一維納米準晶層合梁的非局部振動、屈曲與彎曲研究

原慶丹, 郭俊宏,2

(1. 內蒙古工業大學 理學院 力學系, 呼和浩特 010051;2. 內蒙古工業大學 航空學院, 呼和浩特 010051)

0 引 言

以色列科學家Shechtman于1982年在急冷凝固的Al-Mn合金中觀測到了五次對稱電子衍射圖像,1984年準晶被首次報道后[1],引起了各界的廣泛關注．準晶是一種具有特殊對稱性,原子常呈定向有序排列,但不具有周期重復性的固體結構[2]．由于原子排列的特殊性,準晶具有很多優異性能,如高硬度、高強度、不黏性、耐腐蝕等[3]．因此,準晶常用作表面改性材料,可涂覆于炊具表面和太陽能工業薄膜等,作為結構材料的增強相,可提升材料的整體性能[4],并且在航空航天、汽車制造等領域也有著廣泛的應用[5]．

當準晶材料尺寸為納米級時,能有效提高結構的強度和韌性．作為一種超微粒子,納米準晶因其結構精細而具有優異的形態可控性,可以作為各種應用的活性材料[6]．到目前為止,數百種準晶已經被發現[7],隨著制備技術的發展,納米準晶的制備取得了豐富的成果．Barua等[8]采用機械合金化技術制備了Al-Cu-Fe納米合金,分析了球磨時間和熱處理對準晶相形成的影響．Singh等[9]通過冷鑄和擠壓得到了含有納米準晶相的Mg-Zn-Y合金,拉伸和壓縮時的屈服強度高達400 MPa．由于納米準晶具有以上性質,因此經常被用來制造納米器件和納米傳感器等．

梁板結構作為建筑結構中的重要組成部分,吸引了大量學者進行研究．在宏觀尺度下,Wang等[10]對具有非理想界面的一維六方準晶層合板的振動和彎曲變形進行了研究,分析了非理想界面參數對材料力學性能的影響．在微納米尺度下,結構的尺度效應不可忽略[11],經典連續介質力學已不適用于研究納米結構的力學性能．人們為了更好地研究微納米材料,提出了考慮尺度效應的偶應力理論[12]、非局部理論[13]、應變梯度理論[14]等理論．基于非局部理論,Waksmanski和Pan[15]導出了具有非局部效應的簡支多層準晶納米板的解析解．Li等[16]研究了功能梯度多層二維準晶納米板的非局部效應．Zhang等[17]研究了多層一維六方壓電準晶納米板在表面電彈性載荷作用下的靜態彎曲變形問題．Sun等[18]通過偽Stroh型公式和傳遞矩陣法得到了二維準晶層狀納米板非局部振動頻率和臨界屈曲載荷的精確解．除此之外,很多學者利用其他理論對準晶材料進行了研究,如Guo等[19]研究了具有修正偶應力效應的一維準晶層合板的振動響應．Zhang等[20]基于非局部應變梯度理論,研究了功能梯度多層準晶納米板的靜態彎曲變形問題．

相對而言,關于準晶梁的研究較少,Huang等[21]考慮非局部效應的影響,研究了具有簡支和固支邊界條件的雙層壓電準晶納米梁的靜態問題．Li和Xiao[22]基于修正偶應力研究了不同邊界條件下一維壓電準晶納米梁的自由振動,分析了邊界條件對固有頻率的影響．Sun和Guo[23]利用狀態空間-微分求積法,研究了一維準晶層合梁在各種邊界條件下的振動響應和彎曲變形．基于經典彈性理論,陳韜等[24]將偽Stroh型公式和傳遞矩陣法相結合,獲得了一維六方準晶層合梁自由振動和屈曲問題的精確解．

