巧作輔助線 活解壓軸題
——由2021年常德市中考第26題引發的思考

? 湖南科技大學 楊菲雯

1 真題呈現

(2021年常德市中考數學第26題)如圖1,在△ABC中,AB=AC,N是BC邊上的一點,D為AN的中點,過點A作BC的平行線交CD的延長線于點T,且AT=BN,連接BT.

圖1

(1)求證:BN=CN;

圖2

本題作為中考壓軸題,存在一定的難度.本題共三問,由于前兩小問較易,答案以簡析方式呈現,具體解法以第(2)問的第②小問為主.

2 證法探究

2.1 第(1)問與第(2)①問證法簡析

對于(1),如圖1,在△ADT與△NDC中,D是AN的中點,則AD=ND.由AT∥BC,可得到∠ATD=∠NCD,∠ADT=∠NDC,則△ADT≌△NDC,所以AT=NC.又因為AT=BN,所以BN=CN.

對于(2)①,如圖3所示,因為點N關于邊AC的對稱點是M,所以CN=CM,而TA=NC,所以TA=CM.由(1)知AN是等腰三角形ABC的高,且AT∥BC,所以∠TAO=90°.因為N關于邊AC的對稱點是M,則∠ACN=∠ACM.因為OA=OC,則∠NAC=∠OCA,所以∠MCO=∠ACM+∠OCA=∠NCA+∠OCA=∠NCA+∠NAC=90°,所以∠TAO=∠MCO=90°.

圖3

綜上可知,△TOA≌△MOC(SAS),則OT=OM,即△OTM是等腰三角形,且∠TOA=∠MOC,所以∠TOA+∠AOM=∠MOC+∠AOM,即∠TOM=∠AOC,即等腰三角形TOM與等腰三角形AOC的頂角相等,所以它們的底角相等,故△TOM∽△AOC.

2.2 第(2)②問證法探究

(ⅰ)執果索因,初審條件

(ⅱ)直接證全等,探究失敗

筆者通過觀察,令OM與AC相交與點S,嘗試證明△TAP≌△MSP,以此證明TP=PM.要證△TAP≌△MSP,即證TA∥SM且TA=SM,即證SM∥NC.筆者分析已知條件,始終無法證得SM∥NC,因此探究失敗.于是猜想SM與NC不存在平行關系.

(ⅲ)聯想輔助線,解法生成

思路1：巧作平行證全等.

依據分析,解法生成.過點M作NC的平行線,構造全等三角形,以此證得P為MT的中點.

思維發散,一法多用,重作平行證全等.證法一是作平行線,構造中心對稱型全等三角形(△TAP與△MQP關于點P中心對稱),提出猜想,以點P為旋轉中心,構造關于△CMP的中心對稱型全等三角形,順勢聯想到過點T作關于MC的平行線.

圖4

思路2：繞點旋轉推出平行.

大道至簡,殊途同歸.繞點旋轉證平行.由思路1可以聯想,將CM繞點M順時針旋轉,使點C落在點E上,由等腰對等角與軸對稱可以推導出EM∥NC∥TA.

圖5

思路3：活用翻折證中點.

切換視角,窺探新法,利用對稱作輔助線.連接NP,NM,顯然NP=NM,若能證明TP=NP,即可解決疑難.于是連接TN,利用等角對等邊證明TP=NP.

圖6

思路4：四點共圓證垂直.

打破常規,別出新意,利用輔助圓思想巧妙解題.由第(2)①知OT=OM,要證明P是TM的中點,根據等腰三角形“三線合一”的性質,連接OP,若能證得OP⊥TM,即可解決問題.通過觀察∠TAO=90°,聯想到四點共圓的判定(同底且同側頂角相等的兩個三角形的頂點共圓),顯然∠OTP與∠OAP所在的三角形同底且兩角在OP的同側,于是得到點O,T,A,P四點共圓.

圖7

3 解后反思,教學建議

(1)抓住圖形特征,滲透幾何思想

四邊形出題靈活,難以聯想作輔助線的方法,不同類型問題的解題方法不同.如本試題依托矩形、等腰三角形、軸對稱等相關知識點,因此解題方法靈活多樣.依據題意,學生不難得出要證P是TM的中點,但是聯想作輔助線存在一定的難度.學生對圖形特征把握不透徹,相關性質定理無法達到靈活運用的層次.

(2)剖析問題類型,歸納問題解法

幾何壓軸題主要考查學生的綜合運用能力,學生對幾何圖形相關性質定理的掌握程度關乎解題思路的拓展.以本試題為例,通過軸對稱指引學生構造平行,又根據等腰三角形“三線合一”的性質,推知證明OP是TM的中垂線,順勢聯想到四點共圓的判定定理,容易得證.

(3)培養數學思維,提升解題能力

學生解題能力的提升是建立在夯實基礎、靈活運用的基礎上的,教師在教學過程中要注意培養學生的聯動思維,出題、解題不局限于當下的某些方法,而是引導學生通過觀察,啟發思考.幾何綜合解題能力的提升不能一蹴而就,八年級是打基礎,做提升的關鍵階段,教師可在八年級時給學生訓練中考壓軸題,在培養學生解題能力的同時注意知識體系的搭建.