有關相似三角形的動點問題探究

? 甘肅省白銀市教育科學研究所 何麗君

在教學過程中,時常會遇到點的運動類問題.由于動點處于不斷的運動中,教師講解時倍感壓力,而這類問題在練習與檢測中又經常出現.因此,研究點的運動問題非常有必要.本文中以點的運動形成相似三角形為切入點,探究圖形中點的運動問題的解決方法.

1 素養體現

動點問題一方面綜合了諸多知識點,另一方面對解決技巧有較高的要求.由此觀之,動點問題通常體現以下素養:

(1)畫圖能力,體現數形結合思想.由于點是運動的,因此分析其運動情況就離不開畫圖.換言之,將運動情況用圖形表現出來,既是解決這類問題的首要環節,也是數形結合的重要體現[1].

(2)問題分析能力,體現分類討論思想.點的運動形成相似三角形后,往往存在多個符合題意的三角形,這就需要對每種情況進行分類討論.

(3)符號化語言,體現轉化思想.根據點的運動情況畫好圖后,需將相關的線段用代數式表示出來,有利于分析和解決問題,同時也是將文字語言轉化成符號語言的過程.

下面結合一道題加以說明:

例題如圖1,四邊形ABCD是一個長為8 cm、寬為6 cm的矩形.在BC,DC上分別有動點P,Q,點P的速度是2 cm/s,Q的速度是1 cm/s.現規定:點P從點B出發向點C運動,點Q從點C出發向點D運動,當一個點到達終點時,另一個點也立即停止運動.幾秒時,以C,P,Q為頂點的三角形與△ABC相似?

圖1

本題出現了兩個動點,運動的速度、方向等為分析動點狀態提供了重要條件.那么,本題是如何體現上文中提到的素養的呢?

(1)通過動點的運動情況畫圖,體現了數形結合思想.由于P,Q兩點的運動,線段PQ與BC或DC形成的夾角大小不同.考慮到△ABC是直角三角形,點P,Q在運動的過程中并不能改變∠PCQ為直角這個事實,所以只需線段PQ與BC或DC形成的夾角中有一個與∠BAC相等即可.于是,可畫出圖2中的簡圖:

圖2

(2)根據畫出的圖形,利用分類討論思想解決問題,體現了分類討論思想.從圖2可以看出,∠PQC和∠BAC相等、∠QPC和∠BAC相等是動點運動時存在的兩種情況.

(3)根據點的運動情況,將相關線段用代數式表示出來,并根據需要列方程解決問題,體現了轉化思想.在確定兩種情況后,接下來需進行分析,而分析中的第一步就是根據兩點的運動狀況用代數式表示出相關線段.如下:

設ts時,以C,P,Q為頂點的三角形與△ABC相似.

情況一:如圖2(1),有△ABC∽△Q1CP1,此時可知BP1=2t,CP1=8-2t,CQ1=t,DQ1=6-t.

情況二:如圖2(2),有△ABC∽△P2CQ2,此時可知BP2=2t,CP2=8-2t,CQ2=t,DQ2=6-t.

接下來,由相似三角形的性質列出方程并解出t.最后,解決本題[2].

2 解法說明

既然點的運動產生的相似三角形問題蘊含著如此豐富的素養,那么這類問題具體應如何解決呢?下面進行說明:

首先,根據動點的運動情況畫出符合題意的圖形.由于∠ABC=∠PCQ=90°,根據相似三角形的判定,若△ABC和△PCQ相似,應有以下兩種情況:

情況一:∠PQC=∠BAC,如圖2(1).

情況二:∠QPC=∠BAC,如圖2(2).

其次,分類討論并計算.根據以上兩種情況,分別利用相似三角形的性質列方程.

本題的解決過程如下:

解：設ts時,以C,P,Q為頂點的三角形與△ABC相似.根據題意,有以下兩種情況.

情況一:∠PQC=∠BAC,如圖2(1).此時易證得△ABC∽△Q1CP1.

情況二:∠QPC=∠BAC,如圖2(2).此時易證得△ABC∽△P2CQ2.

3 反思與啟示

本題是在已經確定一組對應角相等的情況下尋求另一組對應相等的角.為了簡化問題,將∠BAC設為參考對象,只需尋找∠PQC或∠QPC與之相等即可.最后,分析出了兩種不同的情況.

這種“先確定一個參考對象后尋找其他與之相等的角”的方法,對解決“因動點產生的相似三角形問題”有重要作用.如下面這道中考真題:

(2022·湖州)已知在平面直角坐標系xOy中,O是坐標原點,以P(1,1)為圓心的⊙P與x軸、y軸分別相切于點M和N,點F從點M出發,沿x軸正方向以1個單位長度/s的速度運動,連接PF,過點P作PE⊥PF交y軸于點E,設點F運動的時間是ts(t>0).

(1)若點E在y軸的負半軸上(如圖3所示),求證:PE=PF;

圖3

(2)在點F運動過程中,設OE=a,OF=b,試用含a的代數式表示b;

(3)作點F關于點M的對稱點F′,經過M,E和F′三點的拋物線的對稱軸交x軸于點Q,連接QE.在點F運動過程中,是否存在某一時刻,使得以點Q,O,E為頂點的三角形與以點P,M,F為頂點的三角形相似?若存在,請直接寫出t的值;若不存在,請說明理由.

不難發現,本題第(3)小題與例題類似,故“先確定一個參考對象后尋找其他與之相等的角”的方法的啟示在解決此小題時可發揮作用.因此,本題第(3)小題的解決思路簡要分析如下:

首先,根據題意確定12兩種情況.然后,在每種情況中根據點的運動情況,同時結合“先確定一個參考對象后尋找其他與之相等的角”的方法,得到12時△OEQ∽△MPF或△OEQ∽△MFP兩種情況,如圖5.最后,進行分類討論和計算.

圖5

4 結語

綜上所述,圖形中的動點雖然常令人眼花繚亂,但掌握其分析方法,就可以化繁為簡.本文中“先確定一個參考對象后尋找其他與之相等的角”的方法,適用于因動點產生的相似三角形、全等三角形等問題中,是解決這類問題一種行之有效的方法.作為教師,應在講解中多滲透該種方法,直至學生能掌握并靈活應用于問題解決中[3].