數式,再到方程和函數,應用導圖視角,構建完整的數學概念網絡系統,明確每個知識的“根”,幫助學生形成組織良好的概念網絡結構．引導學生完成代數知識結構體系構建,旨在形成組織良好的數學認知結構網絡;促進學生對新概念的思考和理解,重視學生對所學概念的梳理歸納、改造重組和系統提升.一段時間教學后,需要適時幫助學生完善知識結構框圖(圖7),陪伴學生完整經歷圖示之“階”．

圖7 初中數學代數四大部分結構框圖

4 結束語

概念教學是數學教學的基礎和核心,讓學生身臨其境,直觀感悟數學概念,有助于啟發學生的深度思維、強化數學概念．教師在教學中要善于歸納概念的本質和研究方法,形成組織良好的數學概念認知結構網絡和圖式．在概念教學中經歷活動之“階”、過程之“階”、對象之“階”、圖示之“階”．歷階而上,從概念課教學設計入手,擴展到階段章節概念教學,直至完成初中階段代數整體大單元的概念教學．概念不是某節新課的專利,概念教學需要教師有大局觀、整體觀,有意識地進行階段性歸納與反思,最終實現三級階梯式的完美進階．