基于應變影響線的橋梁模型修正試驗

周宇，甘露一，狄生奎，賀文宇，李寧波

(1.安徽建筑大學 土木工程學院，安徽 合肥 230601；2.蘭州交通大學 土木工程學院，甘肅 蘭州 730070；3.安徽建筑大學 建筑健康監測與災害預防技術國家地方聯合工程實驗室，安徽 合肥 230601；4.合肥市城市生命線工程安全運行監測中心，安徽 合肥 230601；5.合肥工業大學 土木與水利工程學院，安徽 合肥 230601)

得益于計算機軟硬件的不斷發展，有限元建模逐漸成為結構分析的常規手段，但即便是理想工程結構，其初始設計模型與既有實際工程間依然存在巨大偏差[1].有限元建模很少考慮工程材料的離散型、施工誤差的模糊性、截面尺寸的隨機性[2]，導致以往僅依據工程結構設計的幾何尺寸與材料參數建模并不精確.結構模型修正理論應運而生，并取得了可觀的進展[3].

有限元模型修正能夠充分考慮工程實際，以真實結構客觀存在的物理參數、幾何特性為修正對象，使得修正后的模型更貼合實際，分析結果更具科學性.模型修正基本思想是通過改變待修參數對目標函數開展最小化尋優研究，如何選擇合適的尋優方法越來越受到學者們的重視[4].馬印平等[5]以鋼管混凝土組合桁架橋為工程背景，基于橋梁實測應變撓度響應構建模型修正目標函數，分析得到結構參數響應面方程，通過響應面開展目標參數尋優工作并以此開展結構模型修正研究.郁勝等[6]基于敏感性分析選取模型修正參數和特征量信息，依據模型分析不同參數水平下的特征量樣本，構建參數樣本與特征量樣本間隱函數關系的徑向響應面模型，進而展開模型修正研究.上述研究采用優化算法對特征參數響應面函數求最優解，基于響應面的模型修正方法可有效、可靠地對目標函數開展尋優工作，但此類方法須構建較復雜的隱性函數關系式，存在計算量大、迭代次數多、耗時長等問題，從而引起優化結果不收斂并導致求解精度不穩定.

Liu等[7]以模態頻率為目標利用交叉模型交叉模態法(cross-model cross-mode，CMCM)對有限元模型參數開展修正研究.王曉光等[8]以結構自振頻率為目標構造響應面函數，基于優化算法對某雙塔雙索面斜拉橋模型參數進行修正，繼而獲得更接近真實結構的有限元模型.上述研究以結構模態參數為目標開展修正，結構模態頻率能夠反映橋梁整體剛度特性，但基于動力參數的模型修正可能存在頻率信息量有限、振型識別精度低、受噪聲影響較大等問題，故以頻率參數為目標的修正方法存在一定誤差[9].

橋梁影響線可以通過單一測點輸出橋梁截面剛度與結構邊界特性[10]，基于影響線的橋梁模型修正方法有望利用車輛移動快速加載與少量測點實現“輕量化”測試，從而獲取豐富的橋梁截面與邊界參數信息，其應用研究潛力巨大.本研究選取連續梁橋應變影響線為目標參數，通過MATLAB構建2層前饋神經網絡，建立有限元模型并生成30個樣本數據代入展開神經網絡訓練，利用訓練完善的神經網絡預測橋梁在實測應變影響線下的模型結構參數，進而優化有限元模型使其截面剛度與邊界特性更加逼近真實橋梁結構，為有限元模型結構的修正提供了新思路.

1 模型修正方法的提出

有限元模型修正的中心思想是以理論計算與試驗結果的誤差為目標函數，多次調整修正模型物理幾何參數，以減小數值模型與真實結構之間的分析偏差[11]，提出采用反向傳播(back propagation，BP)算法神經網絡尋優的基于應變影響線的模型修正方法，該方法研究路線如圖1所示.

