關注幾何通性 實現教法遷移 落實整體教學
——以“圓的基本性質”為例

鄧莉莉

(杭州市臨平區樹蘭實驗學校,浙江 杭州 311100)

1 教學現象

筆者認為教材中幾何內容的編排有待改進,一線教師應從橫縱雙向對相關內容進行必要調整,讓教學內容更符合學生的認知規律,更有助于學生理解,從而實現“四基”,發展“四能”.借助“螺旋式”教學方式,實現教學內容結構化、知識系統化,拓展和加深教學內容,真正落實數學核心素養.點動成線、線動成面、面動成體,教師應引導學生從直觀的角度觀察現實生活中的數學問題,將靜態問題變成動態問題,讓數學動起來,感受數學的無窮魅力.筆者將初中階段幾何問題中的點線問題整理成如圖1～4所示的4種類型,以實現幾何的基礎教學.

圖2

圖3

圖4

圖1

以下擬從尋求幾何通性、實現教法遷移、最后落實單元整體教學的思路出發,以浙教版《義務教育教科書·數學》(九年級上冊)第三章“圓的基本性質”為例談談單元整體教學的設計和實踐.

2 教學相關內容的解讀

點與線都是原始概念,教材中沒有具體的定義.這正是幾何教學的難點所在,也是幾何教學的一個突破點.教師如何定義點與線,才能更好地詮釋幾何圖形之間的關聯,實現幾何教學整體化、系統化?如何“開頭”是一線教師應該思考的問題.點是最簡單的形狀,是幾何圖形最基本的組成部分,它在空間中只是作為一個零維對象.在初中階段的平面幾何中,點在平面中只有位置而沒有大小.在最初的定義中,點是沒有部分的東西;而在二維歐氏空間中,把一個點表示為一組有序數對,因此,在笛卡爾坐標系中,任意一點都能用一組有序數對表示,以確定其在平面上的準確位置.

在現階段相關資料中,有關線的概念大致可分為以下3類:

觀念1線是由無數個點集合成的圖形.

這種解釋很抽象,在實際教學中學生無法理解,特別是“點集合成”中的“集合”二字過于抽象.對初中生而言,這樣的定義沒有給出具體的圖形,沒有抽象出示意圖,不符合學生學情和數學概念教學,有些脫離實際.

觀念2線——無寬度有長度.

這種定義非常片面,只指出線在數學領域無粗細之分,與現實領域中的“線”有一定區別,但沒有形成具體圖形,沒有形成幾何直觀,不利于線的概念教學.

觀念3線是由一個點運動產生的圖形.

筆者認為這樣的定義能更好地詮釋“點動成線”,結合初中階段的平移、旋轉變換來描繪點的運動過程,更加直觀地闡述線的定義.一個點沿著某一個方向平移一定距離所形成的運動軌跡稱為線段,如圖5所示即為線段AB或線段BA,移動的距離為線段的長度.

圖5

從運動的角度出發,能夠更好地詮釋圓的形成.點的方向、位置都不斷發生變化,體現圓弧不僅有長度還有角度.圓的旋轉不變性是圓特有的性質.因此,要從對稱性、旋轉不變性兩個方面出發探究圓中弦、弧、圓心角與圓周角等要素之間的關聯,這也是圓相關知識的重點與難點.

3 學情的剖析

基于小學階段對圓及周長、面積公式的認識,結合幾何知識的相關學習經驗,筆者以類比的方式整體設計教學方案,讓學生感知知識的整體性和系統性,把零散的知識集中化,發現其異同點,挖掘更深層次學習的突破口,進一步拓寬和加深課程內容,采用“螺旋式”教學的方式,更適應學生發展的需求.

4 教學目標

1)實物、多媒體動態展示點的運動軌跡,類比直線的概念,用數學的眼光直觀感受并抽象出圓及其相關概念;

2)通過幾何畫板軟件的演示和實物操作,猜想并證明垂徑定理、圓心角定理、圓周角定理,從中經歷知識的“發現”“再發現”“從一般到特殊”的探究過程[1];

3)在圓的基礎知識的學習過程中,實現“四能”的發展,培養學生質疑問難的批判思維,學會用辯證唯物主義觀點觀察世界,形成實事求是的科學態度與理性精神,實現學生核心素養的發展.

5 教學過程的設計

5.1 圓及其相關概念

回顧小學階段圓的相關知識,教師引導學生開展以下探究:

問題1用一根繩子或圓規畫圓,說說在畫圓的過程中應該注意哪些,結合直線的概念給圓下定義.

設計意圖在實踐操作中,讓學生感知圓的形成過程.圓是由無數個點構成的一條封閉曲線,運動中點的位置和方向都在發生變化,為弧的引入埋下伏筆;點在變中仍有不變量,即任意時刻停下來,動點與圓心之間的距離不變;對圓規而言,無論何時停留,圓規兩腳之間的距離始終不變.教師不斷引導學生獲取圓的概念及相關表示方法.

問題2回顧點與直線的位置關系,點與圓又有哪幾種位置關系?

