多角度構造函數 進一步探究一道高考導數壓軸題

江蘇省南京市板橋中學(210039) 紀明亮

函數不等式恒成立問題是高考的重點考查內容,這類問題中含參數的題型在高考中出現頻率很高,且難度較大,因為它涉及到的知識面廣、綜合性強.解決不等式恒成立問題的關鍵是等價轉化,利用化歸思想將不等式恒成立問題等價轉化為函數最值的問題,從而使恒成立問題具體化.那么,如何等價轉化? 有哪些方法? 2020 年高考新課標I 卷21 題(2)問就是一道經典的含參不等式恒成立問題,本文對這道高考題做了進一步研究,并將得到的結論與大家分享.

一、題目簡析

題目(2020 年高考新課標I 卷第21 題(2)問)已知函數f(x)=aex?1?lnx+lna.若f(x)≥1,求a的取值范圍.

分析 該題是不等式恒成立條件下求參數范圍,解決這類問題原理是利用轉化思想將其轉化為函數的最值問題或值域問題來求解,在轉化途徑上,可采用“恒等變形構造輔助函數法”或“分離參數法”,一般地含參數問題中參數僅僅作為系數,而本題含參數的性質不同,參數不僅作系數還作為其中對數項的真數,直接分離參數就變得困難,那么構造函數在這道題中運用空間較大,下面就從不同角度構造函數對這道題進行解法探究.

二、問題解答

策略一 借助零點構造函數

評析 本解法根據零點存在性定理,得出f′(x)存在唯一零點x0,根據f′(x0)=0 建立參數a與零點x0的關系,代入[f(x)]min=f(x0) ≥1,消去參數a得到關于x0不等式,并構造函數g(x),利用g(x)求出x0的范圍.再根據a與x0的關系得到函數,根據該單調性求出a的范圍.本解法巧設隱零點構造函數較為巧妙.

解法2 因為?x ∈(0,+∞),f(x)=aex?1?lnx+lna≥1, 所 以?x ∈(0,+∞),a≥ e1?x(lnx ?lna+ 1), 則?x ∈(0,+∞),e1?x(lnx ?lna+1)?a≤0.

評析 題中f(x) 含有ex?1, 由于指數函數y= ex的n階導數為y(n)= ex, 故可通過恒等變形構造g(x) = e1?x(lnx ?lna+1)?a, 這樣求導之后便于求出零點.根據h(x0) = 0 得到參數a與零點x0的關系, 代入[g(x)]max=g(x0)≤0,消去參數a得到關于x0不等式,并構造函數g(x),利用g(x)求出x0的范圍.再根據a與x0的關系得到函數,根據該單調性求出a的范圍.

策略二 統一參數形式構造函數

解法3 因為?x ∈(0,+∞),f(x)=aex?1?lnx+lna≥1,所以?x ∈(0,+∞),elna+x?1?lnx+lna ?1 ≥0.

評析 因為

將a形式統一為lna, 并統一變量設t= lna ?1,g(x) =ex+t ?lnx+t.根據g′(x0) = 0 建立t與零點x0的關系t=?x0?lnx0,代入[g(x)]min=g(x0) ≥0 消去參數a得到關于零點x0的函數不等式,求得x0∈(0,1],再構造函數φ(x)利用其在(0,1]上單調性得t范圍,進而得到a的范圍.

策略三 根據同構關系構造外部函數

解法5 因為?x ∈(0,+∞),f(x) =aex?1?lnx+lna≥1, 所以?x ∈(0,+∞), elna+x?1+ lna+x ?1 ≥x+lnx= elnx+lnx.設g(x) = ex+x,則?x ∈(0,+∞),g(lna+x ?1)≥g(lnx).因為g′(x)=ex+1＞0,所以g(x)在R 上單調遞增,則?x ∈(0,+∞),lna+x ?1 ≥lnx,則?x ∈(0,+∞),lna≥lnx ?x+1.設h(x) = lnx ?x+1,則lna≥[h(x)]max.因為所以令h′(x)＞0,得0＜x ＜1, 令h′(x)＜0, 得x ＞1, 則h(x)在(0,1)上單調增, 在(1,+∞) 上單調減, 則[h(x)]max=h(1) = 0, 則lna≥0,則a ∈[1,+∞).

評析 對aex?1?lnx+lna≥1 中指數項對數項分開得aex?1+ lna ?1 ≥ lnx, 對a統一形式為lna, 得ex+lna?1+lna?1 ≥lnx,兩邊各加x得elna+x?1+lna+x?1 ≥x+lnx,變形得同構式elna+x?1+lna+x?1 ≥elnx+lnx,可構造外部函數g(x) = ex+x.本題還可變形成同構式elna+x?1+ ln elna+x?1≥x+ lnx, 再構造外部函數g(x) =x+lnx.借助外部函數單調性建立參數a與變量x的關系.外部函數具有降階的作用.

三、感悟

關注函數形式,單調性和零點,函數形式指的是函數由哪些初等函數復合而成及各部分間的關聯.這道題參數不易分離,且為隱零點問題,可以巧設零點,借助導函數建立參數與零點的關系,再進一步構造函數求參數范圍,從解法一到解法四均采取這種策略.解法5 能敏銳的捕捉到函數不等式中的同構關系,構造外部函數,對函數降階,求出參數范圍.

構造函數時要充分結合初等函數的導數特點,構造出的函數要易于判斷單調性和零點,比如lnx+ex≥f(x)(f(x)含參數),可根據解法2 對指數函數的處理方法將其變形為1 ≥[f(x)?lnx]e?x,再令g(x)=[f(x)?lnx]e?x,