圖1 基于應變影響線的模型修正研究路線Fig.1 Research route of model modification based on strain influence line

1.1 目標函數

以橋梁應變影響線作為目標函數的特征參數，通過單輛重車最低怠速行駛過橋，來模擬荷載沿橋面各個位置連續靜置加載，稱為橋梁“準靜態加載”實驗[12-13]，影響線類方法能克服結構動力測試模態數據存在的不完備問題，具有直觀、經濟、實用的優點[14-15].

目標函數的建立旨在通過減小實測影響線和模型影響線間誤差以修正模型，可采用誤差公式定義目標函數.其中絕對誤差表達式為

式中：εa、εm分別為 應變影響線計 算值與實測值.

百分比誤差、相對誤差表達式如下：

除了上述誤差公式，進一步采用相關系數量化有限元模型和實際結構間的吻合程度：

1.2 修正參數

修正參數可以分為矩陣參數與物理參數，其中矩陣參數為有限元模型中結構質量矩陣及剛度矩陣，矩陣參數型模型修正是通過直接修改有限元模型的矩陣參數，具有快速迭代的特點，但此類方法的子結構參數并無明確物理意義，甚至可能出現負剛度參數的異常情況[16].

鑒于此，選取有限元模型中能夠描述材料特性或幾何性質的物理參數開展修正，對橋梁有限元模型各參數進行分析.結合相關研究文獻[17-19]，考慮到鋼梁與混凝土面板連接的剪力鍵影響，選取彈性模量E為待修正參數之一；試驗橋梁支座處鋼梁截面與跨中處鋼梁截面存在尺寸差別，兩截面在過渡區為線性變化的變截面，考慮到施工工藝的影響，選取鋼梁頂板厚度、底板厚度及腹板厚度為待修正參數.最終選取以下4個物理參數進行修正，即縱向主梁的彈性模量E、頂板厚度T1、底板厚度T2、腹板厚度Tw.

1.3 修正方法

模型修正是典型的反向非線性問題，有限元模型修正是通過多次迭代調整物理參數與修正結果之間的表達關系，來實現對目標函數的最小化尋優[20].神經網絡是在物理機制上模擬人腦信息處理與傳遞，具有較好的學習能力與非線性映射能力[21].采用BP神經網絡開展模型修正研究可避免構建復雜的數學函數表達式，可以對任何一個閉區間內的連續函數進行逼近，完成m維到n維的映射，并通過樣本數據的訓練較好地學習系統的輸入輸出關系，具有研究價值[22-24].因此，本研究通過構建帶有反向傳播算法的2層前饋神經網絡，開展有限元模型修正方法研究.

2 橋梁應變影響線測試與識別

考慮橋梁主梁截面抗彎剛度不確定，并在主梁兩端引入豎向彈性支承與轉動彈性約束的非理想邊界，構建彈性支承約束主梁模型，用以模擬既有橋梁實際存在的結構模型參數不確定性，模型如圖2所示.圖中，MA、MB為集中彎矩，P為外力，x'為外力P到點A的距離，l為長度，c為測點至梁端距離，DC(x')為梁體C截面的位移，dC(x')為主梁的彎曲效應，I為截面慣性矩，Λ(x)為截面抗彎的不確定系數.

圖2 兩端帶轉動彈性約束的簡支梁模型Fig.2 Simple supported beam model with rotational elastic constraint at both ends

將虛擬集中彎矩MA、MB替代兩端多余轉動約束，建立點A、B的位移協調方程：

式中：δij為柔度系數，表示在j處施加單位力，i處產生的轉角；ΔiP為協調方程自由項，表示在外力P作用下，i處產生的轉角；Ki為i處轉動約束剛度.

