具有輸入輸出約束的無人直升機預設性能安全跟蹤控制

馬浩翔 陳 謀 吳慶憲

(1.南京航空航天大學自動化學院,江蘇 南京 211106;2.河南科技大學信息工程學院,河南 洛陽 471023)

1 引言

由于無人直升機具有垂直起降和定點懸停等優勢,且已廣泛應用于各種民用和軍用領域,如未知環境探測[1]、物資吊裝[2]等.但無人直升機具有欠驅動及各通道高度耦合的特性,其有效控制存在很大挑戰.國內外學者對相關建模方法和控制技術均做了大量研究,并取得了許多成果[3–7].然而,無人直升機的多數任務常伴隨有多種約束[8–9],因此,在考慮多約束情況下無人直升機的安全控制問題具有十分重要的意義.

由于無人直升機自身物理條件的限制,其主旋翼拉力及控制力矩都會不可避免地受到飽和約束.針對非線性系統的抗飽和方法已取得了許多有效的研究成果,如模型預測控制方法[10]、雙曲正切函數方法[11]與輔助系統方法[12]等.文獻[13]通過雙曲正切函數來代替輸入飽和函數,并設計了自適應跟蹤控制器保證系統全局穩定.除此之外,文獻[14]通過一類Sigmoid函數去處理輸入飽和特性,并對估計誤差采用模糊邏輯系統補償,以實現閉環系統的穩定.

除輸入飽和約束外,在特定的任務環境下,無人直升機常常受到外部環境的限制,這類限制會表現為航跡約束[15];另外,考慮到無人直升機在實際控制中會對飛行姿態有較高的限制,這類限制表現為姿態角約束[16].近年來,學者們針對無人直升機的輸出受限問題做了大量研究,常用的方法有模型預測控制方法、障礙Lyapunov函數方法與預設性能函數方法等.為保證直升機系統在預設姿態角約束下的瞬態與穩態性能,文獻[17]設計了一種有限時間預設性能控制器.文獻[18]將預設性能函數與容錯控制方法相結合,針對無人直升機的姿態與高度系統提出了一種自適應容錯受限控制方法.然而,障礙Lyapunov函數方法與預設性能函數方法在處理受限問題時,都要求預設的期望跟蹤信號始終在預設的約束內.但在許多復雜環境下,這些約束往往是時變且無法提前預測的,只能通過直升機自帶雷達[19]或其他傳感器[20]實時獲取.正是由于實時約束無法預知,預設的期望跟蹤信號很有可能與實時約束發生沖突,并導致撞到障礙物等不可逆的后果.因此,如何在保證安全性能的前提下,盡可能地實現對預設期望跟蹤信號的跟蹤,是一個亟待解決的問題.

另外,未知外部干擾廣泛存在于無人直升機的實際飛行過程中,并會影響系統穩定性.尤其在輸入輸出約束下,嚴重的干擾更是會造成無人直升機的飛行不穩定甚至墜機等不可逆的后果.一直以來,各種抗干擾控制方法,如自適應控制方法[21]、擴張狀態觀測器方法[22]、干擾觀測器方法[23]等,在直升機系統中得到了廣泛應用.針對無人直升機系統中合外力與力矩上的復合干擾,文獻[24]設計了一種非線性自適應律,并通過仿真對其有效性進行了驗證.文獻[25]采用參數自適應方法對外部干擾的未知上界進行估計,并結合反步控制方法實現了對干擾的抑制并保證了閉環系統的穩定.

受以上工作的啟發,本文在考慮姿態與高度約束的情況下,基于一類邊界保護算法,構建了新的安全期望跟蹤信號.為保證無人直升機姿態與高度系統的安全性,將預設性能函數與邊界保護算法進行結合,并對跟蹤誤差進行轉換.針對系統的輸入飽和現象,使用Sigmoid函數進行逼近;同時,針對飽和函數的逼近誤差與未知外部干擾構成的復合干擾,采用參數自適應方法對其上界進行逼近,并基于反步控制方法設計控制器.然后,通過Lyapunov方法證明了閉環系統所有信號的收斂性,保證了無人直升機在輸入輸出約束下的安全跟蹤性能.最終,通過數值仿真驗證了所提控制方法的有效性.

