基于改進灰狼算法的宏微復合驅動器磁滯模型的參數辨識*

喻曹豐 陶雪楓 魏益軍 楊 坤 王 寧

（①安徽理工大學機電工程學院，安徽 淮南 232001；②流體動力基礎件與機電系統國家重點實驗室，浙江 杭州 310027）

高新工業科技的不斷發展使得高精度定位跟蹤技術成為工業界和學術界的研究熱點，具備大行程、高定位精度的驅動器及其建?？刂圃桨l成為精密定位領域的重心[1]。傳統單級驅動裝置因其結構限制，較難同時實現高精度和大行程特性，針對這個問題，本文提出宏微復合驅動裝置的思路，即宏動部分滿足大行程位移功能，微動部分負責實現高精度跟蹤定位要求[2-3]。宏微復合驅動方式主要有兩種，即堆棧疊加式（微動臺堆疊于宏動臺之上）和同軸對中式（微動臺與宏動臺在同一軸線上）。堆棧疊加式對位移的測定存在偏差，嚴重影響定位精度；而同軸對中式結構保證了宏動與微動之間的軸線對齊[4]，有效避免了這種問題。根據上述情況，本課題組將超磁致伸縮驅動器和音圈電機緊密結合，提出了集高速度、大行程和精密特性于一身的同軸集成式宏微復合驅動器，并搭建了試驗平臺。該方案將宏動部分與微動部分集成在同一體中，避免了安裝時不能保證軸線對齊的問題，同時也降低了堆棧疊加式中的阿貝誤差，提高了定位精度[5]。

作為微動臺負責實現短行程精密定位的超磁致伸縮驅動器，超磁致伸縮材料（GMM）為核心部件，具有小體積、高能量轉換率和快速響應等優點。但由于GMM 存在磁滯非線性現象，嚴重影響了GMA 的實際應用。因此要想提升超磁致伸縮驅動器的定位精度與控制效率，關鍵在于精確地構建其位移輸出模型。1935 年，經典Preisach 模型被提出，但模型會產生大量非物理參數，使得建模和控制過程較為復雜[6]。PI 模型主要通過加權疊加磁滯算子來描述鐵磁材料的磁滯非線性，但該模型對鐵磁材料的特性要求較高，因此很難滿足建模條件[7]?；阼F磁疇壁理論構建的Jiles-Atherton（J-A）模型，是一種具備物理磁滯特性的模型，探討了鐵磁材料磁化強度與磁致伸縮的耦合作用，揭示了磁化過程機理[8-9]。但J-A 模型中參數互相耦合，在實際應用中辨識較為困難。王珊珊運用粒子群算法對J-A 模型進行了分段的參數辨識與尋優，得到最優參數組合[10]。另外，劉慧芳將遺傳算法與模擬退火算法融合，進行GMA 磁滯非線性模型的參數辨識[11]。

針對GMA 磁滯非線性模型中的J-A 模型參數辨識，一直缺乏能高效逼近參數真實值的算法。本文提出基于3 種改進策略的灰狼優化算法，采用Singer 混沌映射更新灰狼個體的初始位置，同時引入非線性控制因子策略、自適應位置更新和動態權重更新策略，可有效改善傳統灰狼算法尋優后期易陷入局部最優及求解精度不高的缺陷。仿真實驗表明，提出的TGWO 算法具有更強的尋優求解能力，辨識結果逼近非線性磁滯模型參數真實值。

1 同軸集成式宏微復合驅動器結構及數學模型

1.1 同軸集成式宏微復合驅動器結構

同軸集成式宏微復合驅動器宏動部分主要由磁軛、永磁體、結合架等組成。6 個永磁體產生宏動磁場，宏動線圈通電后在磁場作用下帶動驅動器整體進行位移，實現大行程功能。微動部分由超磁致伸縮材料（GMM）棒、微動線圈、隔磁筒等組成。宏動部分定位完成后，微動線圈通電產生微動磁場，GMM 棒在磁場作用下伸長產生位移，補償宏動部分位移跟蹤誤差。