納米梁作為重要而常見的納米結構之一,在微納機電系統、原子力顯微鏡[25]、生物傳感器和混頻器等領域中有著廣泛應用．Zhang等[26]提出了級聯納米梁光譜儀設計方案,提高了光譜儀的測量分辨率;Huang等[27]用石墨烯梁加強電池的陽極,增加了鋰電池的容量．實驗中很難生成塊體準晶,一般制備的準晶尺度是微米或納米級的,準晶與晶體材料組成的復合材料[28-29]可有效提升基底材料的力學性能．Chang等[30]將Al-Cu-Fe準晶合金層與釩層結合形成多層涂層,發現退火后的多層結構由于準晶強化而表現出較高的流變應力．然而,目前缺乏納米尺度下層狀準晶梁理論方面的研究．為了揭示準晶增強納米復合材料的變形機制,為工程中準晶用于納米器件的表面涂層和增強復合材料提供科學依據,非常有必要研究納米準晶層合梁結構的力學行為．因此,本文基于非局部理論,建立納米準晶層合簡支深梁模型,研究了其自由振動、屈曲和彎曲問題的力學行為,結合偽Stroh型公式和傳遞矩陣法,導出其固有頻率、臨界屈曲載荷和彎曲變形的精確解,分析高跨比、層厚比、疊層順序以及非局部效應對準晶層合簡支梁力學行為的影響,為納米準晶結構的設計優化提供了理論依據．

1 問題描述和基本方程

根據準周期方向的維數,可以把準晶分為一維準晶、二維準晶、三維準晶,而它們的結構均為三維的．本文建立一維六方準晶的二維多層深梁模型,梁長為L,寬度為b,總厚度為h,如圖1所示,準周期方向沿x3軸方向．

圖1 一維納米準晶層合二維簡支梁模型Fig. 1 A 2D layered simply-supported beam for 1D nano-quasicrystals

基于一維準晶的線彈性理論,應變-位移關系為

(1)

其中i,j=x,z(或1,3);下標中的逗號表示求偏導;ui,wi分別表示聲子場和相位子場的彈性位移;εij,ωij分別表示聲子場和相位子場的應變張量．

在非局部理論中,一維六方準晶的本構關系為[31]

(2)

其中σij表示聲子場應力;Hij表示相位子場應力;Cijkl表示聲子場彈性常數;Kijkl表示相位子場彈性常數;Rijkl表示聲子場與相位子場的耦合彈性常數;?2是二維Laplace算子,l=e0a是非局部參數,其中a為內部特征長度,e0為與給定材料相關的常數．

運動學方程為

(3)

對于簡支的多層準晶納米梁,聲子場和相位子場的邊界條件可以寫成

u3=w3=σ11=0,x1=0,L．

(4)

(5)

假設多層納米準晶梁的界面均是完美黏結的,滿足如下連續性邊界條件:

(6)

2 問 題 解 答

根據簡支邊界條件(4),一維納米準晶層合梁的廣義位移的通解可表示為

(7)

其中p=nπ/L,a1,a2,a3是待定的未知常數,n為正整數．對于準晶層合梁的自由振動問題,φ=sx3+iωt;對于準晶層合梁的屈曲與彎曲問題,φ=sx3,ω是角頻率,s是待確定的特征值．

假設廣義應力的一般解為

(8)

引入兩個向量a=[a1a2a3]T和b=[b1b2b3]T,通過推導可得到如下控制方程:

{Q+m(1+l2p2)I+s(R-RT)+s2(T-ml2I)}a=0,

(9)

其中

(10)

為了求解控制方程(9),引入中間向量d,

(11)

可得如下特征系統:

(12)

其中

(13)

從式(12)中可以得到6個特征值si(i=1,2,…,6)和特征向量a,b．

利用傳遞矩陣法[24],可獲得廣義位移和廣義應力的一般解為

(14)

(15)

且

(16)

由于研究的二維準晶梁的結構相對簡單,本文采用傳遞矩陣法,指數函數的數值計算是穩定的．但對于各向異性層狀復合材料板、殼等復雜結構,如采用傳遞矩陣法,指數函數可能會導致數值計算不穩定的現象,為此研究者們提出了新的計算方法,如雙變量位置(DVP)法[32]、節點耦合矩陣法和傳統矩陣法相結合的方法[33]等．

2.1 振動與屈曲

對梁的自由振動和屈曲問題,梁的上下表面自由,得到

(17)