2 建模與問題描述

2.1 無人直升機姿態與高度系統模型

考慮無人直升機的機體運動學及動力學特性,其姿態與高度系統模型[3]可表示為

式中:?為滾轉角,θ為俯仰角,ψ為偏航角,Z為飛行垂直高度;p為滾轉角速度,q為俯仰角速度,r為偏航角速度,v為垂直方向上的速度;Ix,Iy及Iz為無人直升機的轉動慣量分量;Σ1,Σ2及Σ3分別表示無人直升機在x軸、y軸、z軸3個方向的總控制力矩,Tmr為主旋翼拉力;dx,dy,dz及dT為無人直升機受到的未知外部干擾;m為無人直升機的質量,g為重力加速度.

考慮到無人直升機自身物理特性的限制,其主旋翼拉力及控制力矩都會受到飽和約束,為此將主旋翼拉力的飽和函數表示為[11]

與式(2)類似,每個方向上控制力矩的飽和函數也可表示為

為方便控制器的設計,首先定義?=[p q r]T,J=diag{Ix,Iy,Iz}為慣性矩陣[3],以及姿態變換矩陣[3]為

則可將系統(1)重新表述為如下二階系統:

式中:x1=[? θ ψ Z]T與x2=[p q r v]T為系統狀態量;d=[dx/Ixdy/Iydz/IzdT/m]T=[d1d2d3d4]T為未知外部干擾;y為無人直升機姿態與高度系統的輸出;u=[u1u2u3uT]T為飽和作用下的控制輸入;f1,f2,g1與g2可表示為

通過定義系統不考慮飽和下給定控制輸入向量U=[Σ1Σ2Σ3Tmr]T,可得給定控制輸入與飽和作用下的控制輸入的差值向量表達式為

2.2 問題描述與相關假設

考慮到無人直升機在實際飛行中存在最小轉彎半徑、最大爬升率以及實時外部環境等限制,無人直升機常常受到實時高度約束與姿態角約束.定義系統的實時上界值為yup(t)=[?up(t)θup(t)ψup(t)Zup(t)]T,實時下界值為ylow(t)=[?low(t)θlow(t)ψlow(t)Zlow(t)]T.由于約束的實時性,預設的期望跟蹤信號yd(t)=[?d(t)θd(t)ψd(t)Zd(t)]T就有可能會超出邊界值.此時,無人直升機控制將優先考慮其安全問題.綜上所述,本文控制目標如下.

設計預設性能安全跟蹤控制器使得無人直升機系統在滿足輸入輸出約束條件的基礎上,盡可能地跟蹤原期望跟蹤信號yd,同時,保證閉環系統中的所有信號有界.

注1本文基于傳感器得到的邊界信息采樣點,結合相關平滑方法,如B樣條曲線方法、插值擬合方法等,進行處理得到實時輸出約束,具有實時性、平滑性和有界性.

為了實現控制目標,引入以下定義、引理與假設.

定義1[14]給出Sigmoid函數S(x)表達式如下:

式中a1,a2與a3分別為與幅值、增益和偏移相關的待設計常數.Sigmoid函數式(6)是一個不含奇異點的連續可微函數,且其泰勒級數是收斂的.

引理1[12]以h為輸入信號,構建以下指令濾波器:

式中:λ(0)=h(0),η(0)=0.如果h滿足||≤σ1以及||≤σ2,其中σ1,σ2>0,則對?δ >0,存在Γ >0,ζ ∈(0,1],使得|λ-h|≤κ成立,且||及||是有界的.