設計意圖借助點與直線的位置關系,用類比思想讓學生感知圓是線,是一條封閉曲線,并且把平面分成了3個部分.由點與圓心之間的距離與半徑的大小關系,來確定點與圓的位置關系,讓學生感知圓心的重要性.

問題3圓弧上任取兩點所作線段稱為弦.固定其中一個點,另一個點在圓上運動的過程中,弦長有何變化?

設計意圖利用圖形直觀,抽象出圓中弧和弦的概念;類比三角形中對邊與對角的關系,以實踐活動的方式讓學生深刻體會弧、弦之間的關系:一弧對一弦,一弦對二弧;再用從一般到特殊的方式,以特殊弦引入圓中弧,歸納說明“直徑是圓中最長的弦”后,利用圓的軸對稱性引入“半圓”,結合弧與半圓之間的對比,獲取“等弧”“優弧”“劣弧”的概念.

問題41)以點O為圓心,可以畫多少個圓?這些圓有什么共同特征?

2)以3 cm為半徑畫圓,這樣的圓可以畫多少個?這些圓又有什么共同特征?

設計意圖以問題串的形式,對圓的不唯一性進行討論,自然引入“同心圓”“等圓”的概念,讓學生感知圓心和半徑是確定圓的兩個要素:圓心可以確定圓的位置,半徑可以確定圓的大小.

問題5已知兩點確定一條直線,而圓是曲線,且圓上任意兩點無法確定一個圓,那需要幾個點才能確定一個圓呢?

設計意圖再次強調圓是曲線,而兩點只能確定一條直線.讓學生從平面中的點出發,類比直線的定義方式,給出確定圓的另一種方法:不在同一直線上的3個點確定一個圓.讓學生實踐操作并觀察,在教師的引導下,利用類比的方式抽象出確定圓的另一種方式,經歷發現和探究的過程,讓學生對所學知識進行猜想、分析、論證、歸納,感受“四能”才是做數學研究的必備能力.

5.2 過圓心的直線垂直于弦——垂徑定理

教師引導學生從圓中兩條弦的位置關系出發,結合特殊弦,構建弦與弦所對弧之間的關聯并進行探究.

問題6畫出圓中兩條弦的位置,小組進行討論并畫一畫具體有哪些形式?

設計意圖結合圓心的位置,讓學生自主探究圓中兩條弦的位置關系,從一般到特殊,給出各種位置關系:

當AB∥CD時,如圖6和圖7所示.

圖6 圖7

當AB與CD相交時,如圖8～13所示.

圖8 圖9

圖10 圖11

圖12 圖13

問題7在相交的情況下,哪些圖形中兩條弦的位置關系比較特殊?哪個圖形中的弦比較特殊?在特殊位置和特殊弦下,所截的弧之間又有怎樣的數量關系?

設計意圖在相交的特殊情況下,借助“一條特殊弦為直徑”給出直徑垂直弦,引導學生研究問題應該從一般到特殊,再從特殊到一般,以便獲取更多相關知識.學生從直徑與弦的位置關系、弦、弦所對弧這3個方面出發進行猜想,利用圓的軸對稱性和旋轉不變性,用“驗證+證明”的方式得到垂徑定理和弧中點的性質,最后結合命題的相關知識,呈現垂徑定理逆定理并進行論證.

問題8在圖6和圖7中,兩條平行弦截得的圓弧有怎樣的數量關系?在圖13中,兩條垂直弦截得的圓弧之間又有怎么樣的數量關系?請說明理由.

5.3 圓心角定理

除了上述的平行弦與垂直弦,教師讓學生再次觀察如圖8～11所示的相交的一般情況,引導學生觀察相交情況下交點與弧之間的關系,實現知識的外延和擴展,充分調動學生學習的積極性[3].

問題9再次觀察圖8～11,兩弦交點與圓有哪些位置關系?

設計意圖教師引導學生考慮當兩弦(或者其延長線)相交時交點與圓的位置關系,給出“圓內角”“圓周角”“圓外角”的概念,再結合圓心的特殊性,進一步給出圓內角的特殊情況——圓心角,讓學生的目光聚焦在圖8,從而獲取圓心角的概念,并結合“對頂角相等”對“圖8中相等的圓心角所對的弧是否相等”進行猜想,利用圓的旋轉不變性加以論證.

問題10相等的圓心角所對的弧相等嗎?若相等,請給予證明;若不相等,請舉例說明.

圖14

問題11線段有長度.弧也是線,弧的長度又該如何計算呢?

問題12線段有中點,那弧是否也有中點?如果有,請你找出弧的中點.

設計意圖回顧尺規作圖找線段中點的方法,結合圓心角定理可知作弧所對弦的垂直平分線與弧的交點即為弧的中點,更好地體現了弧與弧所對弦之間的關系,也進一步感悟數學的度量方式,感知“化曲為直”的思想,逐步形成空間觀念和幾何直觀,也能結合圖12給出“弓形”“弓高”“弦心距”等相關概念.