采用圖乘法計算δij、ΔiP，并計算該模型的位移協調方程柔度系數與自由項，代入式(5)、(6)，可以得出

虛擬彎矩MA、MB分母處不含移動集中力的位置參數x'，而分子處參量x'的次數與ΔiP一致，因此代入彈性約束內力，任意截面C處的彎矩影響線為

進一步計算可得任意截面C處的應變影響線：

式中：σC為點C的應力影響線，EC為彈性模量，WC為任意截面C的截面抵抗矩.

根據式（10）可知，橋梁應變影響線主要與結構跨度、材料彈性模量、截面慣性矩和橋梁邊界約束剛度等因素有關，因此以應變影響線為目標參數開展模型修正研究可以全面地考慮橋梁截面幾何尺寸、結構約束剛度、材料彈性模量等重要建模信息，使修正物理意義明確，修正計算結果科學、可靠.

2.1 工程概況

以某鋼板組合連續梁橋為試驗對象，展開基于BP神經網絡的橋梁應變影響線模型修正研究.橋梁結構總長為105 m (35 m+35 m+35 m)，橋寬為12 m，正交布置.橋梁上部結構采用工字形鋼和混凝土面板組合梁，主橋鋼結構采用Q345鋼材，下部結構采用圓形墩柱式橋墩，采用C40抗硫混凝土，橋梁支座采用滑動擺支座.橋面鋪裝采用胎體增強型防水涂層+60 mm中粒瀝青鋪裝+40 mm細粒式瀝青鋪裝.橋梁幾何尺寸如圖3所示.

圖3 橋梁結構模型與截面尺寸信息Fig.3 Bridge structural model and section information

2.2 試驗概況

為了更科學地開展橋梁有限元模型修正，為模型修正參數的選取提供可信數據支撐，現場結合設計圖紙復核了橋梁截面主要幾何尺寸信息.

試驗加載車輛選取單輛兩軸重車，車輛載重為37 t，加載車輛在橋面指定加載路徑以最低怠速緩慢行進，由于荷載效率過大易導致荷載試驗的安全事故，過小會導致結構響應不充分，故本次試驗荷載效率設為0.2～0.5[25].橋梁影響線測試試驗選擇橋梁中跨跨中截面布設表面式應變傳感器，安裝于主梁1#的梁底，采集設備采用DH3821應變測試分析系統，車輛采用最低怠速移動加載，車輛行進加載路線距橋梁中心線6.375 m，傳感器采集頻率設定為2 Hz，對橋梁中跨跨中測點在既定試驗荷載下的應變影響線展開測試，測點布置圖如圖4所示.

圖4 試驗橋梁應變影響線測試的測點布置及現場圖Fig.4 Monitoring points arrangment and site photo of strain influence line test of test bridge

2.3 橋梁影響線的識別

采用單量重車移動駛過三跨鋼板組合連續梁進行加載試驗研究，試驗測試提取橋梁中跨跨中應變時程響應，利用構造車輛信息矩陣剝離車輛多軸效應[26]，進而將橋梁應變時程響應還原為單位集中荷載(1 kN)作用下的橋梁應變影響線 εC.依據設計圖紙與現場復核得到的橋梁結構尺寸信息，建立有限元初始模型，采用影響線加載定義移動荷載分析工況，為了精確對準實測影響線，加載步長選為403.846 mm，移動荷載分析工況共生成261個加載步.

以單位集中荷載模擬影響線加載，提取橋梁模型計算應變影響線，實測影響線與計算影響線對比如圖5所示.可以看出，通過移動車輛影響線加載試驗測得橋梁跨中應變影響線符合三跨連續梁橋理論影響線的一般規律，左右波谷幅值基本相同，說明橋梁整體剛度分布均勻[27]，曲線無明顯突變，橋梁結構無明顯損傷[28].橋梁結構在單位荷載作用下中跨跨中的實測應變影響線最大值為0.148 9×10-6，僅依據設計信息建立的有限元模型在同樣加載工況下，橋梁計算應變影響線最大值為0.227×10-6，不難得知，實際橋梁結構相較理論設計模型更為安全，但正因為兩者偏差較大，須對初始模型進一步展開有限元模型修正研究.