引理2[12]對任何ξ >0以及e ∈R,都有以下不等式成立:

式中o=0.2758.

引理3[13]對于無人直升機系統(4),如果存在一階連續可微的函數V(x1,x2)與C0>0,ε0>0滿足下面的條件:

1)V(x1,x2)的初值是有界的;

2)κ1(∥x1∥,∥x2∥)≤V (x)≤κ2(∥x1∥,∥x2∥);

式中κ1,κ2:Rn →R為K類函數,則系統的解x1(t),x2(t)最終一致有界.

假設2[23]無人直升機未知外部干擾信號d(t)滿足范數有界條件,即滿足|di|≤εd,i,其中εd,i >0,i=1,2,3,4.

假設3[4]無人直升機的滾轉角與俯仰角一直在限定區間內變化,即?∈(-π/2,π/2),θ∈(-π/2,π/2).

假設4[4]無人直升機的所有信號均是可測的,且初始狀態均在初始輸出約束范圍內.

假設5[11]針對輸入飽和、輸出約束與外部干擾下的無人直升機系統(4),存在切實可行的控制器能夠跟蹤預設期望跟蹤信號,同時,保證系統的穩定性與安全性.換言之,輸入飽和作用所引起的差值向量?u必然是范數有界的.

注2結合無人直升機系統(4)與式(5)可知,雖在輸入飽和的作用下,給定的輸入信號與實際輸入信號間有差值,但該誤差不能太大,否則很難獲得一個可行的控制方案來保證無人直升機的穩定性與安全性.因此,假設5是滿足實際系統要求的.

3 安全期望跟蹤信號生成與誤差轉換

本節在考慮無人直升機輸出約束的情況下,采用一類邊界保護算法構建新的安全期望信號.為了保證系統對于安全期望跟蹤信號的跟蹤性能,采用了預設性能函數對跟蹤誤差進行轉換,將輸出約束下的安全跟蹤控制問題轉換為無約束跟蹤控制問題.基于預設的期望跟蹤信號yd(t)∈Rm以及其實時輸出約束yup(t),ylow(t),邊界保護算法的計算步驟歸結如下:

步驟1根據預設期望跟蹤信號與實時的邊界信息,計算出嚴格在輸出約束內的受限期望跟蹤信號yc(t);

步驟2通過指令濾波器對yc(t)進行濾波,得到光滑的安全期望跟蹤信號ys(t);

步驟3采用誤差性能轉換函數將輸出約束下的安全跟蹤控制問題轉換為無約束跟蹤問題.

3.1 受限期望跟蹤信號yc(t)的生成

在不失一般性的情況下,以滾轉角?為例,定義一個實時裕量

式中ρ? >0為待設計的裕量參數.

為保證裕量有下界,在式(9)的基礎上定義算法所用到的實時邊界裕量??(t)形式如下:

式中M? >0為與后文預設性能參數相關的待設計下界值.根據式(10),將??(t)的一階和二階分段導數設計為

式中k=1,2.

注3??(t)及其一階、二階分段導數的具體形式分別由式(10)與式(11)給出,且均為分段可微的.下文需要用到??(t)的導數信息時,無需對式(10)進行求導,而是直接由式(11)生成.

式中k=0,1,2.另外,為保證系統初始跟蹤誤差為零,設計?c的初值信號要求如下等式成立:

同理,針對于系統(4)的另外3個輸出:俯仰角θ、偏航角ψ和垂直高度Z,通過設計合適的下界值Mθ >0,Mψ >0,MZ >0,都可生成對應的實時邊界裕量?θ(t),?ψ(t),?Z(t)與受限期望信號θc(t),ψc(t),Zc(t).則對于任意時間t≥0,每個受限期望跟蹤信號?c(t),? ∈{?,θ,ψ,Z}均嚴格保持在對應的實時輸出約束區間[?low(t),?up(t)]內,且始終與邊界保持著最小距離M?.換言之,始終有如下不等式成立:

式中? ∈{?,θ,ψ,Z}.