其中C1,C2,C3和C4是C=PN(hN)PN-1(hN-1)…P2(h2)P1(h1)的子矩陣．當C3的行列式為零時,可求出納米準晶梁自由振動的固有頻率或臨界屈曲載荷．

2.2 彎曲

對梁的彎曲問題,梁的下表面是自由的,梁的上表面受到聲子場載荷σ33,則邊界條件為

t(h)=[0,σ0sin(px1),0]T,t(0)=[0,0,0]T．

(18)

從式(14)可得

(19)

將式(18)和(19)代入式(14)中,即可得到納米準晶梁任一點處的廣義位移和廣義應力的精確解．

3 數 值 算 例

我們將考慮由一維準晶Al-Ni-Co(QC1)和另一種一維準晶材料(QC2)制成的QC1/QC2/QC1和QC2/QC1/QC2兩種層合梁,分析高跨比、層厚比、非局部參數、疊層順序對其自由振動的固有頻率和臨界屈曲載荷及彎曲變形的影響．QC1和QC2的材料性能[23]如表1所示．

表1 Al-Ni-Co準晶(QC1)和QC2的材料系數

3.1 自由振動

表2 準晶均勻簡支梁的前四階固有頻率

Wang等[34]研究了碳納米管的本構關系和非局部連續力學中小尺度參數,采用梯度法獲得材料的非局部參數l=e0a=0.04 nm,其中e0的取值取決于晶格動力學中的晶體結構和物理性質．因此,本文所取的非局部參數的范圍是0 nm≤l<0.04 nm,即l/L=0,0.015,0.03．取高跨比h/L=0.1,得到QC1/QC2/QC1和QC2/QC1/QC2兩種疊層順序下準晶層合簡支梁的前四階固有頻率,見表3,其中梁模型各層的厚度均相同．可以看出,在相同階的固有頻率下,隨著非局部參數l的增大,準晶層合梁的固有頻率呈遞減趨勢,這是因為非局部效應導致納米梁的剛度減小,從而降低了固有頻率．通過比較兩種準晶層合梁的固有頻率可以發現,QC1/QC2/QC1層合梁的固有頻率比QC2/QC1/QC2層合梁高,所以高彈性常數的準晶因具有較高的剛度更適合用作涂層．

表3 兩種疊層順序下準晶簡支梁的前四階固有頻率

圖2顯示了QC1/QC2/QC1和QC2/QC1/QC2兩種準晶層合簡支梁的第一階固有頻率隨高跨比h/L的變化．從圖中可知:兩種納米準晶層合梁的一階固有頻率隨著高跨比的增加而增大,表明增加厚度可以提高準晶層合梁的固有頻率．

圖2 兩種疊層順序下準晶層合簡支梁的第一階固有頻率隨h/L的變化Fig. 2 Variations of the 1st-order natural frequency of quasicrystal layered simply supported beams with h/L under two different stacking sequences

圖3顯示了QC1/QC2/QC1和QC2/QC1/QC2兩種準晶層合簡支梁的第一階固有頻率隨層厚比h1/h2的變化．從圖中可知:在層厚比h1/h2小于1時,兩種準晶層合簡支梁的固有頻率變化幅度較大;當層厚比h1/h2大于1時,固有頻率的增長變化趨于平緩．當h1/h2約為0.13時,兩種準晶層合梁具有相同的固有頻率．隨著h1/h2的增大,非局部效應的影響更加明顯．

圖3 兩種疊層順序下準晶層合簡支梁的第一階固有頻率隨h1/h2的變化Fig. 3 Variations of the 1st-order natural frequency of quasicrystal layered simply supported beams with h1/h2 under two different stacking sequences

圖4為在不同非局部參數l下QC1/QC2/QC1和QC2/QC1/QC2兩種準晶層合梁沿厚度方向的模態,其中umax為u1,u3,w3中的最大值．從圖中可以觀察到,隨著非局部參數的增大,聲子場位移模態逐漸增加,而相位子場位移模態逐漸減小,且兩種準晶層合簡支梁的振型都是關于中間層對稱的．

圖4 不同非局部參數下準晶層合簡支梁一階模態沿厚度方向的變化Fig. 4 Variations of the 1st mode shape of quasicrystal layered simply supported beams along the thickness direction under different nonlocal parameters