圖5 初始模型應變影響線與實測值的對比Fig.5 Comparison of strain influence line of initial model with measured value

3 橋梁應變影響線模型修正方法

3.1 BP神經網絡原理及理論

BP神經網絡是基于反向傳播算法的多層前饋神經網絡，其中隱含層節點可以表達為[29]

式中：yi為隱含層，xj為輸入層，wij為第1層權值，θi為第1層閾值.輸出層節點表達如下：

式中：Ol為輸出層，Tli為第2層權值，θl為第2層閾值.將輸出值與樣本真值tl代入誤差公式：

從輸出層開始，計算誤差后進行反向傳播，計算權重修正值ΔTli、Δwij：

式中：η、η′為學習速率，會直接影響神經網絡學習訓練的權值變化，范圍一般為(0,1.00)，本研究為了防止學習速率過大導致的網絡訓練過程不穩定問題，取分別為輸入層和隱含層的節點誤差.

同理可得閾值的修正值Δθl及Δθi：

3.2 基于模型修正的神經網絡拓撲結構

橋梁影響線理論本質為連續性函數曲線，鑒于觀測手段的離散性，故提取影響線中5個形狀控制點（3個跨中點及2個中跨1/4點）為輸入層參數，將輸入層設置5個節點.輸出層依據上述待修正參數的定義，設置4個節點.

由于輸入層參數與輸出層參數不是同一數量級，采用Min-Max歸一化對數據進行處理：

針對隱含層節點數，根據經驗公式得到

式中：P為隱含層節點數，取P=12；m為輸入層節點數；n為輸出層節點數；a為[1，10]的常數.

依據所確定的各層節點數量，構建5-12-4-4的BP神經網絡拓撲結構用于有限元模型修正，神經元間采用無反饋的前饋神經網絡，網絡節點傳遞函數采用tansig函數和pureline函數，反向傳播算法采用列文伯格-馬夸爾特算法(Levenberg-Marquardt，L-M)[31]，神經網絡拓撲結構如圖6所示.

圖6 BP神經網絡拓撲圖Fig.6 BP neural network topology

對初始有限元模型結構參數進行30 次隨機縮放，提取對應結構參數下橋梁應變影響線，作為30 個神經網絡樣本集，如表1所示.表中，下標p、q分別表中樣本值、初始值.為了驗證網絡模型的泛化能力，將上述30個樣本集隨機劃分為訓練集(70%)、測試集(15%)和驗證集(15%)，進而將30 個樣本集導入所建立的神經網絡，對網絡展開訓練、測試以及驗證.

表1 神經網絡樣本參數表Tab.1 Neural network sample parameter table

3.3 模型修正網絡訓練結果

通過訓練神經網絡修正模型，并多次迭代L-M反向傳播算法，結果如圖7所示.圖中，N為迭代次數，MSE為不同迭代次數所對應的均方誤差.訓練集、驗證集、測試集和總集的回歸系數分別為0.967 3、0.950 2、0.931 5和0.955 9，表明該神經網絡有較強的擬合能力，可用于預測模型修正參數.由圖7可知，完成收斂的BP神經網絡迭代次數N=34，其中最優迭代次數為28，此時均方誤差MSE僅為4.69×10-4，滿足計算誤差要求.

圖7 最優迭代與誤差分析Fig.7 Optimal iteration and error analysis

3.4 模型修正試驗驗證

提取橋梁實測應變影響線中5 個形狀控制點，并作為輸入參數導入訓練后的BP神經網絡，得到BP神經網絡預測的結構物理參數，如表2所示.可以看出，訓練完畢的BP神經網絡可以較好地對橋梁結構物理修正參數進行預測，修正后的結構彈性模量為290 248 MPa，比初始值增大40%，是由于建模過程中尚未考慮混凝土面板與鋼主梁間的剪力鍵作用.修正后的結構頂板厚度為28.25 mm，底板厚度為36.41 mm，略薄于設計值，其中腹板厚度為20.39 mm，比設計值厚27%，是由于實際橋梁存在部分附屬結構進而導致模型結構厚度產生微小的等效變化.

