一類拋物型方程初值與源項同時反演問題的唯一性與數值計算

阮周生，萬廣紅，陳振興

（東華理工大學理學院，南昌 330013）

0 引言

拋物型偏微分方程是一類被廣泛用來刻畫守恒現象的方程，在地下水污染的預防與治理、血液內部藥物溶度擴散的預測、熱場中溫度分布的計算及傳染病的預測與防護等實際問題中有重要的應用［1］。在利用拋物型偏微分方程描述具體現象時，往往系統中存在某些不明確或不易得到的信息，這些未知信息通常需要通過其他的附加信息來重構或反演，數學上將這類問題歸結為拋物型微分方程反問題。拋物型微分方程初值反問題、源項反問題是2類典型的反問題，一直受到眾多學者的關注，如文獻［2－6］分別采用吉洪諾夫正則化、同倫分析方法、卷積正則化方法、截斷正則化方法及擬邊值正則化方法考慮了拋物型方程初值反問題；文獻［7－9］分別采用基于變分伴隨的梯度優化方法、算子半群方法及深度學習方法研究了拋物型方程僅與空間變量有關的源項反問題。針對初值與源項聯合反演問題，文獻［10－11］基于2個終止時刻的觀測數據或一個終止時刻的觀測數據附加邊界上一段時域內的觀測數據，分別采用擬逆法、最優化方法考慮了初值與源項同時反演問題。以上文獻對初值反問題、源項反問題或同時反演問題的研究所附加的終止時刻觀測數據為空間區域全局數據，從實際應用角度看，空間全局觀測數據的獲取往往比較困難，通常只能獲得局部觀測數據。最近，文獻［12－13］從實際應用角度出發，基于稀疏觀測數據，利用Laplace變換、解析延拓研究了一類拋物型方程逆時反問題和源項反問題的唯一性。文獻［12］基于局部觀測數據僅考慮了拋物型微分方程源項反問題，受文獻［12］的啟發，考慮如下拋物型方程同時反演問題：

同時反演問題考慮含局部區域3個不同時刻的觀測數據gi（x），x∈Ωi?Ω，i＝1，2，3來同時反演源項f（x）與初值u0（x），即附加數據為：

式中：Ω0為Ω的子域，Ti，i＝1，2，3為3個不同的觀測時刻，滿足：T1＜T2＜T3。

1 同時反演問題的唯一性

由于－Δ為一致橢圓型算子，故存在可數的特征值，不失一般性，記為，滿足λ1≤λ2≤…。記φi（x）為相應的規范特征函數，即有－Δφi＝λiφi（x），i＝1，2，…。下面先證明基于2點終止時刻的局部觀測數據同時反演問題的非唯一性。

1.1 局部區域2個觀測時刻附加數據下同時反演問題的非唯一性

利用特征函數展開法，式（1）的級數形式解可表示為：

式中：u0，i＝＜u0（x），φi（x）＞，fi＝＜f（x），φi（x）＞為相應初值和源項的傅里葉系數，i＝1，2，…，符號＜·，·＞代表函數內積。顯然有

構造如下輔助問題：

同理可得上述問題（5）的解為：

故，當g1（x）＝g2（x）＝0時，有

1.2 含局部區域3個觀測時刻附加數據下同時反演問題的唯一性

下面給出基于局部區域3個觀測時刻數據下同時反演問題的唯一性結論。

定理1設，則局部觀測數據gi（x）＝u（x，Ti）∈H2（Ωi）∩H1（Ωi），i＝1，2，3，x∈Ωi，且T2－T1≠T3－T2，可以唯一的決定初值u0（x）與源項f（x）。

證明利用特征函數展開法，同理有

在輔助問題（5）中，取初值v（x，0）＝v0，2（x），則問題的解：

比較知，對任意的x∈Ω0，有v2（x，T2）＝g2（x）－g3（x）。從而知g2（x）－g3（x）在Ω0內解析，由解析延拓有

分析知，若g1（x）＝g2（x）＝g3（x）＝0，x∈Ωi，則有

2 反演算法

定理得證。

利用疊加原理，問題（1）可以分解為下面2個子問題：

顯然有u（x，t）＝u1（x，t）＋u2（x，t）。定義子問題（11）與（12）的解算子為K1，K2，即：u1（x，t）＝K1［u0］（x，t），u2（x，t）＝K2［f］（x，t）。

顯然有

采取有限元插值逼近技術考慮同時反演問題的反演算法，首先對空間求解域Ω進行剖分，d＝1時，取步長為h進行等距剖分，d＝2時，對Ω進行正則三角形分割，設分割所得域為Th，對應的內部節點集為。定義Vh為在剖分域Th上分片連續的有限元函數空間，即