實驗平臺如圖1 所示。

圖1 同軸式宏微復合驅動器結構示意圖

1.2 宏微復合驅動器微動部分的位移磁滯非線性模型

鐵磁材料J-A 磁化理論模型中，磁化強度M與外加磁場H之間的關系如下：

式中：He為磁性材料的有效磁場；H=nI為外加磁場；α為鐵磁材料疇壁相互作用系數；a為鐵磁材料的形狀系數；Man為鐵磁材料的無磁滯磁化強度；Ms為飽和磁化強度；Mrev為可逆磁化強度；Mirr為不可逆磁化強度；δ為符號常數，當dH/dt<0 時，δ=-1；dH/dt>0 時，δ=1；k為不可逆損耗系數；c為可逆分量系數。δM為去除負磁化系數的參數，表示為

磁場作用下超磁致伸縮棒的磁致伸縮系數λ及伸長量ΔL為

式中：λ為鐵磁材料的磁致伸縮系數；λs為飽和磁致伸縮系數；ΔL為超磁滯伸縮棒的伸長量；L為GMM 棒原長。式（1）和式（3）構成了宏微復合驅動器微動部分的位移磁滯非線性模型，由輸入電流I可得到微動部分的輸出位移。在非線性磁滯模型中辨識5 個參數，為θ=(Ms α a k c)。

2 TGWO 算法

2.1 標準灰狼算法

灰狼優化（grey wolf optimization，GWO）算法主要通過模擬野外狼群社會的等級制度和捕獵形式實現優化搜索的目標[12]。GWO 算法將最優目標解設為α狼，次優解設為β狼，第三優解設為δ狼，由它們來領導狼群追捕獵物；所有其他解定義為γ狼。算法中灰狼追捕獵物行為分為四散包圍、展開追捕與進行攻擊。狼群四散包圍獵物如下：

式中：D為灰狼與目標之間的距離；Xk(t)和Xp(t)為優化算法迭代t次后第k只灰狼和目標獵物的位置；A和C為干擾因子。當|A|≤1 時，狼群展開追捕，強調局部開發；|A|>1 時，狼群放棄追捕并繼續向外散開，突出全局尋優。A和C的計算公式如下：

式中：r1、r2為[0,1]間隨機產生的向量；a為收斂因子，由式（6）可知其值隨灰狼算法迭代次數的增加而遞減。

式中：T為最大迭代次數。

灰狼個體追捕獵物位置的公式表達如下：

式中：Dα、Dβ、Dδ為α狼、β狼和δ狼與種群其他灰狼之間的距離；Xα(t)、Xβ(t)、Xδ(t) 為α狼、β狼和δ狼的所在位置。

在追獵階段，其余的γ狼向著α狼、β狼和δ狼的跟隨前進：

其中灰狼個體位置的迭代更新公式如下：

2.2 Singer 混沌映射

標準 GWO 算法產生的初始種群具有隨機性，可能分布不均使得種群多樣性差。文本采用的Singer 映射作為經典混沌映射，具有長期不可預測、整體穩定等特性，生成的混沌序列具有普適性和分數維持性等特征[13]，其數學表達形式為

其中：λ∈[0.9,1.08]。

生成的序列sk∈[0,1]，用來更新GWO 種群的初始位置Xk，如下式所示：

其中：ub與lb為種群空間的上邊界與下邊界。

2.3 非線性收斂因子

標準GWO 算法通過添加收斂因子a更新位置公式里的參數A，從而平衡算法的全局搜索與局部開發能力。傳統灰狼算法中收斂因子a線性遞減的更新策略使其跳出局部最優值的能力較差，嚴重削弱了算法全局求解能力。因此本文采用基于Sigmoid函數結構[14]的非線性收斂因子更新公式：

式中：abegin和afinal為收斂因子的起始值2 和終值0；t為迭代次數；T為最大迭代次數。

相較于傳統GWO 算法的線性遞減策略，本文采用的非線性收斂因子使得算法前期保持大步長全局尋優，且速度相對較慢，保證種群多樣性的同時增強了全局尋優能力；中期提升尋優速率；后期小步長搜索，速度相對變緩，提升算法的局部開發能力和求解能力。