表2 模型修正前后的參數取值Tab.2 Parameter values before and after model modification

將網絡預測得到的結構物理參數輸入有限元模型，提取模型修正后的結構應變影響線，分析模型修正后與初始模型兩者誤差，如表3、圖8、9所示.表中，ea、ep、er分別為絕對誤差、百分比誤差、相對誤差，R為相關系數.由表3、圖8可知，通過BP神經網絡開展橋梁應變影響線模型修正可以較好地對橋梁結構有限元參數進行優化，模型修正后的結構應變影響線更加貼近結構實測影響線，其百分比誤差下降至0.89%；相對誤差下降至9.43%，誤差均小于10%.模型修正后的應變影響線較修正前，其數據相關系數由0.996 69提高至0.996 71.由圖9可知，模型修正前、后在各影響線加載步下的相對誤差在連續梁橋支座附近出現極大值，是由于支座附近應變影響線系數絕對值??；相對誤差均在±5%的控制線以內，相比于初始模型，優化模型相對誤差絕對值更小，說明優化模型的應變影響線與實測應變影響線更吻合.

表3 模型修正前后應變影響線誤差對比Tab.3 Comparison of strain influence line error before and after model modification

圖8 優化模型的應變影響線與實測值的對比Fig.8 Comparison of strain influence line of modified model with measured value

圖9 模型修正前后應變影響線相對誤差對比Fig.9 Comparison of relative errors of strain influence lines before and after model modification

橋梁影響線試驗的本質是“擬靜力”試驗，可以全面、統一地反映橋梁結構截面抗彎剛度與支座邊界條件，能夠有效反映橋梁結構模型實際狀態.為了進一步分析基于BP神經網絡的橋梁影響線模型修正方法對橋梁動力特性的影響，對模型修正后的橋梁優化模型開展自振頻率分析，如圖10所示.圖中，f為結構自振頻率.M為頻率階數.可以看出，模型修正后的結構自振頻率相較于修正前均增加，且更加貼近橋梁實測頻率，橋梁結構實測頻率與計算頻率誤差從修正前的20%以內降低至10%以內，且一階頻率誤差減小至1.89%，模型精度顯著提升.

圖10 模型修正前后結構自振頻率對比Fig.10 Comparison of structural self-oscillation frequency before and after model modification

4 結論

(1)有限元模型的準確性將顯著影響到分析結果，常規模擬難以確保所建模型精度，本研究提出基于BP神經網絡的橋梁應變影響線模型修正方法，可有效減小橋梁結構目標函數及自振頻率的相對誤差.研究表明，修正后的目標函數及頻率誤差均降低至0～10%，所提方法對靜力特性及動力特性下的結構模型精度均存在顯著提升.

(2)利用全局激勵輸出橋梁單一測點的影響線測試方法，可獲取比常規靜載試驗更多的數據樣本，實現橋梁“輕量化”測試.基于應變影響線開展橋梁模型修正，可以更全面地評價修正前后模型誤差，更完整地反映橋梁力學特性.

(3)采用BP神經網絡開展橋梁模型修正研究，可有效避免構建復雜函數表達式，通過構建帶有反向傳播算法的2層前饋神經網絡，能夠快速有效地實現應變影響線誤差目標最小化求優.

(4)研究提出的橋梁有限元模型修正方法，可為進一步開展結構抗震精細化模擬與真實損傷識別驗證提供更為科學、精確的有限元結構模型.

(5)本研究以三跨連續梁為背景，僅研究了單車道加載下橋梁模型快速修正，多車道加載下的影響面模型修正研究仍具研究潛力.另外，限于篇幅，本研究未對其他神經網絡優化計算模型開展更為深入的研究對比.