由式(14)可知,系統受限期望跟蹤信號yc(t)=[?c(t)θc(t)ψc(t)Zc(t)]T及其一階導數與二階導數均有界,即存在常數εc,k >0,k=0,1,2 使得≤εc,k成立.

3.2 安全期望跟蹤信號ys(t)的生成

為了對上節得到的受限期望跟蹤信號進行平滑處理,本節以yc為輸入,參考引理1設計了如下形式的指令濾波器[12]:

式中:η ∈R4為輔助向量,Γ ∈R4×4及ζ ∈(0,1]分別為待設計的正定對角矩陣與常數,并選擇初值ys(0)=yc(0).

由引理1可知: 通過選擇合適的參數Γ和ζ,指令濾波器(15)的跟蹤誤差可以收斂到任意小的鄰域內,即存在任意常數εs >0滿足

結合式(14)(16)可得

式中=M?+εs,? ∈{?,θ,ψ,Z}.

3.3 預設性能函數設計與誤差轉換

基于上述輸出約束,首先,定義安全跟蹤誤差信號

式中e0=[e? eθ eψ eZ]T.

注4針對于跟蹤誤差的初值問題,結合式(13)與設計的指令濾波器(15),可知y(0)=yc(0)=ys(0),即e0(0)=0.

由式(14)可知,為保證系統輸出y一直滿足實時輸出約束,只需要使得安全跟蹤誤差信號始終小于實時邊界裕量的最小值.因此,本文引入預設性能函數控制方法,通過對安全跟蹤誤差信號添加預設性能約束,以保證閉環系統的瞬態跟蹤性能.

不失一般性,仍以滾轉角?為例,若如下不等式約束成立,系統的安全跟蹤性能將得以保證:

結合式(19),可定義無人直升機滾轉角誤差的預設性能函數形式為

考慮式(20),則保證直升機系統的安全性不等式約束(19)可改寫為

為實現上述性能指標(21),采用如下形式的誤差性能轉換函數:

式中:β?(t)為轉換后的無約束滾轉角誤差變量,P?(t)=P?,up(t)-P?,low(t).則對β?(t)關于時間t求導可得

類似地,可以得到其余無約束誤差βθ(t),βψ(t)及βZ(t).通過定義無約束誤差向量β=[β? βθ βψ βZ]T及預設性能向量Pup=[P?,upPθ,upPψ,upPZ,up]T,Plow=[P?,lowPθ,lowPψ,lowPZ,low]T,結合無人直升機姿態與高度系統(4),β關于時間t的導數可以寫成

最后,將輸出約束下的無人直升機安全跟蹤控制問題轉化為了如下形式系統的跟蹤控制問題:

4 控制器設計與穩定性分析

本節針對前文得到的系統(25),結合反步法設計自適應抗飽和控制器.針對系統的輸入飽和現象,采用Sigmoid函數進行逼近;同時,針對飽和函數的逼近誤差與未知外部干擾構成的復合干擾,采用參數自適應方法對其上界進行逼近.其控制設計流程由圖1給出,其中,=[M?(t)Mθ(t)Mψ(t)MZ(t)]T,為參數的自適應估計值.

圖1 無人直升機預設性能安全跟蹤控制流程圖Fig.1 Control Diagram of the prescribed performance safe tracking controller for unmanned helicopter

4.1 輸入飽和處理

首先,基于定義1中的Sigmoid 函數(6),給出控制飽和輸入Tmr的估計函數表達式如下[14]:

式中選取Sigmoid函數中的參數為a1=2,a2=a3=1.

