基于CSO-LSSVM 模型的選擇性激光燒結成型工藝參數優化*

蔣成雷 李 健 肖亞寧 郭艷玲 王揚威

（東北林業大學機電工程學院，黑龍江 哈爾濱 150040）

SLS 是一種快速成型技術[1]。由于其成型過程存在較大的溫差，因此成型件不可避免地會出現收縮、翹曲變形等現象[2]。大量研究表明工藝參數對成型件燒結質量有明顯影響，設置合理的工藝參數是決定成型質量的關鍵[3]。由于選擇性激光燒結工藝參數與成型效果間存在高度的非線性關系，通過傳統的試錯法要花費大量時間和成本，有很大局限性。隨著機器學習和人工智能等科學的不斷發展，越來越多的國內外學者開始嘗試建立回歸預測模型，以簡化工藝參數優化過程。李小飛等[4]提出了一種基于模糊徑向基函數神經網絡的成型精度預測模型，該模型可根據不同的工藝參數對成型件尺寸誤差進行較準確的預測。劉兆平等[5]提出了一種基于BP神經網絡的覆膜砂選擇性激光成型精度預測模型，該模型的最大相對誤差僅為2.2%。肖亞寧等[6]提出了一種基于人群搜索算法優化BP 神經網絡的選擇性激光燒結成型件精度預測方法，該方法相比標準BP 神經網絡有著更好的預測精度和更高的穩定性。Zhang Y P 等[7]提出了一種改進饑餓游戲搜索算法——ELM 預測模型，用于預測SLS 零件的收縮，實驗結果證明該模型具有較好的預測精度。

本文針對聚醚砜（polyethersulfone，PES）樹脂粉末成型件收縮的問題，首先確定工藝參數，進行正交試驗，獲得試驗數據。然后，利用混沌映射策略、非線性切換因子策略和針孔成像反向學習策略對標準SO 算法進行增強，提出了一種名為CSO 的改進算法，并將其與LSSVM 結合，建立SLS 收縮率的預測模型。與其他預測模型進行對比，結果表明該預測模型擁有更好的效果，可為提高SLS 成型件的質量做出工藝參數指導。

1 選擇性激光燒結試驗

1.1 試驗數據獲取

本次試驗設備采用CX-B200 小型工業級激光燒結成型機（哈爾濱自由智造科技開發有限公司），試驗材料為PES 粉末。其主要工藝參數包括激光功率、預熱溫度、掃描速度、掃描間距和分層厚度。試驗模型為標準測試樣件，其尺寸參數如圖1 所示。本文設計了L25(55)正交表，見表1，并且為進一步提高研究的準確性和普遍性，額外增加了10 組工藝參數組合試驗，以保證樣本數據集足夠充分。

表1 正交試驗因素水平

圖1 測試樣件尺寸參數

為避免試驗的偶然性，每組試驗同時加工3 個標準測試樣件，多次測量求取平均值并計算每個方向上的收縮率，樣件在X方向上的收縮率計算公式為

式中：εx為樣件在X方向上的收縮率；xCAD為設計尺寸，mm；xMEA為燒結成型后的實際測量尺寸，mm。Y向和Z向的收縮率公式以此類推，試驗結果見表2。

表2 試驗樣本數據結果

1.2 多目標函數的統一化

由于選擇性激光燒結工藝參數的優化是一個多目標優化問題，即要實現三個方向上的收縮率 εx、εy和 εz都同時取得最小值。本文利用線性加權組合法來消除各項量綱上的差異大小，賦予加權因子建立統一目標函數[8]。

假設已知各目標函數值的變化范圍為

式 中：fi(x) 為第i個分目標函數；ubi和lbi分別為第i個分目標函數的最大值和最小值。

式中：?fi為各目標函數的容限，取加權因子為

針對SLS 工藝參數的優化問題，分別將樣本數據的X向收縮率 εx、Y向收縮率 εy、Z向收縮率 εz作為各項目標函數進行轉化，得到SLS 成型件的統一性能計算公式如下：

式中：Q為統一性能的評價指標，表征制件尺寸精度的好壞，Q值越小則成型精度越高。

2 LSSVM 模型與改進蛇優化算法

2.1 LSSVM 預測模型

LSSVM 是Suykens J 等[9]通過引入最小二乘損失函數，將原本支持向量機中的不等式約束轉化為等式約束而衍生出的。LSSVM 繼承了支持向量機的結構風險最小化的特點，且優化過程中只需求解一個線性方程組，有效避免了二次規劃問題，其魯棒性、泛化能力和收斂速度得到了顯著的提升，更加適合處理高緯度和非線性的小樣本數據[10]。其描述如下：