3.2 屈曲

表4 均勻準晶簡支梁的臨界屈曲載荷

表5 兩種疊層順序下納米準晶層合簡支梁的臨界屈曲載荷

圖5顯示了QC1/QC2/QC1和QC2/QC1/QC2兩種納米準晶層合簡支梁的臨界屈曲載荷隨高跨比h/L的變化．從圖中可以看出,兩種納米準晶梁的臨界屈曲載荷均隨著高跨比的增加而逐漸增大．

圖5 兩種納米準晶層合簡支梁的臨界屈曲載荷隨高跨比h/L的變化Fig. 5 Variations of the critical buckling loads of nano-quasicrystal layered simply supported beams with h/L

圖6顯示了QC1/QC2/QC1和QC2/QC1/QC2兩種納米準晶層合簡支梁的臨界屈曲載荷隨層厚比h1/h2的變化．從圖中可知,隨著h1/h2的增加,QC1/QC2/QC1和QC2/QC1/QC2的臨界屈曲載荷的變化趨勢相反．當層厚比h1/h2小于1時,兩種納米準晶梁的臨界屈曲載荷變化明顯;當層厚比大于1時,臨界屈曲載荷逐漸趨于平穩．當h1/h2約為0.13時,兩種準晶層合梁具有相同的臨界屈曲載荷．隨著h1/h2的增大,非局部效應的影響更加顯著．

圖6 兩種納米準晶層合簡支梁的臨界屈曲載荷隨層厚比h1/h2的變化Fig. 6 Variations of the critical buckling loads of nano-quasicrystal layered simply supported beams with h1/h2

3.3 彎曲

假設在納米準晶層合梁的上表面僅受聲子場載荷作用,即σ0=1 N/m2．圖7和8分別顯示了兩種疊層順序下廣義位移和廣義應力沿厚度方向的變化,其中層合梁的尺寸h/L=0.1,且各層的厚度均相同．從圖中可以看出,疊層順序對聲子場位移的影響相對較小,而對相位子場位移和相位子場應力的影響較大．隨著非局部參數的增加,聲子場位移u3的幅值逐漸增大,而相位子場位移w3的幅值逐漸減?。蔷植繀祵C1/QC2/QC1相位子場的應力幾乎沒有影響,但對QC2/QC1/QC2相位子場的應力的影響較大．

圖7 聲子場位移u3和相位子場位移w3沿層合梁厚度方向的變化Fig. 7 Variations of phonon displacement u3 and phason displacement w3 along the thickness direction of layered beams

圖8 相位子場應力沿層合梁厚度方向的變化Fig. 8 Variations of the phason stress along the thickness direction of layered beams

4 結 論

本文基于非局部理論,研究了一維準晶多層納米梁的自由振動、屈曲和彎曲問題,將偽Stroh型公式和傳遞矩陣法相結合,導出了簡支邊界條件下一維納米準晶層合深梁自由振動、屈曲和彎曲問題的精確解．通過數值算例分析,得出了如下結論:

1) 納米準晶層合簡支梁的固有頻率和臨界屈曲載荷均隨著高跨比的增加而增大,表明厚度的增加可提高納米準晶層合梁的固有頻率和臨界屈曲載荷．

2) 隨著層厚比的增加,QC1/QC2/QC1層合梁的固有頻率和臨界屈曲載荷逐漸增大,但QC2/QC1/QC2層合梁的固有頻率和臨界屈曲載荷逐漸減?。甉C1/QC2/QC1層合梁的固有頻率和臨界屈曲載荷高于QC2/QC1/QC2層合梁,這是由于QC1材料具有較高的剛度,更適用于作表面涂層．

3) 準晶層合梁的自由振動固有頻率和臨界屈曲載荷均隨著非局部參數l的增大而減小,這是因為非局部效應使得納米梁的剛度減小,從而降低其固有頻率和臨界屈曲載荷．

4) 疊層順序對一維準晶納米層合梁的力學性能有較大影響,特別是對相位子場的影響要大于對聲子場的影響．