考慮到與齊次邊界的相容性，有u0｜?Ω ＝f｜?Ω ＝0。利用有限元插值，初值u0（x）和源項f（x）可以近似地表示為ψi（x）為線性有限元基函數，定義為：，其中u0，i＝u0（pi），fi＝f（pi），

因此，同時反演初值u0（x）與源項f（x）的問題近似轉化為求2（N＋1）維實向量F＝［u0，0，…，u0，N，f0，…，fN］T的問題。

基于疊加原理，式（13）可以近似為：

在子問題（11）和子問題（12）中分別令u0（x）＝ψi（x），f（x）＝ψi（x），i＝0，1，…，N，利用有限元并行求解，得到K1［ψi］（x，Tk），K2［ψi］（x，Tk），i＝0，1，…，N，k＝1，2，3在區間Ωk上的數值解行向量，分別記為記gk分為gk（x），k＝1，2，3在Ωk內對應節點處的離散行向量。記應的離散方程組：則得到近似方程（14）對

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考慮到反問題的不適定性，計算時采取下面Tikhonov正則化方法求解方程組（16），即

正則化參數α采用Morozov偏差準則來選取，即取正則化參數α滿足其中τ為稍大于3的正常數。

綜上所述，可以歸結同時反演問題的反演算法，如算法1所示。

算法1反演算法

步驟1給定不同觀測時刻的觀測數據），k＝1，2，3，x∈Ω0，得到Gδ；

步驟2并行計算2N＋2個定解問題，得到向量組，＝0，1，…，N，k＝1，2，3，進而得到系數矩陣；

步驟3選取初始正則化參數α0及常數r∈（0，1），利用幾何級數下降法αk＝選取滿足偏差準則的后驗正則化參數α*；

步驟4將后驗正則化參數α*代入離散正則化方程組（17），求得正則化解向量，進而求得初值與源項的正則化解。

3 數值實驗

3.1 實驗裝配

數值計算只考慮d＝1，2的情形。d＝1時，＝［0，1］，d＝2時時等距剖分為100個區間單元，d＝2時三角一致剖分為440個三角單元。觀察數據是精確的數據（通過解析解或利用精確初值與源項通過數值求解正問題獲得），ξi為在［－1，1］上服從均勻分布的隨機變量。離散觀測矩陣利用時間方向向后有限差分、空間方向有限元離散格式進行計算，其中時間取等距步長；當正問題不具有精確解時，觀測數據通過采取時間方向向后有限差分、空間方向有限元離散格式求解正問題的途徑來得到，其中時間離散步長當d＝1時，Ω0分別取定為以下3種情形：；當d＝2時，Ω0分別取定為以下2種情形：④

3.2 數值算例

例1d＝1，精確初值與源項分別取u0（x）＝πsin（πx）＋0.1sin（2πx），f（x）＝π2sin（πx），定解問題（1）有精確解u（x，t）＝0.1e－4π2tsin（2πx）＋（1＋（π－1）e－π2t）sin（πx）。

例2d＝2，設精確初值與源項分別取，定解問題（1）不存在精確解。

例1與例2的反演結果見表1。

表1 不同觀測噪聲水平下反演解的相對誤差

從表1及圖1—圖4計算結果可以看出，反演解隨著噪聲水平的逐漸減小越來越逼近精確解，顯示算法具有良好的穩定性與收斂性，且從表1可以看出，觀測區域較大時反演的結果整體比觀測區域較小時反演的結果要好，導致的原因是在相同數量的觀測數據下，大觀測區域下觀測數據反饋的信息比小觀測區域下觀測數據反饋的信息更全面，同樣從表1可觀察出源項反演的效果比初值反演的效果整體稍好，這也符合拋物型方程源項反問題的不適定性弱于逆時反問題的不適定性這一事實。

圖1 例1精確初值曲線（a）及情形③不同噪聲水平下反演初值對應的誤差曲線（b）

圖2 例1精確源項曲線（a）及情形③不同噪聲水平下反演源項對應的誤差曲線（b）

圖3 例2精確初值曲面（a）及情形⑤時不同噪聲水平下反演初值對應的誤差曲面（b）、（c）、（d）

圖4 例2精確源項曲面（a）及情形⑤時不同噪聲水平下反演源項對應的誤差曲面（b）、（c）、（d）

4 結論

基于特征函數展開法和拋物型方程解的解析延拓理論，建立了基于空間局部觀測數據的一類拋物型方程源項與初值同時反演問題的唯一性理論，且借助于有限元插值方法及疊加原理，設計了易于并行的反演算法，并通過數值算例說明了反演算法的穩定性與收斂性?？紤]的是基于局部觀測數據的整數階拋物型方程初值與源項同時反演問題，后續將考慮基于局部觀測數據的分數階拋物型方程初值與源項同時反演問題及其深度學習反演算法。