假設訓練數據集為 S={(xi,yi)|xi∈Rn,yi∈R}，xi∈Rn為n維系統的第i個輸入向量，yi∈R為對應輸出值。定義非線性映射函數 φ(·):Rn→H以構造高維特征空間，將輸入空間映射變換至希爾伯特空間，此時特征空間中的LSSVM 數學模型可表示為

式中：w為原始空間的權向量；b為偏置量；xi和yi分別為系統的輸入向量和輸出值。

為解決SVM 中的二次規劃問題，基于結構風險最小化原則，采用最小二乘法建立了LSSVM 的目標函數[11]，其表達式為

式中：∥w∥2為控制模型的復雜度；C為正則化參數（C>0），決定著對超出誤差范圍樣本的懲罰程度；ei為第i個松弛變量。

為更好地解決優化問題，將拉格朗日乘子引入式（7），可得：

式中：αi為第i個拉格朗日乘子，αi>0；根據庫恩-塔克條件，分別對拉格朗日函數中的相關參數進行偏導數運算，令結果等于零可得：

消去w和ei，可得線性方程組如下：

式 中：α=[α1,α2,···,αn]T；Z=[1,1,···,1]T；y=[y1,y2,···,yn]T；E為n×n的單位矩陣，K=κ(xi,xj)。鑒于徑向基核函數的良好穩定性，故采用其作為LSSVM 模型的核函數，即：

式中：σ為核函數參數，σ>0。

得到LSSVM 預測模型的表達式為

2.2 改進蛇優化器

式 中：Xi為第i個個體的位置；rand為 [0,1]的隨機數；UB、LB分別為待解決優化問題的上下界。在種群初始化之后，首先通過以下公式計算溫度和食物量。

式中：Temp為溫度；t為當前迭代次數；T為最大迭代次數；Q為食物量；c1為等于0.5 的常數。

在探索階段中，若Q<0.25，蛇通過選擇隨機位置來尋找食物，并以此更新自己的位置。此時雄雌個體的位置更新公式分別如下：

式中：Xi,m(t+1) 為第i個雄性個體在下一次迭代時的位置；Xrand,m(t)為隨機雄性個體的當前位置；Xi,f(t+1) 為第i個雌性個體在下一次迭代時的位置；Xrand,f(t) 為隨機雌性個體的當前位置；Am與Af分別為雄雌性尋找食物的能力，可以表示為

式中：frand,m為Xrand,m的適應度值；fi,m為雄性群體中第i個個體的適應度值；c2為等于0.05 的常數；frand,f為Xrand,f的適應度值；fi,f為雌性群體中第i個 個體的適應度值。

在探索階段中，若Q>0.25且Temp>0.6，此時蛇會靠近食物，位置更新公式為

式中：Xi,j(t+1) 為種群中第i個體下一次迭代時的位置（雄性或雌性）；Xfood為當前全局最優位置，即食物的位置；c3為等于2 的常數。若Temp<0.6，蛇將處于戰斗模式或交配模式，戰斗模式時雄雌個體的位置更新公式分別為

綜上，我國農業綠色發展在2005—2016年樣本期間存在顯著的空間相關性，若在研究農業綠色發展的影響因素時，忽視這種空間溢出效應，則可能出現模型估計上的偏差，甚至得出錯誤的結論及建議。因此，在農業綠色發展的影響因素分析中，引入空間權重矩陣，通過空間計量經濟學模型考察鄰近地區地理因素及其他因素對農業綠色發展的影響程度。

式中：Xbest,f為當前雌性群體中的最優個體位置；FM代表雄性的戰斗力值；Xbest,m為當前雄性群體中最優個體位置；FF代表雌性的戰斗力值。FM與FF可由以下方程式計算：

式中：fbest,f為雌性群體中最優個體的適應度值；fbest,m為雄性群體中最優個體的適應度值；fi為第i個搜索個體的適應度值。交配模式時雄雌個體的位置更新公式分別為

式中：Mm為雄性的交配能力；Mf為雌性的交配能力，計算公式為

若蛇蛋孵化，選擇其中最差的雄性和雌性進行替換，此時位置更新公式如下：

式中：Xworst,m為雄性群體中最差個體位置；Xworst,f為雌性群體中最差個體位置。

2.3 改進策略

2.3.1 混沌映射策略

混沌映射能以更高的速度徹底研究搜索空間，可以使算法具有更快的收斂速度[13]。本文選用Sine映射來對算法進行種群初始化。其公式如下：

在本文中，引入混沌映射的主要作用是初始化種群位置，在種群初始化階段引入混沌映射，此時種群初始化位置更新公式如下：

2.3.2 非線性切換因子

在本文中，引入了一種非線性切換因子，以替代原本算法中的參數Temp以及Q，更好地平衡算法的探索和開發能力。其是由Wang L Y 等[14]提出的，定義如下：

2.3.3 針孔成像反向學習策略

針孔成像反向學習（pinhole-imaging-based learning，PIL）是Long W 等[15]于2021 年提出的一種新的學習策略。在本文中PIL 用于更新種群位置以避免算法陷入局部最優進而增加其全局探索能力。PIL 的數學模型表述如下：