定義飽和輸入(2)與估計函數(26)的誤差為

類似地,針對其余飽和下的控制輸入分別設計估計函數如下:

并使得誤差信號?ωi=ui(Σi(t))-ωi(Σi(t))滿足如下不等式:

定義估計向量ω=[ω1ω2ω3ωT]T,誤差向量?ω=[?ω1?ω2?ω3?ωT]T與誤差上界向量?=[?1?2?3?T]T,則有以下等式成立:

結合系統(25)與式(30)構建有上界的復合干擾D=g2(x1,x2)?ω+d.根據假設5,式(27)(29)與g2(x1,x2)形式可知,D是范數有界的.換言之,對于D(t)=[D1(t)D2(t)D3(t)D4(t)]T,存在εDi >0,使得

成立.因此,引入估計函數(26)(28),系統(25)可進一步表示為

4.2 自適應安全跟蹤控制器設計

定義如下誤差變量:

式中:x2d表示待設計的虛擬控制律,λu為引入的輔助系統信號,其系統動態形式如下[14]:

根據系統(32)–(34),對e1關于時間t求導得

設計虛擬控制律x2d為

式中K1為待設計的正定矩陣.

選取如下形式的Lyapunov函數:

根據式(36)–(38),對W1關于時間t求導可得

為了求得虛擬控制律x2d的可用導數,令x2d通過以下形式的一階濾波器[7]:

式中:λ2∈R4為x2d的估計值,τ2∈R4×4為待設計的正定對稱矩陣.

式中:Mλ2(e1,,,λu)為緊集Nλ2(e1,,,λu)上的光滑函數向量.結合式(17),假設1與假設4可知,在給定的初始條件下,函數Mλ2(·)在緊集Nλ2(·)上是有界的,即滿足∥Mλ2∥≤εM,式中有εM >0.

根據式(32)(34)(41),對e2關于時間t求導得

為抵消未知復合干擾帶來的影響,基于式(31),定義復合干擾D的上界向量Ξ=[εD1εD2εD3εD4]T,及其估計向量∈R4.選擇如下形式的Lyapunov函數:

式中e2i,i=1,2,3,4表示e2的第i個誤差變量.

結合引理2,有如下不等式成立:

式 中: Tanhe2=diag{tanh(e21/ξ1),tanh(e22/ξ2),tanh(e23/ξ3),tanh(e24/ξ4)},ξ=o[ξ1ξ2ξ3ξ4]T.由引理2可知,必然有ξi >0 為待設計的常數且o=0.2758.

結合系統(32)與濾波器(40),設計控制向量為

式中K2∈R4為待設計的正定對稱矩陣.

針對式(46)中估計向量設計如下自適應律:

式中μ>0為待設計的常數.

考慮如下Young不等式:

并將式(46)–(47)代入式(44)中可得

4.3 穩定性分析

本節將基于所設計控制器,對無人直升機姿態與高度閉環系統進行穩定性分析.為方便表述,定義

綜合上述安全期望跟蹤信號的生成過程與自適應安全跟蹤控制器的設計思路,可得到如下定理.

定理1考慮同時存在未知外部干擾、輸入飽和、姿態與高度約束的高度姿態復合模型(1).設計安全期望跟蹤信號為式(12),誤差性能轉換函數為式(22),并設計參數自適應律為式(47),虛擬控制律為式(37),及實際控制輸入為式(46).若系統輸出的初始狀態在實時輸出約束內,且在所設計控制器參數滿足不等式C >0,則無人直升機閉環系統能夠在跟蹤安全期望跟蹤信號ys的基礎上,保證所有信號最終一致有界,并始終滿足實時約束.

證取Lyapunov函數為

結合式(39)(49),對W關于時間t求導可得

對式(52)關于時間t積分可得

通過選取合適參數K1,K2,τ2,Λ,μ以保證C >0,根據最終一致有界理論,可知閉環系統所有信號均有界,且滿足安全跟蹤性能(21).結合所設計的安全期望跟蹤信號特性(17),系統始終滿足實時約束.

證畢.

5 數值仿真

本節主要對所設計的無人直升機預設性能安全跟蹤控制器的有效性進行驗證.首先,給出無人直升機姿態與高度系統的相關參數如表1所示[4].