2.4 引入動態權重與自適應更新策略

傳統GWO 算法通過求X1、X2、X3平均值的方式更新種群位置，無法凸顯α、β、δ三者之間的重要性，因此本文引入了基于修訂動態權重的位置更新策略[15]。

當前灰狼個體到α、β、δ之間的距離權重：

同時，為了增強算法的全局搜索和局部開發能力，本文提出了一種效果更好的自適應位置更新方法。最終的灰狼位置更新方程為

3 基于TGWO 算法的磁滯模型參數辨識

3.1 辨識算法流程圖

綜合以上算法優化策略，設定改進灰狼算法的步驟。

步驟1：設定種群規模大小N、目標空間維度D、總迭代次數T、常數ε；初始化a、A、C。

步驟2：采用Singer 映射更新種群初始化位置。

步驟3：計算種群灰狼個體的適應度值，挑選出前三優解設為Xα、Xβ和Xδ。

步驟4：更新種群中其他灰狼的位置。

步驟5：更新非線性收斂因子a，確定a之后更新干擾因子A和C。

步驟6：判斷算法是否滿足結束條件，若滿足，輸出最優解并結束算法；否則，重復執行步驟3 至步驟5。

3.2 參數辨識原理

宏微復合驅動器微動部分磁滯非線性模型參數辨識原理如圖2 所示?；谧钚《朔ㄔ斫当孀R的目標函數并求解極小值：

圖2 參數辨識原理圖

式中：R為采樣次數；k為第k個采樣時刻；y(k)為位移測量值；為模型位移計算值；θi為θ的第i個參數；ai、bi分別為 θi的下限與上限。

4 辨識結果與實驗驗證

4.1 實驗數據測量

宏微復合驅動器實驗平臺如圖3 所示，主要包括精密程控電源、高精度位移傳感器、功率放大器和宏微復合驅動器。驅動器關鍵部件GMM 棒尺寸為?8×80 mm。以5 A 為最大工作電流Imax，步長為0.2 A，測量電流由0 增加到Imax再減小到0 的GMM棒伸長量。

圖3 實驗平臺實物圖

4.2 數值仿真

設定種群規模p=100，最大迭代次數T=150。采用傳統灰狼算法和TGWO 算法分別進行3 次參數辨識，如圖4 和圖5 所示，參數辨識結果見表1。結果表明傳統灰狼算法在求解目標函數值時，會出現早熟和停止現象，易陷入局部最優解；同時辨識結果中個別參數出現撞擊邊界的情況。而TGWO算法擁有更高的穩定性和全局收斂能力，能更好地脫離局部最優，使辨識目標快速地向全局最小值收斂。經過150 代運算目標函數值達到0.462，相比于傳統灰狼算法只收斂到2.146 有了較大提升。

表1 參數辨識結果

圖4 傳統灰狼算法

圖5 TGWO 算法

分別利用傳統灰狼算法和TGWO 算法辨識出的結果計算復合驅動器GMM 棒的伸長量，并與實驗數據比較，結果如圖6 所示，平均相對誤差分別為9.8%和4.6%。因此，TGWO 算法的計算結果與實驗結果符合程度更高，辨識出的參數更逼近真實值。

圖6 仿真結果與測量結果比較

為了檢驗任意變化趨勢的輸入電流控制下，利用優化算法辨識結果計算GMA 位移的準確性，本文改變輸入電流的幅值進行仿真，電流最大值取4 A 和2.4 A，并與實際測量數據做對比，結果如圖7和圖8 所示。電流幅值為4 A 時，傳統灰狼算法與TGWO 算法計算結果平均誤差分別為7.9%和4.5%。電流幅值為2.4 A 時，傳統灰狼算法與TGWO 算法計算結果平均誤差分別為7.3%和4.2%。由此可見，TGWO 算法的辨識結果能更好地反映參數真實值，位移計算值與實際測量值吻合程度更高，可以用作位移模型的計算。

圖7 電流幅值為4 A 時仿真結果與測量結果比較

圖8 電流幅值為2.4 A 時仿真結果與測量結果比較

5 結語

（1）本文所提出的TGWO 算法在傳統灰狼算法的基礎上，引入混沌映射、非線性收斂因子、修訂動態權重和自適應更新位置策略；有效抑制了GWO 算法全局收斂難、易陷入局部最優及參數易撞擊設定邊界的缺點，提高了辨識精度和最優解質量。

（2）經過多次辨識計算證明，改進后的算法求解效果較好。電流幅值為5 A 時，三次仿真GMA 模型位移計算值與測量值平均誤差分別為4.68%、4.62%、4.65%；電流幅值為4 A 時，平均誤差為4.52%、4.46%、4.48%；電流幅值為2.4 A時，平均誤差為4.11%、4.25%、4.16%。因此，算法辨識參數可以應用于后續驅動器的建?？刂?。