式中：Xbest表示算法當前最優解；表示對應的反向解；LB和UB分別是搜索空間的上下限；k是比例系數；在本文中，k值與迭代次數相關，其計算方式如下：

2.3.4 改進算法流程

盡管標準SO 在早期研究中表現出不錯的數值優化能力，然而隨著優化問題的復雜度不斷增加，SO 也不可避免地會出現收斂精度低、收斂速度慢、易于陷入局部最優等缺陷。本文提出了一種多策略改進型蛇優化器。首先，在算法的初始化階段引入了Sine 映射以豐富種群多樣性，進而提高算法全局探索能力，使算法具有更好的探索能力，從而具有更高的收斂精度。其次，通過針孔成像反向學習，在每次迭代后對種群位置進行更新，避免陷入局部最優，通過針孔成像學習可以有效地增強算法的開發階段。最后，采用非線性切換因子來代替SO 原有的參數Temp以及Q，更好地平衡算法的探索和開發能力。此時算法中的溫度以及食物量的計算公式如下：

最終，本文所提出的改進型CSO 算法的具體步驟如下。

步驟1：初始化種群數量N，問題維度D，上下界限LB、UB，最大迭代次數T以及雄性和雌性數量Nm、Nf，并隨機初始化種群位置。

步驟2：通過式（29）對算法種群初始化位置進行更新。

步驟3：評估所有個體，找到最優雄性Xbest,m，最優雌性Xbest,f和食物的位置Xfood，通過公式（33）和式（34）計算Temp和Q。

步驟4：根據不同的Temp和Q算法進行不同階段位置更新，并得到最終位置。

步驟5：通過式（31）得到最終解的反向解，并進行比較選擇更優解。

步驟6：判斷算法是否達到終止條件，若是，則結束循環并輸出全局最優解，否則返回步驟3。

2.4 算法性能驗證

為驗證CSO 的有效性和可行性，本文選取了部分經典基準函數開展數值優化測試，并且將CSO 與標準SO 優化器、鯨魚優化算法[16]（whale optimization algorithm，WOA）、哈里斯鷹算法[17]（harris hawks optimizer，HHO）、正弦余弦算法[18]（sine cosine algorithm，SCA）、鼠群優化算法[19]（rat swarm optimizer，RSO）以及被囊群優化算法[20]（tunicate swarm algorithm，TSA）進行性能對比，每種算法的最大迭代次數和種群規模分別被設置為500 和30，所有算法參數設置均和原文獻保持一致，所有算法均在Matlab R2020(a)版本中完成編寫，計算機配置為Intel (R) Core (TM) i5-7300H@2.50GHz中央處理器，8 GB 運行內存。將上述7 種算法在每個函數上均獨立求解30 次，記錄測試結果的平均適應度值（Avg）和標準差（Std）作為評價指標于表3 中。由表3 得出，本文所提出的CSO 在幾乎所有測試函數上都展現出更為出色的優化性能。對于單峰測試函數，其獲得了更好的仿真結果；對于多峰和固定維多峰測試函數，CSO 依舊保持了相較于其他算法更高的收斂精度。試驗結果證明該算法具有更加優秀的性能，可以穩定地解決全局優化問題。圖2展示了SO、WOA、HHO、SCA、RSO、TSA和CSO 在9 個代表性基準函數上的收斂曲線。由收斂曲線圖可以看出，CSO 具有更好的收斂精度并且其收斂曲線表現出最快的衰減率，相比于原SO，其收斂速度與精度都有明顯提高。綜上結果進一步驗證了本文提出改進算法的有效性以及可行性。

表3 不同對比算法在部分基準測試函數上的優化結果

圖2 不同對比算法的收斂曲線

3 CSO-LSSVM 預測模型的構建

采用LSSVM 建立選擇性激光燒結工藝參數組合和統一性能間的非映射關系，在本模型中假設有n組訓練樣本數據 (xi,yi)，其中xi為五維實數輸入向量，分別為激光功率P、預熱溫度T、掃描速度V、掃描間距L、分層厚度D，以統一性能指標Q作為燒結成型件尺寸精度評價指標，即模型輸出yi。