5.4 圓周角定理

結合學生所畫的圖形,教師引導學生借鑒圓心角及相關定理,給出圓周角的概念,重點突出圓周角與其所對弧、弧所對的圓心角、所對弦之間的數量關系,自然引出圓周角定理以及相關推論.

問題13根據圖10,以類比的方式給出圓周角的概念,進一步觀察圓心與其位置關系.

設計意圖教師引導學生從圓心角出發,結合角的定義,類比得出圓周角的概念.再根據圓心與其位置關系,在學習單中畫出3種情況(如圖15～17),為之后學習圓周角定理做鋪墊.

圖15 圖16 圖17

問題14同弧(或等弧)所對的圓周角與圓心角之間有何數量關系?

設計意圖用弧來構建“兩角”之間的關聯,引導學生用畫圖的方式去猜想二者之間的數量關系,即一條弧所對的圓周角是圓心角的一半.通過特殊弦(直徑)將圓周角問題轉化為圓心角問題.對圖15、圖16的論證比較簡單,對圖17的論證學生可能會遇到一定困難,教師適當引導學生用代數方法(即“設元”)找出角度之間的數量關系,從具體的“數”抽象到“式”,以便更好地尋找等量關系,順勢可得圓周角定理及相關推論、圓內接四邊形及其性質等.

圖18

設計意圖借助三角形的內角、外角,再次闡述點與圓位置關系的另一種證明方法:當點與弧兩端所成張角大于弧所對的圓周角時,點在圓內;當點與弧兩端所成張角等于弧所對的圓周角時,點在圓上;當點與弧兩端所成張角小于弧所對的圓周角時,點在圓外.從而進一步說明圓周角在圓的基本性質中的重要地位.

6 教學的思考

6.1 關注幾何通性,構建單元整體教學

教學內容的設計應符合學生的認知規律,且有助于學生理解,實現“四基”,發展“四能”,以適合學生的發展為原則將教學內容進行結構化整理,使知識系統化,以螺旋式教學的方式,拓寬和加深教學內容,真正落實數學核心素養.把握單元教學目標,構建單元教學以便更符合學生對幾何內容的理解.“圓的基本性質”是直線的拓展和衍生,可以借鑒直線的相關研究.本單元教學設計從直線出發,給出圓的基本性質,讓學生突破“只見樹木,不見森林”的學習困境,真實感受知識之間的聯系,實現“數”與“形”之間的相互轉化,并學會用數量關系來展現幾何圖形的基本性質,引導學生養成“見形思數”的數學習慣.無論是在教法還是在學法上都彰顯了幾何的通性,實現了幾何教學的統一.

6.2 以問題串引領教學,以課堂資源優化教學

基于問題驅動教學,根據學生心理和教學內容,以問題串引領教學,將教學內容轉化為一個個問題,通過學生回答,教師得到反饋,再提出新問題,引導學生將所學知識從基礎出發進行發現、深入和外延,在加大知識廣度的同時,也加深了知識的深度.這樣的教學更有利于知識的系統化,適合單元教學.環環相扣的問題串,從一個問題出發引出一個知識點,再由其引出另一個問題,將圓的基本性質以串的形式呈現給學生.本單元知識點的引入始終圍繞弦與弦的位置關系,利用學生所畫的圖形抽象出數學幾何概念,并對圖形性質進行研究,抓住單元知識之間的關聯,重組教學內容,以問題串的教學思路引領學生思辨,“奇思妙想”給出圖形,完美優化課堂資源,結合“見形思數”思路實現單元整體教學.本單元的整體設計,學習資源來源于學生的“課堂資源”,將其再服務于探究中,激勵學生參與教學的積極性,有助于更好地落實“四基”,實現“四能”的發展[4].

6.3 優化思維結構,彰顯學科育人

以知識為載體,關注學生的數學思維方法,實現數學學科的育人價值,著眼于學生的終身發展才是數學教學的本質.俗話說得好,人生的意義不在于長度而在于寬度.思維上的寬度和深度決定了學生的一生,而“問題串”教學很好地彌補了傳統教學對課外知識的外延和課內知識挖掘的不足,能更好地彰顯數學本質.本單元的設計以學生所畫的圖形為切入點,構建弦與弦的各種位置關系再進行研究,體會從問題解決中概括出一般結論,形成數學研究的方法與策略,感悟用數學的眼光觀察世界的意義,提高學生學習數學的興趣.

教學方法千千萬萬,適合學生的才是好方法.教師要學會重組教材內容、構建知識結構,在教學中把握知識的整體性,發展學生思維的系統性、思想的一致性,讓學生感知研究方法的遷移類比.在研究過程中,采用從“整體到部分”再由“部分到整體”、從“特殊到普遍”再由“普遍到特殊”的方式,更加符合學生的認知.將圓的知識與直線類比學習,感知知識的統一、思維的統一,找到知識之間的關聯,以實現教法的遷移,推進“教—學—評”一致性,讓學生從“學會了”轉化成“會學了”,真正實現思維的發展.