表1 中型無人直升機參數Table 1 Parameters of the medium-scale UAH

在本仿真算例中,設定無人直升機的初始姿態為?(0)=[5.7-11.5 0]T(?),初始高度為Z(0)=350 m.原期望參考信號分別設為

外部干擾設定為

安全期望跟蹤信號計算過程中的相關參數選取為M?=0.05 rad,Mθ=0.08 rad,Mψ=0.03 rad,MZ=35 m,Γ=diag{10,10,10,10},ζ=0.2.預設性能參數選取為Pup(0)=[0.05 0.08 0.03 35]T,Plow(∞)=0.4Pup(0)以 及l?=lθ=lψ=lZ=0.1.控制器設計中的相關參數選取為K1=diag{12,4,15,2},K2=diag{10,10,10,5},τ2=diag{0.1,0.1,0.1,0.1},Λ=diag{1,1,1,1},μ=10.在此基礎上,仿真結果在圖2–8中給出.

圖2 約束下的滾轉角跟蹤響應曲線圖Fig.2 Tracking response of the roll angle with constraints

圖3 約束下的俯仰角跟蹤響應曲線圖Fig.3 Tracking response of the pitch angle with constraints

圖4 約束下的偏航角跟蹤響應曲線圖Fig.4 Tracking response of the yaw angle with constraints

圖5 約束下的垂直高度跟蹤響應曲線圖Fig.5 Tracking response of the altitude with constraints

如圖2–5所示,紅色虛線為原期望跟蹤信號,綠色虛線為生成的安全期望跟蹤信號.在所設計的控制器下,閉環系統輸出可以在保證直升機姿態與高度安全性能的前提下,盡可能地跟蹤上原期望姿態與高度.

圖6給出了基于預設性能的輸出跟蹤誤差.由此可得在經過預設性能函數進行誤差轉化后,閉環系統輸出的瞬態與穩態性能進一步得以保證.圖7給出了姿態角速度與垂直速度響應的跟蹤曲線.

圖6 基于預設性能的輸出跟蹤誤差響應曲線圖Fig.6 Tracking errors of the outputs with prescribe performance

圖7 姿態角速度與垂直速度跟蹤響應曲線圖Fig.7 Tracking response of the velocities of attitude angles and z-axis

圖8給出了在輸入飽和的約束下,系統在3個方向上的控制力矩與主旋翼拉力的響應曲線.由圖2–8可知,在考慮實時輸出約束與輸入飽和的前提下,所設計的預設性能安全跟蹤控制器可以保證無人直升機姿態與高度系統的瞬態性能與穩態性能.

圖8 飽和下的控制輸入曲線圖Fig.8 Responses of control inputs with saturation

綜合上述仿真結果,本文所提的預設性能安全跟蹤控制策略能夠保證無人直升機系統在滿足輸入輸出約束條件與安全性的基礎上,盡可能地跟蹤原期望跟蹤信號,并保證閉環系統中所有信號的收斂性.

6 總結

本文針對輸入輸出約束下的無人直升機姿態與高度系統跟蹤控制問題進行了深入研究.

1)首先,針對姿態與高度約束,通過設計一類邊界保護算法,構建了新的安全期望跟蹤信號.為保證系統對于安全期望跟蹤信號的跟蹤性能,將一類邊界保護算法與預設性能函數方法相結合,在瞬態與穩態下均能保證系統的安全性;

2)其次,針對系統的輸入飽和現象,使用Sigmoid函數進行逼近;同時,針對飽和函數的估計誤差與未知外部干擾構成的復合干擾,采用參數自適應方法對其上界進行逼近,并基于反步控制方法設計了預設性能安全跟蹤控制器;

3)最后,通過Lyapunov穩定性理論證明了閉環系統所有信號的收斂性并通過仿真加以驗證.