針對需要優化的正則化參數C和核函數參數 σ，采用預測樣本的均方根誤差作為CSO 算法最小化尋優過程中的適應度函數：

式中：yi為統一性能的真實值；為預測輸出值；n為總樣本數量。

CSO 優化LSSVM 模型的主要步驟如下。

步驟1：將總樣本數量的80%作為訓練集，其余為測試集[21]。采用Min-Max 標準化方法將樣本數據歸一化至 [0,1]區間的小數，公式為

式中：xi和分別表示歸一化前后的數據值；xmax和xmin分別對應同一維度下的數據最大值和最小值。

步驟2：初始化CSO 參數和種群位置。

步驟3：確 定LSSVM 參數C和σ的范圍，C∈[0.01,5]，σ ∈[0.01,5]。

步驟4：利用CSO 對LSSVM 的參數進行尋優，將訓練樣本輸入LSSVM 模型進行學習，得到輸出預測值并計算適應度Fit。

步驟5：根據適應度函數值不斷更新參數C和σ的全局最優解，判斷是否滿足t≥T的迭代終止條件。t和T分別為當前迭代次數和最大迭代次數，若滿足則輸出，否則循環執行步驟5。

將上述計算獲得的最優正則化參數值和核函數值代入LSSVM 模型進行預測，預測完成后，對結果進行反歸一化，通過對比預測值和實測值得出結論。反歸一化公式為

4 仿真結果與分析

初始化參數如下：種群規模N=30，最大迭代次數T=100，正則化參數C∈[0.01,5]，核函數參數σ ∈[0.01,5]。訓練集的索引序號為[7,4,30,29,8,24,21,15,26,10,22,34,3,1,13,5,31,23,27,25,12,2,20,17,6,32,33,19]，將剩余20%作為測試集進行預測，測試集的索引序號為[11,14,18,28,9,35,16]。圖3 所示為CSO-LSSVM 預測模型在參數迭代尋優過程中的適應度曲線，經反復驗證得到一組最優系數為：C=5.0，σ=0.092 6，相應的適應度函數值等于0.329 0。

圖3 CSO-LSSVM 預測模型收斂曲線

為驗證CSO-LSSVM 預測模型的有效性，首先采用標準LSSVM 模型和CSO 優化后的LSSVM 模型分別對訓練集和測試集數據進行統一性能的預測和絕對誤差對比，結果如圖4 和圖5 所示。就訓練集的預測結果而言，兩種模型的期望輸出結果都符合真實值的變化趨勢，但兩者間總存在一定誤差，本文所提出的CSO-LSSVM 模型預測結果更接近統一性能變化曲線。這些結果表明：CSO 能夠有效地增強LSSVM 模型的泛化能力和預測精度。為突出所提預測模型的優越性，將引入BP 神經網絡和極限學習機與CSO-LSSVM 模型展開進一步的對比實驗。不同模型在測試集上對統一性能的預測結果如圖6 所示，可以看出，相較于BP 神經網絡和ELM模型，本文所提的CSO-LSSVM 模型依舊保持更出色的效果表現，預測精度和絕對誤差在總體上都有明顯優勢。

圖4 LSSVM 與CSO-LSSVM 模型在訓練集上的預測結果

圖5 LSSVM 與CSO-LSSVM 模型在測試集上的預測結果

圖6 不同模型對比結果

為更直觀地評估本文構建的預測模型的準確性，將選擇均方根誤差（root mean square error，RMSE）、平均絕對百分比誤差（mean absolute percentage error，MAPE）以及平均絕對誤差（mean absolute error，MAE）作為評價標準。結果見表4 和表5，可以看出：CSO-LSSVM 模型在測試集上得到的預測值與真實值之間的均方根誤差、平均絕對百分比誤差、平均絕對誤差相比于優化前的LSSVM 模型分別減少了0.276 7、9.999 3%、0.368 0，相比于BP 神經網絡分別減少了0.520 3、15.726 3%、0.575 0，相比于ELM 模型分別減少了0.759 9、20.214 3%、0.820 7，分析得出CSO-LSSVM 算法可以有效預估SLS 制件精度，相比于其他三種算法有著更高的準確性。

表4 不同模型在測試集的預測值與真實值對比結果

表5 不同模型的性能評估對比結果

5 結語

為了提高SLS 成型件的質量，本文在正交試驗的基礎上，CSO 算法被應用于優化LSSVM 模型的初始正則化參數和核函數參數，以提高其泛化能力和預測精度，建立了基于CSO-LSSVM 的SLS 成型件精度預測模型；對比標準LSSVM 模型，BP 神經網絡和ELM 模型的預測結果，CSO-LSSVM 模型具有更高的預測精度，其在測試集上得到的預測值與真實值之間的均方根誤差、平均絕對百分比誤差、平均絕對誤差分別為0.546 2、9.487 7%、0.401 7。因此，該模型可以為SLS 成型加工提供最優工藝參數，指導加工。